Casio Giải nhanh trắc nghiệm toán bằng máy tính Casio

\(\Rightarrow {z^3} - 2\left( {i + 1} \right){z^2} + 3iz + 1 - i = \left( {z - 1} \right)\left( {{z^2} - \left( {1 + 2i} \right)z - 1 + i} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 1\\ {z^2} - \left( {1 + 2i} \right)z - 1 + i = 0\,\,\,\,(*) \end{array} \right.\)
\({z^2} - \left( {1 + 2i} \right)z - 1 + i = 0\,\,\,\,(*)\)
\(\Delta = {\left( { - \left( {1 + 2i} \right)} \right)^2} - 4\left( { - 1 + i} \right) = 1\)
Vậy (*) có 2 nghiệm là: \(\left[ \begin{array}{l} z = 1 + i\\ z = i \end{array} \right.\)
Vậy phương trình có 3 nghiệm.

 

\(2{z^2} + \sqrt 3 z + 3 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_1} = - \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{{\sqrt {21} }}{4}i}\\ {{z_2} = - \frac{{\sqrt 3 }}{4} - \frac{{\sqrt {21} }}{4}i} \end{array}} \right.\)
Vậy: \(z_1^2 + z_2^2 = -\frac{9}{4}\)

 

\(\begin{array}{l} {z^3} - 27 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 3} \right)({z^2} + 3z + 9) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 3\\ {z^2} + 3z + 9 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 3\\ z = \frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 i}}{2}\\ z = \frac{{ - 3 - 3\sqrt 3 i}}{2} \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy: \(S = \left\{ 3;{\frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 i}}{2};\frac{{ - 3 - 3\sqrt 3 i}}{2}} \right\}\).

 

\(\begin{array}{l} {z^4} + \left( {4 - m} \right){z^2} - 4m = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 4} \right)\left( {{z^2} - m} \right) = 0(*) \end{array}\)
Với \(m\geq 0\): \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {z_1} = 2i\\ {z_2} = - 2i\\ {z_3} = \sqrt m \\ {z_4} = - \sqrt m \end{array} \right.\)
Với m<0: \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {z_1} = 2i\\ {z_2} = - 2i\\ {z_3} = i\sqrt { - m} \\ {z_4} = - i\sqrt { - m} \end{array} \right.\)

 

Khi đó:\(\left\{ \begin{array}{l} \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right| = 6\\ m < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ 4 + 2\sqrt { - m} = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 1\)
Hoặc: \(\left\{ \begin{array}{l} \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right| = 6\\ m \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ 4 + 2\sqrt m = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\)

 

\(4{z^2} - 16z + 17 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = \frac{{16 + 4i}}{8} = \frac{{i + 4}}{2}\\ z = \frac{{16 - 4i}}{8} = \frac{{ - i + 4}}{2} \end{array} \right.\)
Do đó: \({z_0} = \frac{{i + 4}}{2} \Rightarrow i{z_0} = \frac{{ - 1 + 4i}}{2} = - \frac{1}{2} + 2i\)

 

Lần lượt xét các phương án.
Phương án A: \({z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi\) có hai nghiệm \(z = a + bi\) hoặc \(z =- a - bi\)
Phương án B: \({z^2} = {a^2} + {b^2}\) có nghiệm \(z = \pm \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)
Phương án C: \({z^2} - 2az + {a^2} + {b^2} = 0\) có nghiệm \(z = a + bi;z = a - bi\) thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy C là phương án đúng.
Kiểm tra tương tự với phương án D.

 

\({z^3} + 2{z^2} + z - 4 = 0 \Leftrightarrow (z - 1)({z^2} + 3z + 4) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 1\\ {z^2} + 3z + 4 = 0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 1\\ z = - \frac{3}{2} \pm \frac{{\sqrt 7 }}{2}i \end{array} \right.\)
Do đó \(T = \sqrt {{1^2} + {0^2}} + \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 7 }}{2}} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{\sqrt 7 }}{2}} \right)}^2}} = 5.\)

 

Giả sử \(w = x + yi(x;y \in ) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2w + i = 2x + (2y + 1)i\\ 3w - 5 = 3x - 5 + 3yi \end{array} \right.\)
Do 2w+i và 3w -5 là hai nghiệm của \({z^2} + az + b = 0\)
Áp dụng định lý Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l} 2x + (2y + 1)i + 3x - 5 + 3yi = a\\ \left[ {2x + (2y + 1)i} \right]\left( {3x - 5 + 3yi} \right) = b \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x - 5 + (5y + 1)i = - a\\ 6{x^2} - 16x - 6{y^2} - 3y + i\left[ {6xy + \left( {2y + 1} \right)\left( {3x - 5} \right)} \right] = - b \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5y + 1 = 0\\ 6xy + (2y + 1)(3x - 5) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{ - 1}}{5}\\ - \frac{6}{5}x + \frac{3}{5}(3x - 5) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{ - 1}}{5}\\ x = 5 \end{array} \right.\)
Do đó phần thực của w là 5

 

\({z^2} - 2z + 2 = 0 \Leftrightarrow z = 1 \pm i.\)
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phức là \(z = 1 \pm i.\)

 

Ta có: \(\frac{1}{{{z_1} + {z_2}}} = \frac{1}{{{z_1}}} + \frac{2}{{{z_2}}} \Leftrightarrow \frac{{{z_1}}}{{{z_1} + {z_2}}} = 1 + \frac{{2{z_1}}}{{{z_2}}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}}}{{\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + 1}} = 1 + \frac{{2{z_1}}}{{{z_2}}}\).
Đặt \(t = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\)
Khi đó \(\frac{t}{{t + 1}} = 1 + 2t \Rightarrow 2{t^2} + 2t + 1 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = \frac{{ - 1 + i}}{2}}\\ {t = \frac{{ - 1 - i}}{2}} \end{array}} \right. \Rightarrow \left| t \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

 

Do \(1 + 2i\) là nghiệm của PT nên ta có \({\left( {1 + 2i} \right)^2} + b\left( {1 + 2i} \right) + c = 0\) \( \Leftrightarrow - 3 + 4i + b + 2bi + c = 0\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b + c - 3 = 0}\\{2b + 4 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow b + c = 3.\)

 

\({z^2} + 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_1} = - 2 + i}\\{{z_2} = - 2 = i}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} + \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 .\)

 

\(2{z^2} - 6z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i}\\{z = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i}\end{array} \Rightarrow {z_0} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i \Rightarrow i{z_0} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i \Rightarrow M\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)} \right.\)

 

\(z = \frac{z}{{z + i}} \Leftrightarrow z\left( {1 - \frac{1}{{z + i}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\\1 = \frac{1}{{z + i}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\\z = 1 - i\end{array} \right.\)

 

Giả sử \({z_1} = {x_1} + i{y_1};\,\,{z_2} = {x_2} + i{y_2} \Rightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0.\)
Ta có: \({z^2} + 2b{\rm{z}} + c = 0 \Leftrightarrow {\left( {z + b} \right)^2} = {b^2} - c \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - b + i\sqrt {c - {b^2}} \\z = - b - i\sqrt {c - {b^2}} \end{array} \right.\left( {c > {b^2}} \right)\)
Suy ra tọa độ: \(A( - b;\sqrt {c - {b^2}} );\,\,B( - b; - \sqrt {c - {b^2}} )\)
Tam giác OAB vuông tại O nên: \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\)
Suy ra: \({b^2} + {b^2} - c = 0 \Leftrightarrow c = 2{b^2}.\)

 

\(\begin{array}{l}{z^3} + {z^2} + 3z + 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z + 1 = 0\\{z^2} + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - 1\\z = \pm \sqrt 3 i\end{array} \right.\\ \Rightarrow P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_3}} \right|^2} = 7\end{array}\)

 

Đặt \(w = x + yi,(x,y \in \mathbb{R}).\)
Theo Viet ta có: \({z_1} + {z_2} = - a = 3w - 2i - 4 = \left( {3x - 4} \right) + \left( {3y - 2} \right)i\) là số thực nên \(y = \frac{2}{3}\). Lại có \({z_1}{z_2} = b = \left( {x + \frac{2}{3}i - 2i} \right)\left( {2x + \frac{4}{3}i - 4} \right)\) là số thực.
Suy ra \(\left( {x - \frac{4}{3}i} \right)\left( {2x - 4 + \frac{4}{3}i} \right) = x\left( {2x - 4} \right) - \frac{4}{3}i\left( {x - 4} \right) + \frac{{16}}{9}\) là số thực suy ra \(x = 4\)
Do đó \({z_1} = 4 + \frac{2}{3}i - 2i = 4 - \frac{4}{3}i;{z_2} = 4 + \frac{4}{3}i \Rightarrow T = \frac{{8\sqrt {10} }}{3}.\)

 

\(\begin{array}{l}{z^4} + 7{z^2} + 10 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 2} \right)\left( {{z_2} + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = - 2\\{z^2} = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm \sqrt 2 i\\z = \pm \sqrt 5 i\end{array} \right.\\ \Rightarrow S = \left\{ { - \sqrt 2 i;\sqrt 2 i; - \sqrt 5 i;\sqrt 5 i} \right\}\end{array}\)

 

\(5{{\rm{z}}^2} - 8{\rm{z}} + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \frac{4}{5} + \frac{3}{5}i\\z = \frac{4}{5} - \frac{3}{5}i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = \frac{4}{5} + \frac{3}{5}i\\{z_2} = \frac{4}{5} - \frac{3}{5}i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1\\{z_1}{z_2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow S = 3.\)