Sử dụng các phép biến đổi góc lượng giác Khi giải phương trình lượng giác cần xem xét mối quan hệ giữa các góc (cung) để từ đó kết hợp với các phép biến đổi góc đặc biệt, công thức cộng lượng giác … để đưa về dạng góc cơ bản. Ví dụ 1. Giải các phương trình lượng giác sau: a. $\frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\sin \left( {x – \frac{{3\pi }}{2}} \right)}}$ $ = 4\sin \left( {\frac{{7\pi }}{4} – x} \right).$ b. ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x$ $ = \frac{7}{8}\cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\cot \left( {\frac{\pi }{6} – x} \right).$ c. $\frac{{{{\sin }^4}2x + {{\cos }^4}2x}}{{\tan \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)\tan \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)}}$ $ = {\cos ^4}4x.$ a. Nhận xét: Từ sự xuất hiện hai cung $x – \frac{{3\pi }}{2}$ và $\frac{{7\pi }}{4} – x$ mà chúng ta liên tưởng đến việc đưa đưa $2$ cung này về cùng một cung $x$. Để làm được điều đó ta có thể sử dụng công thức cộng cung hoặc công thức về các góc đặc biệt. Điều kiện: $\sin x \ne 0$, $\cos x \ne 0$ $ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2},k \in Z.$ $PT \Leftrightarrow \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}}$ $ = – 2\sqrt 2 \left( {\cos x + \sin x} \right)$ $ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\sqrt 2 \sin 2x + 1} \right) = 0.$ Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm phương trình là: $x = – \frac{\pi }{4} + k\pi $, $x = – \frac{\pi }{8} + k\pi $, $x = \frac{{5\pi }}{8} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$ b. Điều kiện: $\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).\sin \left( {\frac{\pi }{6} – x} \right) \ne 0$ $ \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) \ne \cos \frac{\pi }{2} = 0.$ Do $\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + \left( {\frac{\pi }{6} – x} \right) = \frac{\pi }{2}$ nên $PT \Leftrightarrow {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{7}{8}$ $ \Leftrightarrow 1 – \frac{1}{2}{\sin ^2}2x = \frac{7}{8}$ $ \Leftrightarrow \sin 2x = \pm \frac{1}{2}$. Kết hợp với điều kiện ta được: $x = \pm \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2}$ $\left( {k \in Z} \right).$ c. Nhận xét: Từ tổng hai cung $\left( {\frac{\pi }{4} – x} \right) + \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) = \frac{\pi }{2}$ nên $\tan \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)\tan \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) = 1.$ Điều kiện 1: $\cos \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) \ne 0$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\cos 2x + \cos \frac{\pi }{2}} \right) \ne 0$ $ \Leftrightarrow \cos 2x \ne 0.$ Điều kiện 2: $\sin \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) \ne 0$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\cos 2x – \cos \frac{\pi }{2}} \right) \ne 0$ $ \Leftrightarrow \cos 2x \ne 0.$ $PT \Leftrightarrow {\sin ^4}2x + {\cos ^4}2x = {\cos ^4}4x$ $ \Leftrightarrow 1 – \frac{1}{2}{\sin ^2}4x = {\cos ^4}4x$ $ \Leftrightarrow 2{\cos ^4}4x – {\cos ^2}4x – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\cos ^2}4x = 1\\ {\cos ^2}4x = – \frac{1}{2}\left( {loại} \right) \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin 4x = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 2x = 0\\ \cos 2x = 0\left( {loại} \right) \end{array} \right.$ Vậy phương trình có nghiệm $x = k\frac{\pi }{2}.$
