1. Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn Các bước giải và biện luận phương trình dạng $a{x^2} + bx + c = 0:$ • Nếu $a=0$: Phương trình trở thành: $bx + c = 0$, khi đó: + Nếu $b \ne 0$, phương trình $\Leftrightarrow x = – \frac{c}{b}$, do đó phương trình có nghiệm duy nhất $x = – \frac{c}{b}.$ + Nếu $b = 0$, phương trình trở thành $0x + c = 0$, ta tiếp tục xét 2 trường hợp: Trường hợp 1: Với $c = 0$, phương trình nghiệm đúng với mọi $x \in R.$ Trường hợp 2: Với $c ≠ 0$, phương trình vô nghiệm. • Nếu $a\ne 0$: xét $\Delta ={{b}^{2}}-4ac:$ + Trường hợp 1: Nếu $\Delta >0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}.$ + Trường hợp 2: Nếu $\Delta =0$, phương trình có nghiệm kép $x=-\frac{b}{2a}.$ + Trường hợp 3: Nếu $\Delta <0$, phương trình vô nghiệm. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình sau với $m$ là tham số: a) ${{x}^{2}}-x+m=0.$ b) $\left( m+1 \right){{x}^{2}}-2mx+m-2=0.$ c) $\left( 2{{m}^{2}}+5m+2 \right){{x}^{2}}-4mx+2=0.$ a) Ta có $\Delta =1-4m.$ + Với $\Delta >0$ $\Leftrightarrow 1-4m>0$ $\Leftrightarrow m<\frac{1}{4}$: Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{1\pm \sqrt{1-4m}}{2}.$ + Với $\Delta =0$ $\Leftrightarrow 1-4m=0$ $\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}$: Phương trình có nghiệm kép $x=\frac{1}{2}.$ + Với $\Delta <0$ $\Leftrightarrow 1-4m<0$ $\Leftrightarrow m>\frac{1}{4}$: Phương trình vô nghiệm. Kết luận: + Với $m<\frac{1}{4}$: Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{1\pm \sqrt{1-4m}}{2}.$ + Với $m=\frac{1}{4}$: Phương trình có nghiệm kép $x=\frac{1}{2}.$ + Với $m>\frac{1}{4}$: Phương trình vô nghiệm. b) Trường hợp 1: Với $m+1=0$ $\Leftrightarrow m=-1$ khi đó phương trình trở thành $2x-3=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}.$ Trường hợp 2: Với $m+1\ne 0$ $\Leftrightarrow m\ne -1$ khi đó phương trình trên là phương trình bậc hai. Ta có $\Delta’={{m}^{2}}-\left( m-2 \right)\left( m+1 \right)$ $=m+2.$ + Khi $\Delta >0$ $\Leftrightarrow m+2>0$ $\Leftrightarrow m>-2$ khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{m\pm \sqrt{m+2}}{m+1}.$ + Khi $\Delta =0$ $\Leftrightarrow m+2=0$ $\Leftrightarrow m=-2$ khi đó phương trình có nghiệm là $x=2.$ + Khi $\Delta <0$ $\Leftrightarrow m+2<0$ $\Leftrightarrow m<-2$ khi đó phương trình vô nghiệm. Kết luận: + Với $m=-1$: Phương trình có nghiệm là $x=\frac{3}{2}.$ + Với $m=-2$: Phương trình có nghiệm là $x=2.$ + Với $m>-2$ và $m\ne -1$: Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{m\pm \sqrt{m+2}}{m+1}.$ + Với $m<-2$: Phương trình vô nghiệm. c) $\left( 2{{m}^{2}}+5m+2 \right){{x}^{2}}-4mx+2=0.$ Trường hợp 1: Với $2{{m}^{2}}+5m+2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m=-2 \\ m=-\frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.$ + Khi $m=-2$ phương trình trở thành $8x+2=0$ $\Leftrightarrow x=-\frac{1}{4}.$ + Khi $m=-\frac{1}{2}$ phương trình trở thành $2x+2=0$ $\Leftrightarrow x=-1.$ Trường hợp 2: Với $2{{m}^{2}}+5m+2\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m\ne -2 \\ m\ne -\frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.$ khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai. Ta có $\Delta =4{{m}^{2}}-2\left( 2{{m}^{2}}+5m+2 \right)$ $=-2\left( 5m+2 \right).$ + Khi $\Delta >0$ $\Leftrightarrow -2\left( 5m+2 \right)>0$ $\Leftrightarrow m<-\frac{2}{5}$ khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{2m\pm \sqrt{-2\left( 5m+2 \right)}}{2{{m}^{2}}+5m+2}.$ + Khi $\Delta =0$ $\Leftrightarrow m=-\frac{2}{5}$ phương trình có nghiệm kép $x=-5.$ + Khi $\Delta <0$ $\Leftrightarrow m>-\frac{2}{5}$ phương trình vô nghiệm. Kết luận: + Với $m=-2$ phương trình có nghiệm $x=-\frac{1}{4}.$ + Với $m=-\frac{1}{2}$ phương trình có nghiệm $x=-1.$ + Với $m=-\frac{2}{5}$ phương trình có nghiệm kép $x=-5.$ + Với $m<-\frac{2}{5}$, $m\ne -2$ và $m\ne -\frac{1}{2}$ khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{2m\pm \sqrt{-2\left( 5m+2 \right)}}{2{{m}^{2}}+5m+2}.$ + Với $m>-\frac{2}{5}$ phương trình vô nghiệm. Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình sau với $a,b$ là tham số: $a{{x}^{2}}-2\left( a+b \right)x+a+2b=0.$ Trường hợp 1: Với $a=0$ phương trình trở thành $-2bx+2b=0$ $\Leftrightarrow bx=b.$ + Khi $b=0$ phương trình là $0x=0$ do đó phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$ + Khi $b\ne 0$ phương trình có nghiệm là $x=1.$ Trường hợp 2: Với $a\ne 0$ phương trình là phương trình bậc hai. Ta có $\Delta’={{\left( a+b \right)}^{2}}-a\left( a+2b \right)$ $={{b}^{2}}.$ + Khi $b=0$ phương trình có nghiệm kép $x=\frac{a+b}{a}.$ + Khi $b\ne 0$ phương trình có hai nghiệm phân biệt là $\left[ \begin{matrix} x=\frac{a+b+b}{a}=\frac{a+2b}{a} \\ x=\frac{a+b-b}{a}=1 \\ \end{matrix} \right.$ Kết luận: + Với $a=b=0$ phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$ + Với $a=0$ và $b\ne 0$ phương trình có nghiệm duy nhất $x=1.$ + Với $a\ne 0$ và $b=0$ phương trình có nghiệm kép $x=\frac{a+b}{a}.$ + Với $a\ne 0$ và $b\ne 0$ phương trình có hai nghiệm phân biệt là $x=\frac{a+2b}{a}$ và $x=1.$ Ví dụ 3. Tìm $m$ để phương trình $m{{x}^{2}}+x+m+1=0$: a) Có nghiệm kép. b) Có hai nghiệm phân biệt. a) + Với $m=0$ phương trình trở thành phương trình bậc nhất $x+1=0$, suy ra $m=0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán. + Với $m\ne 0$ phương trình trên là phương trình bậc hai nên nó có nghiệm kép khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} a\ne 0 \\ \Delta =0 \\ \end{matrix} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m\ne 0 \\ 1-4m\left( m+1 \right)=0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m\ne 0 \\ 4{{m}^{2}}-4m+1=0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m\ne 0 \\ m=\frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}.$ Vậy $m=\frac{1}{2}$ thì phương trình có nghiệm kép. b) + Với $m=0$ phương trình trở thành phương trình bậc nhất $x+1=0$ suy ra $m=0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán. + Với $m\ne 0$ phương trình trên là phương trình bậc hai nên nó có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta >0$ $\Leftrightarrow 1-4m\left( m+1 \right)>0$ $\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4m+1>0$ $\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}>0$ $\Leftrightarrow m\ne \frac{1}{2}.$ Vậy $m\ne 0$ và $m\ne \frac{1}{2}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. 3. Bài tập rèn luyện a. Đề bài Bài toán 1. Tìm $m$ để phương trình ${{x}^{2}}-3mx+(2{{m}^{2}}-m-1)=0$ có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó. Bài toán 2. Cho phương trình: $m{{x}^{2}}-2mx+m+1=0.$ a) Giải phương trình đã cho khi $m=-2.$ b) Tìm $m$ để phương trình đã cho có nghiệm. Bài toán 3. Giải và biện luận phương trình: a) $(m-2){{x}^{2}}-2(m+1)x+m-5=0.$ b) $(m-2){{x}^{2}}-(2m-1)x+m+2=0.$ Bài toán 4. Tùy thuộc vào giá trị của tham số $m$, hãy tìm hoành độ giao điểm của đường thẳng $d:y=2x+m$ và Parabol $(P):$ $y=\left( m – 1 \right){{x}^{2}}+2mx+3m – 1.$ b. Hướng dẫn giải và đáp số Bài toán 1. Ta có: $\Delta =9{{m}^{2}}-4\left( 2{{m}^{2}}-m-1 \right)$ $=9{{m}^{2}}-8{{m}^{2}}+4m+4$ $={{(m+2)}^{2}}.$ Phương trình có nghiệm kép khi $\Delta ={{(m+2)}^{2}}=0$ $\Rightarrow m=-2.$ Nghiệm kép đó là ${{x}_{1}}={{x}_{2}}$ $=\frac{3m}{2}=\frac{-6}{2}=-3.$ Bài toán 2. a) Với $m=-2$ ta có phương trình: $-2{{x}^{2}}+4x-1=0$ $\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-4x+1=0$, phương trình này có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{2\pm \sqrt{2}}{2}.$ b) Với $m=0$ ta thấy phương trình vô nghiệm. Với $m\ne 0$ thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta’={{m}^{2}}-m\left( m+1 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow m<0.$ Bài toán 3. a) Trường hợp 1: Với $m-2=0$ $\Leftrightarrow m=2:$ Phương trình trở thành: $-6x-3=0$ $\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}.$ Trường hợp 2: $m-2\ne 0$ $\Leftrightarrow m\ne 2$, xét $\Delta’={{(m+1)}^{2}}-(m-2)(m-5)$ $=9m-9=9(m-1),$ ta có: + Nếu $\Delta'<0$ $\Leftrightarrow 9(m-1)<0$ $\Leftrightarrow m<1$: Phương trình vô nghiệm. + Nếu $\Delta’=0$ $\Leftrightarrow 9(m-1)=0$ $\Leftrightarrow m=1$: Phương trình có nghiệm kép $x=\frac{m+1}{m-2}=-2.$ + Nếu $\Delta’>0$ $\Leftrightarrow 9(m-1)>0$ $\Leftrightarrow m>1$: Phương trình có $2$ nghiệm phân biệt $\left[ \begin{matrix} x=\frac{m+1+3\sqrt{m-1}}{m-2} \\ x=\frac{m+1-3\sqrt{m-1}}{m-2} \\ \end{matrix} \right.$ Kết luận: + Với $m<1$: Phương trình vô nghiệm. + Với $m=1$: Phương trình có nghiệm $x=-2.$ + Với $m=2$: Phương trình có nghiệm $x=-\frac{1}{2}.$ + Với $1<m\ne 2:$ Phương trình có $2$ nghiệm phân biệt $\left[ \begin{matrix} x=\frac{m+1+3\sqrt{m-1}}{m-2} \\ x=\frac{m+1-3\sqrt{m-1}}{m-2} \\ \end{matrix} \right.$ b) Trường hợp 1: Với $m-2=0$ $\Leftrightarrow m=2$, khi đó phương trình $\Leftrightarrow -3x+4=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}.$ Trường hợp 2: Với $m\ne 2$, khi đó phương trình là phương trình bậc hai có: $\Delta =-4m+17.$ + Với $m>\frac{17}{4}$ $\Rightarrow \Delta <0$ suy ra phương trình vô nghiệm. + Với $m=\frac{17}{4}$ $\Rightarrow \Delta =0$ suy ra phương trình có nghiệm kép: ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{2m-1}{2(m-2)}=\frac{10}{3}.$ + Với $m<\frac{17}{4}$ $\Rightarrow \Delta >0$ phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${{x}_{1}}=\frac{2m-1+\sqrt{-4m+17}}{2\left( m-2 \right)}$ và ${{x}_{2}}=\frac{2m-1-\sqrt{-4m+17}}{2\left( m-2 \right)}.$ Kết luận: + Với $m=2$ phương trình có một nghiệm $x=\frac{4}{3}.$ + Với $m>\frac{17}{4}$ phương trình vô nghiệm. + Với $m=\frac{17}{4}$ phương trình có nghiệm kép $x=\frac{10}{3}.$ + Với $\left\{ \begin{align} & m<\frac{17}{4} \\ & m\ne 2 \\ \end{align} \right.$ phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${{x}_{1,2}}=\frac{2m-1\pm \sqrt{-4m+17}}{2\left( m-2 \right)}.$ Bài toán 4. Hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và Parabol $(P)$ là nghiệm của phương trình: $\left( m-1 \right){{x}^{2}}+2mx+3m-1=2x+m$ $\Leftrightarrow \left( m-1 \right){{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+2m-1=0$ $(*).$ Với $m=1$ ta thấy $(*)$ vô nghiệm nên $d$ và $(P)$ không có giao điểm. Với $m\ne 1$ thì $(*)$ là phương trình bậc hai có $\Delta’={{\left( m-1 \right)}^{2}}\left( m-1 \right)\left( 2m-1 \right)=-m\left( m-1 \right).$ Do đó ta có các trường hợp sau: + Trường hợp 1: Nếu $m\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$ thì $\Delta'<0$ nên $(*)$ vô nghiệm nên $d$ và $\left( \text{P} \right)$ không có giao điểm. + Trường hợp 2: Nếu $m=0$ thì $\Delta’=0$ và $(*)$ có một nghiệm $x=-1.$ + Trường hợp 3: Nếu $m\in \left( 0;1 \right)$ thì $\Delta’>0$ và $(*)$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1,2}}=1\pm \frac{\sqrt{m\left( 1-m \right)}}{m-1}.$
