1. Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn Giải và biện luận phương trình dạng $ax + b = 0:$ • Nếu $a\ne 0$, ta có: $ax + b = 0$ $\Leftrightarrow x=-\frac{b}{a}$, do đó phương trình có nghiệm duy nhất $x=-\frac{b}{a}.$ • Nếu $a=0$: phương trình $ax + b = 0$ trở thành $0x+b=0$, khi đó: + Trường hợp 1: Với $b=0$ phương trình $ax + b = 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in R.$ + Trường hợp 2: Với $b\ne 0$ phương trình $ax + b = 0$ vô nghiệm. Chú ý: + Phương trình $ax+b=0$ có nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} a\ne 0 \\ a=b=0 \\ \end{matrix} \right.$ + Phương trình $ax+b=0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a=0 \\ b\ne 0 \\ \end{matrix} \right.$ + Phương trình $ax+b=0$ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow a\ne 0.$ 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình sau với $m$ là tham số: a) $\left( {m – 1} \right)x + 2 – m = 0.$ b) $m\left( {mx – 1} \right) = 9x + 3.$ c) ${(m + 1)^2}x$ $ = (3m + 7)x + 2 + m.$ a) Phương trình tương đương với $\left( {m – 1} \right)x = m – 2.$ + Với $m – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow m = 1:$ phương trình trở thành $0x = – 1$, suy ra phương trình vô nghiệm. + Với $m – 1 \ne 0$ $ \Leftrightarrow m \ne 1:$ phương trình tương đương với $x = \frac{{m – 2}}{{m – 1}}.$ Kết luận: + Nếu $m = 1$, phương trình vô nghiệm. + Nếu $m \ne 1$, phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{{m – 2}}{{m – 1}}.$ b) Ta có: $m\left( {mx – 1} \right) = 9x + 3$ $ \Leftrightarrow \left( {{m^2} – 9} \right)x = m + 3.$ Với ${m^2} – 9 = 0$ $ \Leftrightarrow m = \pm 3:$ + Khi $m=3:$ Phương trình trở thành $0x=6$, suy ra phương trình vô nghiệm. + Khi $m=-3$: Phương trình trở thành $0x=0$, suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$ Với ${{m}^{2}}-9\ne 0$ $\Leftrightarrow m\ne \pm 3$: Phương trình tương đương với $x=\frac{m+3}{{{m}^{2}}-9}=\frac{1}{m-3}$. Kết luận: + Với $m=3$: Phương trình vô nghiệm. + Với $m=-3$: Phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$ + Với $m\ne \pm 3$: Phương trình có nghiệm $x=\frac{1}{m-3}.$ c) Phương trình tương đương với $\left[ {{(m+1)}^{2}}-3m-7 \right]x=2+m$ $\Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}-m-6 \right)x=2+m.$ Với ${{m}^{2}}-m-6=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m=3 \\ m=-2 \\ \end{matrix} \right.$: + Khi $m=3:$ Phương trình trở thành $0x=5$, suy ra phương trình vô nghiệm. + Khi $m=-2:$ Phương trình trở thành $0x=0$, suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$ Với ${{m}^{2}}-m-6\ne 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m\ne 3 \\ m\ne -2 \\ \end{matrix} \right.$: Phương trình tương đương với $x=\frac{m+2}{{{m}^{2}}-m-6}=\frac{1}{m-3}$. Kết luận: + Với $m=3$ : Phương trình vô nghiệm. + Với $m=-2$ : Phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$ + Với $m\ne 3$ và $m\ne -2$: Phương trình có nghiệm $x=\frac{1}{m-3}.$ Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình sau với $a,b$ là tham số: a) ${a^2}\left( {x – a} \right) = {b^2}\left( {x – b} \right).$ b) $b\left( {ax – b + 2} \right) = 2\left( {ax + 1} \right).$ a) Ta có: ${a^2}\left( {x – a} \right) = {b^2}\left( {x – b} \right)$ $ \Leftrightarrow \left( {{a^2} – {b^2}} \right)x = {a^3} – {b^3}.$ Với ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow a=\pm b:$ + Khi $a=b$: Phương trình trở thành $0x=0$, suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$ + Khi $a=-b$ và $b\ne 0$: Phương trình trở thành $0x=-2{{b}^{3}}$, suy ra phương trình vô nghiệm. (Trường hợp $a=-b$, $b=0$ $\Rightarrow a=b=0$ thì rơi vào trường hợp $a=b$). Với ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}\ne 0$ $\Leftrightarrow a\ne \pm b$: Phương trình tương đương với $x=\frac{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=$ $\frac{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}{a+b}.$ Kết luận: + Với $a=b$: Phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$ + Với $a=-b$ và $b\ne 0$: Phương trình vô nghiệm. + Với $a\ne \pm b$: Phương trình có nghiệm là $x=\frac{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}{a+b}.$ b) Ta có $b\left( ax-b+2 \right)=2\left( ax+1 \right)$ $\Leftrightarrow a\left( b-2 \right)x={{b}^{2}}-2b+2.$ Với $a\left( b-2 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} a=0 \\ b=2 \\ \end{matrix} \right.$ + Khi $a=0$: Phương trình trở thành $0x={{b}^{2}}-2b+2$, do ${{b}^{2}}-2b+2={{\left( b-1 \right)}^{2}}+1>0$ nên phương trình vô nghiệm. + Khi $b=2$: Phương trình trở thành $0x=2$, suy ra phương trình vô nghiệm. Với $a\left( b-2 \right)\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a\ne 0 \\ b\ne 2 \\ \end{matrix} \right.$: Phương trình tương đương với $x=\frac{{{b}^{2}}-2b+2}{a\left( b-2 \right)}$ . Kết luận: + Với $a=0$ hoặc $b=2$ thì phương trình vô nghiệm. + Với $a\ne 0$ và $b\ne 2$ thì phương trình có nghiệm là $x=\frac{{{b}^{2}}-2b+2}{a\left( b-2 \right)}.$ Ví dụ 3. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm duy nhất: a) $({{m}^{2}}-m)x=2x+{{m}^{2}}-1.$ b) $m\left( 4mx-3m+2 \right)=x(m+1).$ a) Ta có $({{m}^{2}}-m)x=2x+{{m}^{2}}-1$ $\Leftrightarrow ({{m}^{2}}-m-2)x={{m}^{2}}-1.$ Phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow a\ne 0$ hay ${{m}^{2}}-m-2\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m\ne -1 \\ m\ne 2 \\ \end{matrix} \right.$ Vậy với $m\ne -1$ và $m\ne 2$ thì phương trình có nghiệm duy nhất. b) Ta có $m\left( 4mx-3m+2 \right)=x(m+1)$ $\Leftrightarrow \left( 4{{m}^{2}}-m-1 \right)x=3{{m}^{2}}-2m.$ Phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow a\ne 0$ hay $4{{m}^{2}}-m-1\ne 0$ $\Leftrightarrow m\ne \frac{1\pm \sqrt{17}}{8}.$ Vậy với $m\ne \frac{1\pm \sqrt{17}}{8}$ thì phương trình có nghiệm duy nhất. Ví dụ 4. Tìm $m$ để đồ thị hai hàm số sau không cắt nhau $y=\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3{{m}^{2}}x+m$ và $y=\left( m+1 \right){{x}^{2}}+12x+2.$ Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình $\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3{{m}^{2}}x+m$ $=\left( m+1 \right){{x}^{2}}+12x+2$ vô nghiệm $\Leftrightarrow 3\left( {{m}^{2}}-4 \right)x=2-m$ vô nghiệm $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} – 4 = 0}\\ {2 – m \ne 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = \pm 2}\\ {m \ne 2} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m = – 2.$ Vậy với $m=-2$ là giá trị cần tìm. 3. Bài tập rèn luyện a. Đề bài: Bài toán 1. Giải và biện luận phương trình sau với $m$ là tham số: a) $\left( 2m-4 \right)x+2-m=0.$ b) $(m+1)x=(3{{m}^{2}}-1)x+m-1.$ Bài toán 2. Giải và biện luận các phương trình sau: a) $\frac{x+a-b}{a}-\frac{x+b-a}{b}=\frac{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}{ab}.$ b) $\frac{ax-1}{x-1}+\frac{2}{x+1}=\frac{a\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}-1}.$ Bài toán 3. Tìm $m$ để phương trình sau vô nghiệm: a) $({{m}^{2}}-m)x=2x+{{m}^{2}}-1.$ b) ${{m}^{2}}\left( x-m \right)=x-3m+2.$ Bài toán 4. Tìm điều kiện của $a,b$ để phương trình sau có nghiệm. a) $a\left( bx-a+2 \right)=\left( a+b-1 \right)x+1.$ b) $\frac{2x-a}{a}-b=\frac{2x-b}{b}-a(a,b\ne 0).$ b. Hướng dẫn và đáp số: Bài toán 1. a) Phương trình tương đương với $\left( 2m-4 \right)x=m-2.$ + Với $2m-4=0$ $\Leftrightarrow m=2$: Phương trình trở thành $0x=0$, suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi $x$. + Với $2m-4\ne 0$ $\Leftrightarrow m\ne 2$: Phương trình tương đương với $x=-1.$ Kết luận: + Với $m=2$: Phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$ + Với $m\ne 2$: Phương trình có nghiệm duy nhất $x=-1.$ b) Phương trình tương đương với $\left( 3{{m}^{2}}-m-2 \right)x=1-m.$ Với $3{{m}^{2}}-m-2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m=1 \\ m=-\frac{2}{3} \\ \end{matrix} \right.$: + Khi $m=1:$ Phương trình trở thành $0x=0$, phương trình nghiệm đúng với mọi $x$. + Khi $m=-\frac{2}{3}$: Phương trình trở thành $0x=\frac{5}{3}$, suy ra phương trình vô nghiệm. Với $3{{m}^{2}}-m-2\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m\ne 1 \\ m\ne -\frac{2}{3} \\ \end{matrix} \right.$, phương trình $\Leftrightarrow x=\frac{1-m}{3{{m}^{2}}-m-2}=\frac{-1}{3m+2}.$ Kết luận: + Với $m=-\frac{2}{3}$: Phương trình vô nghiệm. + Với $m=1$: Phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$ + Với $m≠-\frac{2}{3}$ và $m≠1$: Phương trình có nghiệm $x=\frac{-1}{3m+2}.$ Bài toán 2. a) Điều kiện xác định: $a ≠ 0$, $b ≠ 0.$ Ta có: Phương trình $ \Leftrightarrow b\left( {x + a – b} \right) – a\left( {x + b – a} \right)$ $ = {b^2} – {a^2}$ $ \Leftrightarrow bx + ab – {b^2} – {\rm{ax}} – ab + {a^2}$ $ = {b^2} – {a^2}$ $ \Leftrightarrow \left( {b – a} \right)x$ $ = 2\left( {b – a} \right)\left( {b + a} \right).$ + Nếu $b – a ≠ 0$ $\Rightarrow b\ne a$ thì $x=\frac{2\left( b-a \right)\left( b+a \right)}{b-a}=$ $2\left( b+a \right).$ + Nếu $b – a = 0$ $\Rightarrow b=a$ thì phương trình có vô số nghiệm. Kết luận: + Với $b ≠ a$, phương trình có nghiệm duy nhất $x = 2(b + a).$ + Với $b = a$, phương trình có vô số nghiệm. b) Điều kiện xác định: $x\ne \pm 1.$ $ \Leftrightarrow \left( {ax – 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 2\left( {x – 1} \right)$ $ = a\left( {{x^2} + 1} \right)$ $ \Leftrightarrow a{x^2} + ax – x – 1 + 2x – 2$ $ = a{x^2} + a$ $ \Leftrightarrow \left( {a + 1} \right)x = a + 3.$ + Nếu $a+1\ne 0$ $\Rightarrow a\ne -1$ thì $x=\frac{a+3}{a+1}.$ + Nếu $a+1=0$ $\Rightarrow a=-1$ thì phương trình vô nghiệm. Kết luận: + Với $a\ne -1$ và $a\ne -2$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{a+3}{a+1}.$ + Với $a=-1$ hoặc $a=-2$ thì phương trình vô nghiệm. Bài toán 3. a) Ta có $({{m}^{2}}-m)x=2x+{{m}^{2}}-1$ $\Leftrightarrow ({{m}^{2}}-m-2)x={{m}^{2}}-1.$ Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a=0 \\ b\ne 0 \\ \end{matrix} \right.$ hay $\left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}-m-2=0 \\ {{m}^{2}}-1\ne 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m=2.$ Vậy với $m=2$ thì phương trình vô nghiệm. b) Ta có: Phương trình $\Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}-1 \right)x={{m}^{3}}-3m+2.$ Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a=0 \\ b\ne 0 \\ \end{matrix} \right.$ hay $\left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}-1=0 \\ {{m}^{3}}-3m+2\ne 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m=-1.$ Vậy với $m=-1$ thì phương trình vô nghiệm. Bài toán 4. a) Ta có $a\left( bx-a+2 \right)=\left( a+b-1 \right)x+1$ $\Leftrightarrow \left( ab-a-b+1 \right)x={{a}^{2}}-2a+1$ $\Leftrightarrow \left( a-1 \right)\left( b-1 \right)x={{\left( a-1 \right)}^{2}}.$ Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left( a-1 \right)\left( b-1 \right)\ne 0 \\ \left\{ \begin{matrix} \left( a-1 \right)\left( b-1 \right)=0 \\ {{\left( a-1 \right)}^{2}}=0 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} a\ne 1 \\ b\ne 1 \\ \end{matrix} \right. \\ a=1 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow a\ne 1.$ Vậy $a\ne 1$ là điều kiện cần tìm. b) Phương trình tương đương với: $b\left( 2x-a \right)-a{{b}^{2}}=a\left( 2x-b \right)-{{a}^{2}}b$ $\Leftrightarrow 2\left( a-b \right)x=ab\left( a-b \right).$ Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} a-b\ne 0 \\ \left\{ \begin{matrix} a-b=0 \\ ab\left( a-b \right)=0 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} a\ne b \\ a=b \\ \end{matrix} \right.$ đúng với mọi $a,b.$ Vậy với mọi $a,b$ khác $0$ thì phương trình có nghiệm.
