Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Giải và biện luận phương trình lượng giác $\cos x = m$

Thảo luận trong 'Ôn tập' bắt đầu bởi moon, 5/12/18.

  1. moon

    moon Thành viên cấp 2 Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    2/10/14
    Bài viết:
    160
    Đã được thích:
    46
    Điểm thành tích:
    28
    Giải và biện luận phương trình lượng giác $\cos x = m$
    Ta biện luận phương trình $\cos x = m$ theo $m$:
    Bước 1: Nếu $\left| m \right| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.
    Bước 2: Nếu $\left| m \right| \le 1$, ta xét 2 khả năng:
    + Khả năng 1: Nếu $m$ được biểu diễn qua $cos$ của góc đặc biệt, giả sử góc $\alpha $, khi đó phương trình có dạng: $\cos x = \cos \alpha $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = \alpha + k2\pi \\
    x = – \alpha + k2\pi
    \end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
    + Khả năng 2: Nếu $m$ không biểu diễn được qua $cos$ của góc đặc biệt, khi đó đặt $m = \cos \alpha $, ta có: $\cos x = \cos \alpha $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = \alpha + k2\pi \\
    x = – \alpha + k2\pi
    \end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
    Chú ý: Nếu $α$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}
    0 \le – \alpha \le \pi \\
    \cos \alpha = m
    \end{array} \right.$ thì ta viết $\alpha = \arccos m.$
    Các trường hợp đặc biệt:
    1. $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi .$
    2. $\cos x = – 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi .$
    3. $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi .$

    Ví dụ 3: Giải phương trình: $\cos x = – \frac{1}{2}.$

    Do $ – \frac{1}{2} = \cos \frac{{2\pi }}{3}$ nên $\cos x = – \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{{2\pi }}{3}$ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{2\pi }{3} + k2\pi (k \in Z).$
    Vậy phương trình có 2 họ nghiệm $x = \pm \frac{2\pi }{3} + k2\pi (k \in Z).$

    Ví dụ 4: Giải phương trình: $3\cos (2x + \frac{\pi }{6}) = 1.$

    Ta có: $3\cos (2x + \frac{\pi }{6}) = 1$ $ \Leftrightarrow \cos (2x + \frac{\pi }{6}) = \frac{1}{3}$
    $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    2x + \frac{\pi }{6} = \arccos \frac{1}{3} + k2\pi \\
    2x + \frac{\pi }{6} = – \arccos \frac{1}{3} + k2\pi
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = \frac{{ – \pi }}{{12}} + \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi \\
    x = \frac{{ – \pi }}{{12}} – \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi
    \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$
    Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
    x = \frac{{ – \pi }}{{12}} + \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi \\
    x = \frac{{ – \pi }}{{12}} – \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi
    \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$
     

Chia sẻ trang này