LÝ THUYẾT CẦN NẮM 1. Giới hạn hữu hạn của dãy số a. Định nghĩa: • $\lim {u_n} = 0$ $ \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists {n_0} \in N^*$: $\left| {{u_n}} \right| < \varepsilon $, $\forall n > {n_0}.$ • $\lim {u_n} = a$ $ \Leftrightarrow \lim \left( {{u_n} – a} \right) = 0.$ b. Một số giới hạn hữu hạn thường gặp: • $\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0$ với mọi $k \in N^* .$ • Nếu $\left| q \right| < 1$ thì $\lim {q^n} = 0.$ • Nếu ${u_n} = c$ (với $c$ là hằng số) thì $\lim {u_n}$ $ = \lim c = c.$ 2. Một số định lí về giới hạn của dãy số • Nếu dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa $\left| {{u_n}} \right| < {v_n}$ kể từ số hạng nào đó trở đi và $\lim {v_n} = 0$ thì $\lim {u_n} = 0.$ • Cho $\lim {u_n} = a$, $\lim {v_n} = b$. Ta có: $\lim ({u_n} + {v_n}) = a + b.$ $\lim ({u_n} – {v_n}) = a – b.$ $\lim ({u_n}.{v_n}) = a.b$ $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}$ $(b \ne 0).$ Nếu ${u_n} \ge 0$, $\forall n$ thì $\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a .$ 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Cho cấp số nhân $({u_n})$ có công bội $q$ thỏa $\left| q \right| < 1.$ Khi đó tổng $S = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} + …$ $ = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}.$ 4. Giới hạn vô cực a. Định nghĩa: • $\lim {u_n} = + \infty $ $ \Leftrightarrow \forall M > 0$, $\exists {n_0} \in {N^*}$: ${u_n} > M$, $\forall n > {n_0}.$ • $\lim {u_n} = – \infty $ $ \Leftrightarrow \lim \left( { – {u_n}} \right) = + \infty .$ b. Một số giới hạn vô cực thường gặp: • $\lim {n^k} = + \infty $ với mọi $k > 0.$ • $\lim {q^n} = + \infty $ với mọi $q > 1.$ c. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực: Quy tắc 1: Nếu $\lim {u_n} = \pm \infty $, $\lim {v_n} = \pm \infty $ thì $\lim ({u_n}.{v_n})$ được tính như sau: Quy tắc 2: Nếu $\lim {u_n} = \pm \infty $, $\lim {v_n} = L ≠ 0$ thì $\lim ({u_n}.{v_n})$ được tính như sau: Quy tắc 3: Nếu $\lim {u_n} = L ≠ 0$, $\lim {v_n} = 0$ và ${v_n} > 0$ hoặc ${v_n} < 0$ kể từ một số hạng nào đó trở đi thì $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}$ được tính như sau:
