Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba

Thảo luận trong 'Bài 5. Khảo sát sát sự biến thiên hàm số' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 6/12/18.

  1. Tăng Giáp

    Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    16/11/14
    Bài viết:
    4,614
    Đã được thích:
    282
    Điểm thành tích:
    83
    Giới tính:
    Nam
    Phương pháp: Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ với $a ≠ 0.$
    + Bước 1. Tập xác định: $D = R.$
    + Bước 2. Đạo hàm: $y’ = 3a{x^2} + 2bx + c$, $Delta’ = {b^2} – 3ac.$
    $Delta’ > 0$: Hàm số có $2$ cực trị.
    $Delta’ le 0$: Hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm trên $R$.
    + Bước 3. Đạo hàm cấp $2$: $y” = 6ax + 2b$, $y” = 0 Leftrightarrow x = – frac{b}{{3a}}.$
    $x = – frac{b}{{3a}}$ là hoành độ điểm uốn, đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
    + Bước 4. Giới hạn:
    Nếu $a > 0$ thì: $mathop {lim }limits_{x to – infty } y = – infty $, $mathop {lim }limits_{x to + infty } y = + infty .$
    Nếu $a < 0$ thì: $mathop {lim }limits_{x to – infty } y = + infty $, $mathop {lim }limits_{x to + infty } y = – infty .$
    + Bước 5. Bảng biến thiên và đồ thị:
    Trường hợp $a > 0$:
    + $Delta’ = {b^2} – 3ac > 0$: Hàm số có $2$ cực trị.


    Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba.png

    + $Delta’ = {b^2} – 3ac le 0$ $ Rightarrow y’ ge 0,forall x in R$: Hàm số luôn tăng trên $R$.

    Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba.png

    Trường hợp $a < 0$:
    + $Delta’ = {b^2} – 3ac > 0$: Hàm số có $2$ cực trị.

    Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba.png

    + $Delta’ = {b^2} – 3ac le 0$ $ Rightarrow y’ le 0,forall x in R$: Hàm số luôn giảm trên $R$.

    Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba.png

    Một số tính chất của hàm số bậc ba
    1. Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: $Delta’ = {b^2} – 3ac > 0$.
    2. Hàm số luôn đồng biến trên $R$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
    a > 0\
    Delta’ = {b^2} – 3ac le 0
    end{array} right.$
    3. Hàm số luôn nghịch biến trên $R$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
    a < 0\
    Delta’ = {b^2} – 3ac le 0
    end{array} right.$
    4. Để tìm giá cực trị (đường thẳng đi qua $2$ điểm cực trị) ta lấy $f(x)$ chia cho $f'(x)$: $f(x) = f'(x).g(x) + rx + q$. Nếu ${x_1}, {x_2}$ là hai nghiệm của $f'(x)$ thì: $f({x_1}) = r{x_1} + q$, $f({x_2}) = r{x_2} + q.$ Khi đó đường thẳng đi qua các điểm cực trị là $y = rx + q$.
    5. Đồ thị luôn có điểm uốn $I$ và là tâm đối xứng của đồ thị.
    6. Đồ thị cắt $Ox$ tại $3$ điểm phân biệt $ Leftrightarrow $ hàm số có hai cực trị trái dấu nhau.
    7. Đồ thị cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt $ Leftrightarrow $ đồ thị hàm số có hai cực trị và một cực trị nằm trên $Ox$.
    8. Đồ thị cắt $Ox$ tại một điểm $ Leftrightarrow $ hoặc hàm số không có cực trị hoặc hàm số có hai cực trị cùng dấu.
    9. Tiếp tuyến: Gọi $I$ là điểm uốn. Cho $M in (C).$
    + Nếu $M equiv I$ thì có đúng một tiếp tuyến đi qua $M$ và tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất (nếu $a > 0$), lớn nhất (nếu $a < 0$).
    + Nếu $M$ khác $I$ thì có đúng $2$ tiếp tuyến đi qua $M$.

    Ví dụ minh họa
    Ví dụ 1
    . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số:
    a. $y = – {x^3} + 3{x^2} – 4.$
    b. $y = – {x^3} + 3{{rm{x}}^2}.$
    c. $y = frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + 4x.$

    a. Tập xác định: $D = R.$
    Chiều biến thiên:
    Ta có: $y’ = – 3{{rm{x}}^2} + 6{rm{x}}$ $ = – 3xleft( {x – 2} right).$
    $y’ = 0$ $ Leftrightarrow – 3{rm{x}}left( {x – 2} right) = 0$ $ Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2.$
    Hàm số nghịch biến trên các khoảng $left( { – infty ;0} right)$ và $left( {2; + infty } right)$, đồng biến trên khoảng $left( {0;2} right)$.
    Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 2$, giá trị cực đại của hàm số là $yleft( 2 right) = 0.$
    Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 0$, giá trị cực tiểu của hàm số là $yleft( 0 right) = -4.$
    Giới hạn của hàm số tại vô cực: $mathop {lim }limits_{x to – infty } y = + infty $, $mathop {lim }limits_{x to + infty } y = – infty .$
    Bảng biến thiên:

    Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba.png

    Đồ thị:
    Cho $x = – 1 Rightarrow y = 0$, $x = 3 Rightarrow y = -4.$

    Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba.png

    b. Tập xác định: $D = R.$
    Chiều biến thiên:
    Ta có: $y’ = – 3{{rm{x}}^2} + 6{rm{x}} = – 3xleft( {x – 2} right).$
    $y’ = 0 Leftrightarrow – 3{rm{x}}left( {x – 2} right) = 0$ $ Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2.$
    Hàm số nghịch biến trên các khoảng $left( { – infty ;0} right)$ và $left( {2; + infty } right)$, đồng biến trên khoảng $left( {0;2} right).$
    Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 2$, giá trị cực đại của hàm số là $yleft( 2 right) = 4.$
    Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 0$, giá trị cực tiểu của hàm số là $yleft( 0 right) = 0.$
    Giới hạn của hàm số tại vô cực: $mathop {lim }limits_{x to – infty } y = + infty $, $mathop {lim }limits_{x to + infty } y = – infty .$
    Bảng biến thiên:

    Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba.png

    Đồ thị:
    Cho $x = – 1 Rightarrow y = 4$, $x = 3 Rightarrow y = 0$.

    Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba.png

    c. Tập xác định: $D = R.$
    Chiều biến thiên:
    Ta có: $y’ = {{rm{x}}^2} + 4{rm{x}} + 4$ $ = {left( {x + 2} right)^2} ge 0$ $forall x in R.$
    Hàm số đồng biến trên khoảng $left( { – infty ; + infty } right)$, hàm số không có cực trị.
    Giới hạn của hàm số tại vô cực: $mathop {lim }limits_{x to – infty } y = – infty $, $mathop {lim }limits_{x to + infty } y = + infty .$
    Bảng biến thiên:

    Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba.png

    Đồ thị: Cho $x = 0 Rightarrow y = 0.$

    Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba.png

    Ví dụ 2. Cho hàm số $y = – {x^3} + 3{x^2} + 1$ có đồ thị $(C).$
    a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số.
    b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại $Aleft( {3;1} right).$

    a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị:
    Tập xác định: $D = R.$
    Chiều biến thiên:
    Ta có: $y’ = – 3{x^2} + 6x = – 3xleft( {x – 2} right).$
    $y’ = 0 Leftrightarrow – 3xleft( {x – 2} right) = 0$ $ Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2.$
    $y’ > 0 Leftrightarrow x in left( {0 ; 2} right)$, $y’ < 0$ $ Leftrightarrow x in left( { – infty ; 0} right) cup left( {2 ; + infty } right).$
    Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $left( { – infty ;0} right)$ và $left( {2; + infty } right)$, đồng biến trên khoảng $left( {0;2} right).$
    Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 2$, giá trị cực đại của hàm số là $yleft( 2 right) = 5.$
    Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 0$, giá trị cực tiểu của hàm số là $yleft( 0 right) = 1.$
    Giới hạn của hàm số tại vô cực: $mathop {lim }limits_{x to – infty } y = + infty $, $mathop {lim }limits_{x to + infty } y = – infty .$
    Bảng biến thiên:

    Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba.png

    Đồ thị:

    Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3-1.png

    b. Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $Aleft( {3;1} right)$ có dạng:
    $y – 1 = y’left( 3 right).left( {x – 3} right)$ $ Leftrightarrow y = – 9left( {x – 3} right) + 1$ $ Leftrightarrow y = – 9x + 28.$

    Ví dụ 3. Cho hàm số $y = {x^3} + 3{{rm{x}}^2} – mx – 4$, trong đó $m$ là tham số.
    a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho với $m = 0$.
    b. Với giá trị nào của $m$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $left( { – infty ;0} right)$.

    a. Khi $m = 0$ thì hàm số là: $y = {x^3} + 3{{rm{x}}^2} – 4.$
    Tập xác định: $D = R.$
    Chiều biến thiên:
    Ta có: $y’ = 3{{rm{x}}^2} + 6{rm{x}} = 3{rm{x}}left( {x + 2} right).$
    $y’ = 0 Leftrightarrow 3{rm{x}}left( {x + 2} right) = 0$ $ Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = – 2.$
    Hàm số đồng biến trên các khoảng $left( { – infty ; – 2} right)$ và $left( {0; + infty } right)$, nghịch biến trên khoảng $left( { – 2;0} right).$
    Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = – 2$, giá trị cực đại của hàm số là $yleft( { – 2} right) = 0.$
    Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 0$, giá trị cực tiểu của hàm số là $yleft( 0 right) = – 4.$
    Giới hạn của hàm số tại vô cực: $mathop {lim }limits_{x to – infty } y = + infty $, $mathop {lim }limits_{x to + infty } y = – infty .$
    Bảng biến thiên:

    Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3-2.png

    Đồ thị:
    Cho $x = – 3 Rightarrow y = – 4$, $x = 1 Rightarrow y = 0.$

    Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3-3.png

    b. Hàm số $y = {x^3} + 3{{rm{x}}^2} – mx – 4$ đồng biến trên khoảng $left( { – infty ;0} right).$
    $ Leftrightarrow y’ = 3{{rm{x}}^2} + 6{rm{x}} – m ge 0$, $forall x in left( { – infty ; 0} right).$
    Xét: $gleft( x right) = 3{{rm{x}}^2} + 6{rm{x}} – m$, $x in left( { – infty ; 0} right).$
    $g’left( x right) = 6{rm{x}} + 6$ $ Rightarrow g’left( x right) = 0 Leftrightarrow x = – 1.$
    Bảng biến thiên:

    Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3-3.png

    Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy:
    $y’ = gleft( x right) = 3{{rm{x}}^2} + 6{rm{x}} – m ge 0$, $forall x in left( { – infty ; 0} right)$ $ Leftrightarrow – 3 – m ge 0 Leftrightarrow m le – 3.$
    Vậy khi $m le – 3$ thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.

    Ví dụ 4. Cho hàm số $y = 2{x^3} – 9{x^2} + 12x – 4$ có đồ thị $(C).$
    a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
    b. Tìm $m$ để phương trình sau có $6$ nghiệm phân biệt: $2{left| x right|^3} – 9{x^2} + 12left| x right| = m.$

    a. Bảng biến thiên:

    Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3-4.png

    Đồ thị:

    Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3-4.png

    b. Ta có:
    $2{left| x right|^3} – 9{x^2} + 12left| x right| = m$ $ Leftrightarrow 2{left| x right|^3} – 9{x^2} + 12left| x right| – 4$ $ = m – 4.$
    Gọi $left( C right):y = 2{x^3} – 9{x^2} + 12x – 4$ và $left( {C’} right):y = 2{left| x right|^3} – 9{x^2} + 12left| x right| – 4.$
    Ta thấy khi $x ge 0$ thì: $left( {C’} right):y = 2{x^3} – 9{x^2} + 12x – 4.$
    Mặt khác hàm số của đồ thị $(C’)$ là hàm số chẵn nên $(C’)$ nhận $Oy$ là trục đối xứng. Từ đồ thị $(C)$ ta suy ra đồ thị $(C’)$ như sau:
    + Giữ nguyên phần đồ thị $(C)$ bên phải trục $Oy$, ta được $left( {{{C’}_1}} right).$
    + Lấy đối xứng qua trục $Oy$ phần $left( {{{C’}_1}} right)$, ta được $left( {{{C’}_2}} right).$
    + $left( {C’} right) = left( {{{C’}_1}} right) cup left( {{{C’}_2}} right).$

    Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3-4.png

    Số nghiệm của phương trình: $2{left| x right|^3} – 9{x^2} + 12left| x right| = m$ $ Leftrightarrow 2{left| x right|^3} – 9{x^2} + 12left| x right| – 4 = m – 4$ là số giao điểm của đồ thị $(C’)$ và đường thẳng $left( d right):y = m – 4.$
    Từ đồ thị $(C’)$, ta thấy yêu cầu bài toán: $ Leftrightarrow 0 < m – 4 < 1$ $ Leftrightarrow 4 < m < 5.$
     

    Các file đính kèm:

    Chỉnh sửa cuối: 6/12/18

    Bình Luận Bằng Facebook

Chia sẻ trang này