Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Mặt cầu, mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Thảo luận trong 'Bài 8. Mặt cầu' bắt đầu bởi Doremon, 24/1/15.

  1. khangnhuanh423

    khangnhuanh423 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    9/11/16
    Bài viết:
    4
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 1, \(\widehat {BA{\rm{D}}} = {60^o},\) (SCD) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SC và (ABCD) bằng \({45^o}.\) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.BCD.
    A. \(\frac{{7\pi }}{2}.\)
    B. \(\frac{{7\pi }}{4}.\)
    C. \(\frac{{7\pi }}{6}.\)
    D. \(\frac{{7\pi }}{3}.\)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      ABCD là hình thoi có \(\widehat {BA{\rm{D}}} = {60^o} \Rightarrow \) ABD và BCD là hai tam giác đều cạnh bằng 1.
      \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SA{\rm{D}}} \right) \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\\left( {SC{\rm{D}}} \right) \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\\left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right) = S{\rm{D}}\end{array} \right. \Rightarrow S{\rm{D}} \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
    2. Minh Toán
      Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Kẻ Gx // SD suy ra Gx là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Trong mặt phẳng (SDG), kẻ Ky vuông góc SD và cắt Gx tại I (với K là trung điểm của SD) suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.BCD.
      Ta có: \(IG = K{\rm{D}} = \frac{1}{2};\,\,DG = \frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow I{\rm{D}} = \sqrt {I{G^2} + G{{\rm{D}}^2}} = \frac{{\sqrt {21} }}{6}.\)
      Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.BCD là \(S = 4\pi {\left( {\frac{{\sqrt {21} }}{6}} \right)^2} = \frac{{7\pi }}{3}.\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  2. khangnhubanam44

    khangnhubanam44 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    1/6/17
    Bài viết:
    1
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Một cái bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình vẽ). Đường sinh của hình trụ bằng hai lần đường kính của hình cầu. Biết thể tích của bồn chứa nước là \(\frac{{128\pi }}{3}\left( {{m^3}} \right).\) Tính diện tích xung quanh của cái bồn chứa nước theo đơn vị \({m^2}.\)
    [​IMG]
    A. \(50\pi \left( {{m^2}} \right).\)
    B. \(64\pi \left( {{m^2}} \right).\)
    C. \(40\pi \left( {{m^2}} \right).\)
    D. \(48\pi \left( {{m^2}} \right).\)
     
    1. Minh Toán
      Gọi \(4{\rm{x}}\left( m \right)\) là đường sinh hình trụ.
      Suy ra đường tròn đáy hình trụ và mặt cầu có bán kính là \(x\left( m \right).\)
      Thể tích bồn chứa nước này chính là thể tích khối trụ có bán kính đáy \(R = x\), đường sinh \(l = h = 4{\rm{x}}\) và thể tích khối cầu có bán kính đáy \(R = x.\)
      Do đó \(\pi \left( {{x^2}.4{\rm{x}} + \frac{4}{3}{x^3}} \right) = \frac{{128\pi }}{3} \Leftrightarrow x = 2\left( m \right).\)
      Vậy diện tích xung quanh bồn nước là \(S = \pi \left( {4{{\rm{x}}^2} + 2.x.4{\rm{x}}} \right) = 48\pi \left( {{m^2}} \right).\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  3. daaaaaaa

    daaaaaaa Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    10/10/17
    Bài viết:
    12
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P). Gọi I là khoảng cách từ I đến (P). Mệnh đề nào sau đây sai?
    A. (P) qua tâm I của (S) khi và chỉ khi \(d = 0\)
    B. (P) không cắt (S) khi và chỉ khi \(d > R\)
    C. (P) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi \(d = R\)
    D. (P) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi \(d < R\)
     
    1. Minh Toán
      (P) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi \(d = R\) là khẳng định đúng.
       
      Minh Toán, 5/12/17
  4. nale2962

    nale2962 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    10/7/17
    Bài viết:
    8
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC = a, góc giữa A'C và (ABC) bằng 600. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(C'.ABB'A'\).
    A. \(S = \frac{{5\pi }}{4}{a^2}\)
    B. \(S = \frac{{5\pi }}{2}{a^2}\)
    C. \(S = 5\pi {a^2}\)
    D. \(S = \frac{{5\pi }}{6}{a^2}\)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Dễ thấy \(\widehat {A'C;\left( {ABC} \right)} = \widehat {A'CA} = {60^0}\)
      Khi đó \(AA' = h = AC\tan {60^0} = a\sqrt 3 \)
      Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(C'.ABB'A'\) bằng bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ
      Ta có: \(R = \sqrt {R_d^2 + {{\left( {\frac{h}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
      Do đó \(S = 4\pi {R^2} = 5\pi {a^2}.\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  5. nam dương

    nam dương Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    15/5/17
    Bài viết:
    9
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính R. Một hình nón \(\left( N \right)\) có chiều cao \(x\left( {0 < x < 2R} \right)\) nội tiếp trong hình cầu \(\left( S \right).\) Gọi \({V_S},{V_N}\) lần lượt là thể tích của khối cầu \(\left( S \right)\) và khối nón \(\left( N \right).\) Giá trị lớn nhất của tỉ số \(\frac{{{V_N}}}{{{V_S}}}\) bằng bao nhiêu?
    A. \(\frac{1}{3}.\)
    B. \(\frac{8}{{27}}.\)
    C. \(\frac{9}{{ }}.\)
    D. \(\frac{1}{4}.\)
     
    1. Minh Toán
      Mặt phẳng thiết diện vuông góc với đáy của hình nón và đi qua đường cao của hình nón như hình vẽ bên.
      [​IMG]
      Chuẩn hóa \(R = 1,HM = x\) là chiều cao của khối nón
      Tam giác IMA vuông tại M, có \(AM = \sqrt {I{A^2} - I{M^2}} = \sqrt {2{\rm{x}} - {x^2}} .\)
      Khối nón (N) có chiều cao \(h = x,\) bán kính đáy \(r = AM = \sqrt {2x - {x^2}} .\)
      \( \Rightarrow {V_N} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi \left( {2{\rm{x}} - {x^2}} \right)x = \frac{1}{3}\pi {{\rm{x}}^2}\left( {2 - x} \right) = \frac{4}{3}\pi .\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.\left( {2 - x} \right)\)
      \(\,\,\,\,\, \le \frac{4}{3}\pi .\frac{{{{\left( {\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + 2 - x} \right)}^3}}}{{27}} = \frac{4}{3}\pi .\frac{{{2^3}}}{{27}} = \frac{{ }}{{81}} \Rightarrow \frac{{{V_N}}}{{{V_S}}} = \frac{{ }}{{81}}\pi :\left( {\frac{4}{3}\pi } \right) = \frac{8}{{27}}.\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  6. Hồ Tấn

    Hồ Tấn Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    19/6/17
    Bài viết:
    13
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, CA = a, mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
    A. \(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
    B. \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
    C. \(R = \frac{a}{2}\)
    D. \(R = a\sqrt 2 \)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Ta có: \(AB = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
      Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
      Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: \(R = CI = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
       
      Minh Toán, 5/12/17
  7. hoa bat tu

    hoa bat tu Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    19/6/17
    Bài viết:
    9
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng \(5\sqrt 2 cm.\) Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp trên.
    A. \(V = \frac{{250}}{3}c{m^3}. \)
    B. \(V = 100\pi c{m^3}. \)
    C. \(V = \frac{{500}}{3}\pi c{m^3}. \)
    D. \(V = \frac{{125\sqrt 2 }}{3}\pi c{m^3} \)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Gọi M là trung điểm của SA. Kẻ đường thẳng qua M và kể đường thẳng d vuông góc với SA trong mp (SAI).
      Ta có: \(d \cap SI = O.\) Khi đó O là tâm khối cầu ngoại tiếp khối chóp.
      Ta có: \(2A{I^2} = {\left( {5\sqrt 2 } \right)^2} \Leftrightarrow AI = 5;\,\,SI = \sqrt {{{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2} - {5^2}} = 5.\)
      \(SM.SA = SO.SI \Leftrightarrow SO = \frac{{SM.SA}}{{SI}} = \frac{{\frac{{5\sqrt 2 }}{2}.5\sqrt 2 }}{5} = 5 \Rightarrow R = 5\)
      Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {.5^3} = \frac{{500}}{3}\pi \left( {c{m^3}} \right).\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  8. duanpanora

    duanpanora Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    21/8/17
    Bài viết:
    11
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AC=a, \(\widehat {ACB} = {60^0}.\) Đường chéo BC’ tạo với mặt phẳng (AA’C’C) góc \({30^0}\) . Tính bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp một hình lăng trụ.
    A. \(a\sqrt 2 \) (đvđd)
    B. \(a\sqrt 3 \) (đvđd)
    C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) (đvđd)
    D. \(a\) (đvđd)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Bước 1: Xác định tâm mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ.
      Gọi I và I’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’
      Ta có: I và I’ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của 2 đáy ABC và A’B’C’
      Lấy O là trung điểm của II’. \( \Rightarrow \) O là tâm mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ.
      \( \Rightarrow \) OB là bán kính đường tròn ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’
      Bước 2: Tính bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ
      A là hình chiếu của B lên mp(AA’C’C) nên góc tạo bởi BC’ và mp(AA’C’C) là \(BC'A = {30^0}\)
      Tam giác ABC vuông tại A có: \(AC = a,ACB = {60^0} \Rightarrow AB = a\sqrt 3 \)
      Tam giác ABC’ vuông tại A có: \(BC' = \frac{{AB}}{{\sin {{30}^0}}} = 2a\sqrt 3 \)
      Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
      \(R = OB = \frac{{BC'}}{2} = a\sqrt 3 \) (đvđd)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  9. Ducdeu99

    Ducdeu99 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    28/9/16
    Bài viết:
    10
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Trong các hình chóp dưới đây, hình chóp nào có mặt cầu ngoại tiếp?
    A. Hình chóp tứ giác có mặt đáy là hình thang cân.
    B. Hình chóp tứ giác có mặt đáy là hình bình hành.
    C. Hình chóp tứ giác có mặt đáy là hình thoi.
    D. Hình chóp tứ giác có mặt đáy là hình thang vuông.
     
    1. Minh Toán
      Hình bình hành, hình thoi, hình thang vuông trong trường hợp tổng quát không có đường tròn ngoại tiếp.
      Do đó không có mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác có mặt đáy là hình thang vuông, hình bình hành, hình thoi.
      Vậy A là phương án đúng.
       
      Minh Toán, 5/12/17
  10. ducganghanviet

    ducganghanviet Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    23/8/17
    Bài viết:
    10
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với đáy lớn \(AB = 2a,AB = BC = a\). Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
    A. \(V = \frac{{8\sqrt 2 \pi {a^3}}}{3}.\)
    B. \(V = \frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{2}.\)
    C. \(V = \frac{{64\sqrt 2 \pi {a^3}}}{3}.\)
    D. \(V = 8\sqrt 2 \pi {a^3}.\)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Gọi I, O lần lượt là trung điểm của AD và SD. Ta có BI là đường trung tuyến của tam giác BAD và \(BI = \frac{1}{2}AD \Rightarrow \Delta BAD\) là tam giác vuông \( \Rightarrow BD \bot SB \Rightarrow O\) cách đều 3 điểm S, B, D. Tương tự O cách đều 3 điểm S, C, D. Mà \(\Delta SAD\) vuông nên O cách đều 3 điểm S, A, D. Vậy O là tâm của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
      Ta có:
      \(SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = 2a\sqrt 2 \)
      Bán kính của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: \(R = SO = \frac{{2a\sqrt 2 }}{2} = a\sqrt 2 \)
      Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {a\sqrt 2 } \right)^3} = \frac{{8\sqrt 2 \pi {a^3}}}{3}\).
       
      Minh Toán, 5/12/17
  11. seoviemhong

    seoviemhong Guest

    Cho hình chóp S.ABC có \(AB = a\sqrt 2 ,\,\,AC = a,\,\,BC = a\sqrt 5 ,\,\,SA = a.\) Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
    A. \(\frac{{a\sqrt {11} }}{2}.\)
    B. \(\frac{{a\sqrt {11} }}{5}.\)
    C. \(\frac{{3a\sqrt {11} }}{2}.\)
    D. \(\frac{{7a\sqrt {11} }}{2}.\)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Ta có: \({\rm{cos}}\widehat {ACB} = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2.AC.BC}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow \sin \widehat {ACB} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.\)
      Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
      \(r = \frac{{AB}}{{2\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2.\frac{{\sqrt 5 }}{5}}} = \frac{{\sqrt {10} }}{2}a.\)
      Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Dựng đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Dựng trung trực \(\Delta \) của cạnh SA. Gọi \(O = d \cap \Delta .\) Ta có O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
      Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: \(R = \sqrt {I{A^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {11} }}{2}\,\,\,do\,\,\,IA = r.\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  12. Bá thắng

    Bá thắng Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    28/9/17
    Bài viết:
    22
    Đã được thích:
    1
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nam
    Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều cạnh chung BC = 2. Cho biết mặt bên (DBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc \(2\alpha \) mà \(\cos 2\alpha = - \frac{1}{3}\). Hãy xác định tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.
    A. O là trung điểm của AB.
    B. O là trung điểm của AD.
    C. O là trung điểm của BD.
    D. O thuộc mặt phẳng (ADB).
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Gọi M là trung điểm cạnh BC.
      Vì ABC và DBC là 2 tam giác đều bằng nhau nên 2 trung truyến AM và DM cùng vuông góc với BC và \(AM = DM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
      Trong \(\Delta MA{\rm{D}}\):
      \(A{{\rm{D}}^2} = A{M^2} + D{M^2} - 2AM.DM.\cos 2\alpha \)
      \( \Rightarrow AD = 2.2.\frac{{3{a^2}}}{4} - 2.\frac{{3{a^2}}}{4}.\frac{1}{3} = 2{a^2}\)
      Ta có: \(B{A^2} + B{D^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} = A{D^2}\)
      \( \Rightarrow ABD = {90^0}\)
      Tương tự: \(C{A^2} + C{D^2} = A{D^2}\)
      \( \Rightarrow ACD = {90^0}\)
      Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm O là trung điểm cạnh AD.
       
      Minh Toán, 5/12/17
  13. babulotte

    babulotte Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    9/8/17
    Bài viết:
    11
    Đã được thích:
    1
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Cho mặt cầu (S) có diện tích mặt cầu bằng \(16\pi \) (đvdt). Tính thể tích khối cầu.
    A. \(\frac{{ \pi \sqrt 3 }}{9}\) (đvtt)
    B. \(\frac{{ \pi \sqrt 3 }}{3}\) (đvtt)
    C. \(\frac{{ \pi }}{9}\) (đvtt)
    D. \(\frac{{ \pi }}{3}\) (đvtt)
     
    1. Minh Toán
      Gọi R là bán kính mặt cầu.
      Ta có \(4\pi {R^2} = 16\pi \Leftrightarrow R = 2\)
      Thể tích khối cầu là: \(V = \frac{4}{3}\pi .{R^3} = \frac{4}{3}\pi {.2^3} = \frac{{ \pi }}{3}\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  14. noianhden321

    noianhden321 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    30/7/17
    Bài viết:
    16
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nam
    Cho hình lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
    A. \(R = a\sqrt 2 \)
    B. \(R = a\)
    C. \(R = a\sqrt 3 \)
    D. \(R = 2a\)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Gọi hình lăng trụ là \(ABCDEF.A'B'C'D'E'F'\) và O; O’ lần lượt là tâm hai lục giác đều \(ABCDEF\) và \(A'B'C'D'E'F'.\). Khi đó ta có \(OA = a;OO' = 2a\).
      Gọi I là trung điểm của OO’ thì \(OI = a\) .
      Ta có \(\Delta OAI\) vuông tại O: \(R = AI = \sqrt {I{O^2} + O{A^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 .\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  15. dai11

    dai11 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    15/11/17
    Bài viết:
    12
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho tứ diện ABCD có \(AB = 4a,CD = 6a,\) các cạnh còn lại đều bằng \(a\sqrt {22} \). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
    A. \(3a\)
    B. \(\frac{{a\sqrt {85} }}{3}\)
    C. \(\frac{{a\sqrt {79} }}{3}\)
    D. \(\frac{{5a}}{2}\)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Gọi M, N là trung điểm của AB, CD.
      Dễ dàng chứng minh (DMC) và (ANB) là lần lượt mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB và CD \( \Rightarrow \) Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là I nằm trên đường thẳng MN.
      Tính được \(MN = \sqrt {D{M^2} - D{N^2}} = \sqrt {D{B^2} - B{M^2} - D{N^2}} = 3a\)
      Đặt \(MI = x \ge 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{B{I^2} = A{I^2} = B{M^2} + B{I^2} = 4{a^2} + {x^2}}\\{D{I^2} = C{I^2} = D{N^2} + I{N^2} = 9{a^2} + {{\left( {3a \pm x} \right)}^2}}\end{array}} \right.\)
      \( \Leftrightarrow 4{a^2} + {x^2} = 9{a^2} + {\left( {3a \pm x} \right)^2} \Leftrightarrow x = \frac{{7a}}{3} \Rightarrow R = BI = \frac{{a\sqrt {85} }}{3}\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  16. dai11

    dai11 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    15/11/17
    Bài viết:
    12
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 7 và hình tròn (C) có tâm A, đường kính bằng 14 (hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục là đường thẳng AC.
    [​IMG]
    A. \(V = \frac{{343\left( {4 + 3\sqrt 2 } \right)\pi }}{6}.\)
    B. \(V = \frac{{343\left( {12 + \sqrt 2 } \right)\pi }}{6}.\)
    C. \(V = \frac{{343\left( {6 + \sqrt 2 } \right)\pi }}{6}.\)
    D. \(V = \frac{{343\left( {7 + \sqrt 2 } \right)\pi }}{6}.\)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Khối tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình quanh trục AC bao gồm:
      + Khối cầu có bán kính:
      \(R = 7 \Rightarrow {V_C} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{1372}}{3}\pi .\)
      + Khối nón có chiều cao \(h = \frac{{AC}}{2}\) và bán kính đường tròn đáy \(r = \frac{{B{\rm{D}}}}{2}.\)
      \({V_N} = \frac{1}{3}\pi {{\rm{r}}^2}h = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{7\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \frac{{343\sqrt 2 }}{{12}}\pi .\)
      + Trừ đi phần giao của khối cầu và khối nón chính là chỏm cầu có chiều cao là \(h = AB - \frac{{AC}}{2} \Rightarrow {V_G} = \pi {h^2}\left( {R - \frac{h}{3}} \right) = \pi {\left( {\frac{{14 - 7\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.\left( {7 - \frac{{14 - 7\sqrt 2 }}{6}} \right) = \pi {\left( {\frac{{14 - 7\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.\frac{{28 + 7\sqrt 2 }}{6}\)
      Thể tích của khối tròn xoay cần tìm là \(V = {V_C} + {V_N} - {V_G} = \frac{{343\left( {4 + 3\sqrt 2 } \right)\pi }}{6}.\)
       
      Minh Toán, 5/12/17

Chia sẻ trang này