Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Một số phương pháp tìm nguyên hàm (buổi 2)

Thảo luận trong 'Bài 1. Nguyên hàm' bắt đầu bởi Doremon, 13/12/14.

  1. Doremon

    Doremon Moderator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    29/9/14
    Bài viết:
    1,299
    Đã được thích:
    210
    Điểm thành tích:
    63
    Giới tính:
    Nam
    Trong chương trình Toán trung học phổ thông bài toán nguyên hàm là không thể thiếu trong chương trình học chính thức trên nhà trường cũng như luyện thi đại học. Đây là lớp bài toán quan trọng, có liên quan mật thiết với nhau. Tính thành thạo đạo hàm của hàm số, có thể giúp chúng ta suy luận để hướng tới kết quả của bài toán tìm nguyên hàm, cũng như kiểm tra tính đúng đắn của kết quả. Ngược lại, tính thành thạo nguyên hàm, có thể giúp ta tính được nhiều tích phân đơn giản của các hàm số khác nhau… về sau. Nhằm giúp các em có thêm những cách giải nhanh - hiệu quả, ở đây tôi xin đưa phương pháp giải nguyên hàm để các em tham khảo. Phương pháp thường sử dụng:
    • PHƯƠNG PHÁP 1. ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
    • PHƯƠNG PHÁP 2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
    • PHƯƠNG PHÁP 3. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
    • PHƯƠNG PHÁP 4. PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ
    • PHƯƠNG PHÁP 5: TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ
    V. PHƯƠNG PHÁP 5: TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ

    Giả sử cần tính $I = \int {f\left( x \right)dx} $. Khi đó ta tìm nguyên hàm phụ $J = \int {g\left( x \right)dx} $ sao cho việc tính I + J và I - J đơn giản hơn. Chẳng hạn:

    • $I = \int {\frac{{\sin x}}{{\sin x + \cos x}}dx} $

    Ta có thể xét $J = \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} $

    Khi đó:
    $I + J = \int {\frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} = \int {dx} = x + C$

    $I - J = \int {\frac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} = - \int {\frac{{d\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{\sin x + \cos x}}} = - \ln \left| {\sin x + \cos x} \right| + C$

    Từ đó suy ra: $2I = x - \ln \left| {\sin x + \cos x} \right| + C \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left( {x - \ln \left| {\sin x + \cos x} \right|} \right) + C$

    • $I = \int {\frac{{{{\cos }^4}x}}{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}dx} $
    Ta có thể xét $J = \int {\frac{{{{\sin }^4}x}}{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}dx} $
    Khi đó:
    $I + J = \int {\frac{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}dx} = \int {dx} = x + C$

    $I - J = \int {\frac{{{{\cos }^4}x - {{\sin }^4}x}}{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}dx} = \int {\frac{{\cos 2x}}{{1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x}}} dx = - \int {\frac{{2\cos 2x}}{{{{\sin }^2}2x - 2}}} dx$
    $ = - \int {\frac{{d\left( {\sin 2x} \right)}}{{{{\sin }^2}2x - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}} = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sin 2x - \sqrt 2 }}{{\sin 2x + \sqrt 2 }}} \right| + C$

    Từ đó suy ra:
    $2I = x - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sin 2x - \sqrt 2 }}{{\sin 2x + \sqrt 2 }}} \right| + C \Rightarrow I = \frac{1}{2}x - \frac{1}{{4\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sin 2x - \sqrt 2 }}{{\sin 2x + \sqrt 2 }}} \right| + C$

    • $I = \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx$
    Ta có thể xét $J = \int {\frac{{{e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx$
    Khi đó:

    $I + J = \int {\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx = \int {dx} = x + C$

    $I - J = \int {\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx = \int {\frac{{d\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} = \ln \left| {{e^x} + {e^{ - x}}} \right| + C$

    Từ đó suy ra: $2I = x + \ln \left| {{e^x} + {e^{ - x}}} \right| + C \Rightarrow I = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\ln \left| {{e^x} + {e^{ - x}}} \right| + C$

    • $I = \int {\frac{{4\sin x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^3}}}dx} $
    Ta có thể xét $J = \int {\frac{{4\cos x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^3}}}dx} $

    Khi đó:
    $I + J = 4\int {\frac{{\sin x + \cos x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^3}}}dx} = 4\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}} = 4\int {\frac{{dx}}{{{{\left[ {\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right]}^2}}}} $

    $ = 2\int {\frac{{d\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}} = - 2\cot \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + C$

    $I - J = 4\int {\frac{{\sin x - \cos x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^3}}}} dx = - 4\int {\frac{{d\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^3}}}} = 2{\left( {\sin x + \cos x} \right)^{ - 2}} + C$

    Từ đó suy ra nguyên hàm:
    $2I = - 2\cot \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + 2{\left( {\sin x + \cos x} \right)^{ - 2}} + C \Rightarrow I = \frac{1}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}} - \cot \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + C$
     
    Chỉnh sửa cuối: 3/10/18

    Bình Luận Bằng Facebook

  2. xemercedes

    xemercedes Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    24/10/17
    Bài viết:
    10
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^4}x}}\).
    A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} - \frac{1}{{\cos x}} + C\)
    B. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} + \frac{1}{{\cos x}} + C\)
    C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{\cos x}} - \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} + C\)
    D. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{{\cos x}} - \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} + C\)
     
    1. Minh Toán
      \(\int {f(x)dx} = \int {\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^4}x}}dx} = \int {\frac{{{{\sin }^2}x.\sin x}}{{{{\cos }^4}x}}dx} = \int {\frac{{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\sin x}}{{{{\cos }^4}x}}dx}\)
      Đặt \(u = \cos x \Rightarrow du = \sin xdx\)
      Khi đó:
      \(\begin{array}{l} \int {f(x)dx} = - \int {\frac{{1 - {u^2}}}{{{u^4}}}du = - \int {\left( {\frac{1}{{{u^4}}} - \frac{1}{{{u^2}}}} \right)du} } \\ = - \left( { - \frac{1}{3}.\frac{1}{{{u^3}}} + \frac{1}{u}} \right) + C \end{array}\)
      Vậy \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} - \frac{1}{{\cos x}} + C\) .
       
      Minh Toán, 5/12/17
  3. seoviemhong

    seoviemhong Guest

    Tìm nguyên hàm cuả hàm số \(f(x) = \frac{{\sqrt {\ln x} }}{x}\).
    A. \(\int {f(x)dx = 2{{\left( {\ln x} \right)}^{\frac{3}{2}}} + C}\)
    B. \(\int {f(x)dx = \frac{2}{3}\sqrt {{{\left( {\ln x} \right)}^3}} + C}\)
    C. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{{2\sqrt {\ln x} }} + C}\)
    D. \(\int {f(x)dx = \frac{3}{2}\sqrt {{{\left( {\ln x} \right)}^3}} } + C\)
     
    1. Minh Toán
      Đặt: u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\\, khi đó:
      \(\begin{array}{l} \int {\frac{{\sqrt {\ln x} }}{x}dx} = \int {\sqrt u du} = \int {{u^{\frac{1}{2}}}du} = \frac{2}{3}{u^{\frac{3}{2}}} + C\\ = \frac{2}{3}\sqrt {{u^3}} + C = \frac{2}{3}\sqrt {{{\left( {\ln x} \right)}^3}} + C \end{array}\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  4. di Angelo

    di Angelo Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    11/7/17
    Bài viết:
    10
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x{e^{{x^2} + 1}}\).
    A. \(\int {f(x)dx = } 2{e^{{x^2} + 1}} + C\)
    B. \(\int {f(x)dx = } {e^{{x^2} + 1}} + C\)
    C. \(\int {f(x)dx = } {x^2}{e^{{x^2} + 1}} + C\)
    D. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}{e^{{x^2} + 1}} + C\)
     
    1. Minh Toán
      Đặt \(u = {x^2} + 1 \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow \frac{1}{2}du = xdx\)
      \(\int {x.{e^{{x^2} + 1}}dx} = \frac{1}{2}\int {{e^u}du} = \frac{1}{2}{e^u} + C = \frac{1}{2}{e^{{x^2} + 1}} + C\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  5. dichchuan123

    dichchuan123 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    19/1/17
    Bài viết:
    10
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{3{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\).
    A. \(\int {f(x) = - \left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C}\)
    B. \(\int {f(x) = \left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C}\)
    C. \(\int {f(x) = - \left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C}\)
    D. \(\int {f(x) = \left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C}\)
     
    1. Minh Toán
      Đặt \(u = \sqrt {1 - {x^2}} \Rightarrow du = - \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }};\,\,{x^2} = 1 - {u^2}\)
      \(\begin{array}{l} \int {\frac{{3{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx = \int { - 3(1 - {u^2})du = {u^3} - 3u + C} } \\ = {\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)^3} - 3\sqrt {1 - {x^2}} + C = - \left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C \end{array}\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  6. dichngonngu

    dichngonngu Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    15/10/16
    Bài viết:
    8
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt {2x + 1}\).
    A. \(\int {f(x)dx} = \frac{2}{3}\sqrt {{{(2x + 1)}^3}} + C\)
    B. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{2\sqrt {2x + 1} }} + C\)
    C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{3}\sqrt {{{(2x + 1)}^3}} + C\)
    D. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{4\sqrt {2x + 1} }} + C\)
     
    1. Minh Toán
      Đặt: \(2x + 1 = t \Rightarrow d(2x + 1) = dt \Rightarrow 2dx = dt \Rightarrow dx = \frac{1}{2}dt\)
      \(\int {\sqrt {2x + 1} dx = \frac{1}{2}} \int {\sqrt t } dt = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\sqrt {{t^3}} + C = \frac{1}{3}\sqrt {{{(2x + 1)}^{^3}}} + C\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  7. Thạch24

    Thạch24 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    24/11/17
    Bài viết:
    17
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{1 + \ln x}}{x}\) .
    A. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}{\ln ^2}x + \ln x + C\)
    B. \(\int {f(x)dx = } {\ln ^2}x + \ln x + C\)
    C. \(\int {f(x)dx = } x + {\ln ^2}x + C\)
    D. \(\int {f(x)dx = } x + \frac{1}{2}{\ln ^2}x + C\)
     
    1. Minh Toán
      \(\int {\frac{{1 + \ln x}}{x}} dx\)
      Đặt \(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\)
      \(\begin{array}{l} \int {\frac{{1 + \ln x}}{x}} dx = \int {\left( {1 + u} \right)du} \\ = u + \frac{1}{2}{u^2} + C = \ln x + \frac{1}{2}{\ln ^2}x + C \end{array}\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  8. Noctrlz

    Noctrlz Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    7/10/17
    Bài viết:
    14
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \tan 2x\).
    A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{2}\ln \left| {\sin 2x} \right| + C\)
    B. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{2}\ln \left| {\cos 2x} \right| + C\)
    C. \(\int {f(x)dx} = 2\ln \left| {\sin 2x} \right| + C\)
    D. \(\int {f(x)dx} = - \ln \left| {\cos 2x} \right| + C\)
     
    1. Minh Toán
      \(\int {f(x)dx = } \int {\tan 2xdx = } \int {\frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}}dx}\)
      Đặt: \(u = \cos 2x \Rightarrow du = - 2\sin 2xdx\)
      \(\begin{array}{l} \int {f(x)dx = } - \frac{1}{2}\int {\frac{1}{u}du} = - \frac{1}{2}\ln \left| u \right| + C\\ = - \frac{1}{2}\ln \left| {\cos 2x} \right| + C \end{array}\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  9. Mia

    Mia Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    9/10/17
    Bài viết:
    11
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nữ
    Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{x\ln ({x^2} + 1)}}{{{x^2} + 1}}\).
    A. \(\int {f(x)dx = } \ln ({x^2} + 1) + C\)
    B. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{4}{\ln ^2}({x^2} + 1) + C\)
    C. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}\ln ({x^2} + 1) + C\)
    D. \(\int {f(x)dx = } {\ln ^2}({x^2} + 1) + C\)
     
    1. Minh Toán
      Đặt: \(u = \ln ({x^2} + 1) \Rightarrow du = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}dx\)
      \(\begin{array}{l} \int {\frac{{x\ln ({x^2} + 1)}}{{{x^2} + 1}}dx = \frac{1}{2}\int {udu} = \frac{1}{4}{u^2} + C} \\ \end{array}\)
      \(= \frac{1}{4}{\ln ^2}({x^2} + 1) + C\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  10. Miko

    Miko Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    7/10/17
    Bài viết:
    12
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt {2x - 1} + 4}}\).
    A. \(\int {f(x) = } \sqrt {2x - 1} - 2\ln \left( {\sqrt {2x - 1} + 4} \right) + C\)
    B. \(\int {f(x) = } \sqrt {2x - 1} - \ln \left( {\sqrt {2x - 1} + 4} \right) + C\)
    C. \(\int {f(x) = } \sqrt {2x - 1} - 4\ln \left( {\sqrt {2x - 1} + 4} \right) + C\)
    D. \(\int {f(x) = } 2\sqrt {2x - 1} - \ln \left( {\sqrt {2x - 1} + 4} \right) + C\)
     
    1. Minh Toán
      Phương pháp đổi biến :
      Đặt:\(\sqrt {2{\rm{x}} - 1} = t \Rightarrow {t^2} = 2x - 1 \Rightarrow tdt = x\)
      Khi đó:
      \(\int {f(x)dx = } \int {\frac{{tdt}}{{t + 4}}} = \int {\frac{{t + 4 - 4}}{{t + 4}}} dt = \int {\left( {1 - \frac{4}{{t + 4}}} \right)dt}\)
      \(= t - 4\ln \left| {t + 4} \right| + C = \sqrt {2x - 1} - 4\ln \left| {\sqrt {2x + 1} + 4} \right| + C\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  11. bobi5355

    bobi5355 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    6/8/17
    Bài viết:
    13
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nam
    Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt {{x^2} - 1} .\)
    A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{3}\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 1} + C\)
    B. \(\int {f(x)dx} = \frac{2}{3}\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 1} + C\)
    C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{3}\sqrt {{x^2} - 1} + C\)
    D. \(\int {f(x)dx} = \frac{2}{3}\sqrt {{x^2} - 1} + C\)
     
    1. Minh Toán
      \(\begin{array}{l} t = \sqrt {{x^2} - 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} - 1 \Rightarrow 2tdt = 2xdx\\ \Rightarrow \int {x\sqrt {{x^2} - 1} } dx = \int {{t^2}dt} = \frac{1}{3}{t^3} + C\\ = \frac{1}{3}\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 1} + C \end{array}\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  12. Bia

    Bia Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    2/10/17
    Bài viết:
    19
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \ln 4x.\)
    A. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{x}{4}\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\)
    B. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{x}{2}\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\)
    C. \(\int {f\left( x \right)dx} = x\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\)
    D. \(\int {f\left( x \right)dx} = 2x\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\)
     
    1. Minh Toán
      \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\ln 4x.dx}\)
      Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln 4x\\ dv = dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{{dx}}{x}\\ v = x \end{array} \right.\).
      Khi đó \(\int {f\left( x \right)dx} = x.\ln 4x - \int {dx} = x\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  13. bibihana

    bibihana Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    16/9/17
    Bài viết:
    18
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2008 + {{\ln }^2}x}}{x}\) ta được kết quả có dạng \(F\left( x \right) = a\ln x + \frac{{{{(\ln x)}^3}}}{b} + C.\) Tính tổng \(S=a+b.\)
    A. S=2012
    B. S=2010
    C. S=2009
    D. S=2011
     
    1. Minh Toán
      Đặt \(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\)
      Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{2008 + {{\ln }^2}x}}{x}}dx = \int {\left( {2008 + {u^2}} \right)du = 2008\int {du + \int {{u^2}du} } }\)
      \(= 2008u + \frac{{{u^3}}}{3} + C = 2008\ln x + \frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^3}}}{3} + C\)
      Vậy a+b=2011.
       
      Minh Toán, 5/12/17
  14. Hiền Lành

    Hiền Lành Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    23/9/17
    Bài viết:
    11
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{e^x} + 1}}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = - \ln 2.\) Tìm tập nghiệm S của phương trình \(F\left( x \right) + \ln \left( {{e^x} + 1} \right) = 3.\)
    A. \(S = \left\{ { - 3} \right\}\)
    B. \(S = \left\{ { - 3;3} \right\}\)
    C. \(S = \left\{ { 3} \right\}\)
    D. \(S = \emptyset\)
     
    1. Minh Toán
      \(\begin{array}{l} F\left( x \right) = \int {\frac{1}{{{e^x} + 1}}d{\rm{x}}} = \int {\left( {1 - \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}} \right)d{\rm{x}}} \\ = \int {1.d{\rm{x}}} - \int {\frac{{{e^x}.d{\rm{x}}}}{{{e^x} + 1}}} = x - \int {\frac{{{e^x}.d{\rm{x}}}}{{{e^x} + 1}}} = x - \ln \left( {{e^x} + 1} \right) + C \end{array}\)
      \(F\left( 0 \right) = - \ln 2 + C = - \ln 2 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow F\left( x \right) = x - \ln \left( {{e^x} + 1} \right)\)
      \(\Rightarrow F\left( x \right) + \ln \left( {{e^x} + 1} \right) = x = 3\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  15. Hien1209

    Hien1209 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    30/10/17
    Bài viết:
    9
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nữ
    Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^3}x}}{x}.\)
    A. \(F\left( x \right) = \frac{{x.{{\ln }^4}\left( {x + 1} \right)}}{4}\)
    B. \(F\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^4}\left( {x + 1} \right)}}{4}\)
    C. \(F\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^4}x}}{{2.{x^2}}}\)
    D. \(F\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^4}x + 1}}{4}\)
     
    1. Minh Toán
      \(f\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^3}x}}{x} \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\frac{{{{\ln }^3}x}}{x}.dx} = \int {{{\ln }^3}x.\frac{1}{x}dx}\)
      Đặt: \(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\)
      \(\Rightarrow F(x) = \int {{u^3}du} = \frac{1}{4}{u^4} + C = \frac{{{{\ln }^4}x}}{4} + C\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  16. Hiennhan

    Hiennhan Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    24/8/17
    Bài viết:
    4
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {(1 - 2x)^5}.\)
    A. \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{{12}}{{(1 - 2x)}^6} + C}\)
    B. \(\int {f(x)dx = {{(1 - 2x)}^6} + C}\)
    C. \(\int {f(x)dx =5{{(1 - 2x)}^6} + C}\)
    D. \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{{2}}{{(1 - 2x)}^6} + C}\)
     
    1. Minh Toán
      Đặt: \(u = 1 - 2x \Rightarrow du = - 2dx \Rightarrow - \frac{1}{2}du = dx\)
      \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{2}\int {{u^5}du} = - \frac{1}{{12}}{u^6} + C = - \frac{1}{{12}}{{(1 - 2x)}^6} + C}\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  17. hiennhan12

    hiennhan12 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    28/3/16
    Bài viết:
    6
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nam
    Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x\sqrt {1 + {x^2}} .\)
    A. \(\int {f(x)dx = \frac{{{x^2}}}{2}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}\)
    B. \(\int {f(x)dx = \frac{{{1}}}{2}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}\)
    C. \(\int {f(x)dx = \frac{{{1}}}{3}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}\)
    D. \(\int {f(x)dx = \frac{{{1}}}{3}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^3}}\)
     
    1. Minh Toán
      Đặt \(t = \sqrt {1 + {x^2}} \Rightarrow {t^2} = 1 + {x^2} \Rightarrow xdx = tdt\)
      Suy ra: \(\int {f(x)dx = \int {x\sqrt {1 + {x^2}} dx} = \int {{t^2}dt} = \frac{{{t^3}}}{3} + C = \frac{1}{3}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^3} + C}\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  18. hiepgalup01

    hiepgalup01 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    18/11/17
    Bài viết:
    4
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{7{x^3} + 1}}.\)
    A. \(y =\ln\left| {7{x^3} + 1} \right|\)
    B. \(y =\frac{1}{7}\ln\left| {7{x^3} + 1} \right|\)
    C. \(y =\frac{1}{21}\ln\left| {7{x^3} + 1} \right|\)
    D. \(y =\frac{1}{14}\ln\left| {7{x^3} + 1} \right|\)
     
    1. Minh Toán
      Đặt \(t = 7{x^3} + 1 \Rightarrow dt = 21{x^2}dx \Rightarrow \frac{1}{{21}}dt = {x^2}dx\)
      \(\int {\frac{{{x^2}}}{{7{x^3} + 1}}dx} = \frac{1}{{21}}\int {\frac{1}{u}} du = \frac{1}{{21}}\ln \left| u \right| + C = \frac{1}{{21}}\ln \left| {7{x^3} + 1} \right| + C\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  19. hiepgalup01

    hiepgalup01 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    18/11/17
    Bài viết:
    4
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{(1 - 4x)}^{10}}}}}}.\)
    A. \(\int {f(x)dx = } - \frac{3}{7}{(1 - 4x)^{ - \frac{7}{3}}} + C\)
    B. \(\int {f(x)dx = } \frac{12}{7}{(1 - 4x)^{ - \frac{7}{3}}} + C\)
    C. \(\int {f(x)dx = } \frac{3}{28}{(1 - 4x)^{ - \frac{7}{3}}} + C\)
    D. \(\int {f(x)dx = } -\frac{3}{28}{(1 - 4x)^{ - \frac{7}{3}}} + C\)
     
    1. Minh Toán
      Đặt \(t = \sqrt[3]{{1 - 4x}} \Rightarrow {t^3} = 1 - 4x \Rightarrow 3{t^2}dt = - 4dx \Rightarrow - \frac{3}{4}{t^2}dt = dx\)
      Vậy:
      \(\begin{array}{l} \int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{(1 - 4x)}^{10}}}}}}dx} = - \frac{3}{4}\int {\frac{{{t^2}}}{{{t^{10}}}}dt} = - \frac{3}{4}\int {\frac{1}{{{t^8}}}dt} \\ = \frac{3}{{28}}.\frac{1}{{{t^7}}} + C = \frac{3}{{28}}{\left( {1 - 4x} \right)^{ - \frac{7}{3}}} + C. \end{array}\)
       
      Minh Toán, 5/12/17
  20. Quân2310

    Quân2310 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    2/10/17
    Bài viết:
    19
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {2 - {x^2}} }}.\)
    A. \(\int {f(x)dx = x\sqrt {2 - {x^2}} } + C\)
    B. \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{3}({x^2} + 4)\sqrt {2 - {x^2}} } + C\)
    C. \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{3}{x^2}\sqrt {2 - {x^2}} } + C\)
    D. \(\int {f(x)dx = } - \frac{1}{3}({x^2} - 4)\sqrt {2 - {x^2}} + C\)
     
    1. Minh Toán
      Đặt: \(t = \sqrt {2 - {x^2}} \Rightarrow {t^2} = 2 - {x^2} \Rightarrow {x^2} = 2 - {t^2} \Rightarrow xdx = - tdt\)
      \(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {2 - {x^2}} }}dx = } \int {\left( {{t^2} - 2} \right)dt} = \frac{{{t^3}}}{3} - 2t + C\\ = \frac{1}{3}{\left( {\sqrt {2 - {x^2}} } \right)^3} - 2\sqrt {2 - {x^2}} = - \frac{1}{3}({x^2} + 4)\sqrt {2 - {x^2}} \end{array}\)
       
      Minh Toán, 5/12/17

Chia sẻ trang này