Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Một số phương pháp tìm nguyên hàm (buổi 4)

Thảo luận trong 'Bài 1. Nguyên hàm' bắt đầu bởi Doremon, 13/12/14.

  1. Doremon

    Doremon Moderator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    29/9/14
    Bài viết:
    1,299
    Đã được thích:
    210
    Điểm thành tích:
    63
    Giới tính:
    Nam
    Trong chương trình Toán trung học phổ thông bài toán nguyên hàm là không thể thiếu trong chương trình học chính thức trên nhà trường cũng như luyện thi đại học. Đây là lớp bài toán quan trọng, có liên quan mật thiết với nhau. Tính thành thạo đạo hàm của hàm số, có thể giúp chúng ta suy luận để hướng tới kết quả của bài toán tìm nguyên hàm, cũng như kiểm tra tính đúng đắn của kết quả. Ngược lại, tính thành thạo nguyên hàm, có thể giúp ta tính được nhiều tích phân đơn giản của các hàm số khác nhau… về sau. Nhằm giúp các em có thêm những cách giải nhanh - hiệu quả, ở đây tôi xin đưa phương pháp giải nguyên hàm để các em tham khảo. Phương pháp thường sử dụng:

    • PHƯƠNG PHÁP 1. ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
    • PHƯƠNG PHÁP 2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
    • PHƯƠNG PHÁP 3. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
    • PHƯƠNG PHÁP 4. PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ
    • PHƯƠNG PHÁP 5: TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ
    V. PHƯƠNG PHÁP 5: TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ

    Giả sử cần tính $I = \int {f\left( x \right)dx} $. Khi đó ta tìm nguyên hàm phụ $J = \int {g\left( x \right)dx} $ sao cho việc tính I + J và I - J đơn giản hơn. Chẳng hạn:

    • $I = \int {\frac{{\sin x}}{{\sin x + \cos x}}dx} $

    Ta có thể xét $J = \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} $

    Khi đó:
    $I + J = \int {\frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} = \int {dx} = x + C$

    $I - J = \int {\frac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} = - \int {\frac{{d\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{\sin x + \cos x}}} = - \ln \left| {\sin x + \cos x} \right| + C$

    Từ đó suy ra: $2I = x - \ln \left| {\sin x + \cos x} \right| + C \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left( {x - \ln \left| {\sin x + \cos x} \right|} \right) + C$

    • $I = \int {\frac{{{{\cos }^4}x}}{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}dx} $
    Ta có thể xét $J = \int {\frac{{{{\sin }^4}x}}{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}dx} $
    Khi đó:
    $I + J = \int {\frac{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}dx} = \int {dx} = x + C$

    $I - J = \int {\frac{{{{\cos }^4}x - {{\sin }^4}x}}{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}dx} = \int {\frac{{\cos 2x}}{{1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x}}} dx = - \int {\frac{{2\cos 2x}}{{{{\sin }^2}2x - 2}}} dx$
    $ = - \int {\frac{{d\left( {\sin 2x} \right)}}{{{{\sin }^2}2x - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}} = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sin 2x - \sqrt 2 }}{{\sin 2x + \sqrt 2 }}} \right| + C$

    Từ đó suy ra:
    $2I = x - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sin 2x - \sqrt 2 }}{{\sin 2x + \sqrt 2 }}} \right| + C \Rightarrow I = \frac{1}{2}x - \frac{1}{{4\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sin 2x - \sqrt 2 }}{{\sin 2x + \sqrt 2 }}} \right| + C$

    • $I = \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx$
    Ta có thể xét $J = \int {\frac{{{e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx$
    Khi đó:

    $I + J = \int {\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx = \int {dx} = x + C$

    $I - J = \int {\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx = \int {\frac{{d\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} = \ln \left| {{e^x} + {e^{ - x}}} \right| + C$

    Từ đó suy ra: $2I = x + \ln \left| {{e^x} + {e^{ - x}}} \right| + C \Rightarrow I = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\ln \left| {{e^x} + {e^{ - x}}} \right| + C$

    • $I = \int {\frac{{4\sin x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^3}}}dx} $
    Ta có thể xét $J = \int {\frac{{4\cos x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^3}}}dx} $

    Khi đó:
    $I + J = 4\int {\frac{{\sin x + \cos x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^3}}}dx} = 4\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}} = 4\int {\frac{{dx}}{{{{\left[ {\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right]}^2}}}} $

    $ = 2\int {\frac{{d\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}} = - 2\cot \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + C$

    $I - J = 4\int {\frac{{\sin x - \cos x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^3}}}} dx = - 4\int {\frac{{d\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^3}}}} = 2{\left( {\sin x + \cos x} \right)^{ - 2}} + C$

    Từ đó suy ra:
    $2I = - 2\cot \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + 2{\left( {\sin x + \cos x} \right)^{ - 2}} + C \Rightarrow I = \frac{1}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}} - \cot \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + C$
     

    Bình Luận Bằng Facebook

Chia sẻ trang này