Những bài toán quan trọng về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

CHỦ ĐỀ 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Câu 1
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}(m - 1){x^3} + m{x^2} + (3m - 2)x$ (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 2.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.

Spoiler

Câu 2
Cho hàm số $y = {x^3} + 3{{\text{x}}^2} - m{\text{x}} - 4$ (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=0.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (-∞;0).

Spoiler

Câu 3
Cho hàm số $y = 2{{\text{x}}^3} - 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1$ có đồ thị (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞)

Spoiler

Câu 4
Cho hàm số$y = {x^3} + (1 - 2m){x^2} + (2 - m)x + m + 2$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để hàm đồng biến trên (0; +∞).

Spoiler

Câu 5
Cho hàm số $y = {x^4} - 2m{{\text{x}}^2} - 3m + 1$ (1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).

Spoiler

Câu 6
Cho hàm số $y = \frac{{m{\text{x}} + 4}}{{x + m}}$ (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=-1.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (-∞;1).

Spoiler

CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 7
Cho hàm số$y = {x^3} + 3{{\text{x}}^2} + m{\text{x}} + m - 2$ (m là tham số) có đồ thị là $({C_m})$.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Xác định m để $({C_m})$ có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.

Spoiler

Câu 8
Cho hàm số $y = - {x^3} + (2m + 1){x^2} - ({m^2} - 3m + 2)x - 4$ (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để $({C_m})$ có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.

Spoiler

Câu 9
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - m{{\text{x}}^2} + (2m - 1)x - 3$ (m là tham số) có đồ thị là $({C_m})$.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
2) Xác định m để có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.

Spoiler

Câu 10
Cho hàm số $y = {x^3} - 3{{\text{x}}^2} - m{\text{x}} + 2$ (m là tham số) có đồ thị là $({C_m})$.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để $({C_m})$ có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y=x-1.

Spoiler

Câu 11
Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 4{m^3}$ (m là tham số) có đồ thị là $({C_m})$.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để $({C_m})$ có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

Spoiler

Câu 12
Cho hàm số$y = - {x^3} + 3m{{\text{x}}^2} - 3m - 1$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x+8y-74=0.

Spoiler

Câu 13
Cho hàm số$y = {x^3} - 3{{\text{x}}^2} + m{\text{x}}$ (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x-2y-5=0.

Spoiler

Câu 14
Cho hàm số $y = {x^3} - 3(m + 1){x^2} + 9{\text{x}} + m - 2$ (1) có đồ thị là .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: $y = \frac{1}{2}x$ .

Spoiler

Câu 15
Cho hàm số $y = {x^3} - 3(m + 1){x^2} + 9{\text{x - m}}$, với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m=1.
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại ${x_{1,}}{x_2}$ sao cho $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| \leqslant 2$.

Spoiler

Câu 16
Cho hàm số $y = {x^3} - (1 + 2m){x^2} + (2 - m){\text{x}} + m + 2$, với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m=1.
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho .

Spoiler

Câu 17
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - (m - 1){x^2} + 3(m - 2){\text{x}} + \frac{1}{3}$, với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m=2.
2) Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại ${x_{1,}}{x_2}$sao cho ${x_1} + 2{x_2} = 1$.

Spoiler

Câu 18
Cho hàm số $y = 4{x^3} + m{x^2} - 3{\text{x}}$.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị ${x_{1,}}{x_2}$ thỏa ${x_1} = - 4{x_2}$.

Spoiler

Câu 19
Cho hàm số $y = (m + 2){x^3} + 3{x^2} + m{\text{x - 5}}$, m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương.

Spoiler

Câu 20
Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$, (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y=3x-2 sao cho tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất.

Spoiler

Câu 21
Cho hàm số $y = {x^3} + (1 - 2m){x^2} + (2 - m){\text{x}} + m + 2$, (m là tham số) (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

Spoiler

Câu 22
Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 3({m^2} - 1){\text{x - }}{{\text{m}}^3} + m$, (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng$\sqrt 2 $lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O.

Spoiler

Câu 23
Cho hàm số $y = - {x^3} + 3m{x^2} + 3(1 - {m^2}){\text{x + }}{{\text{m}}^3} - {m^2}$, (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=1.
2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).

Spoiler

Câu 24
Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} - m{\text{x}} + 2$, có đồ thị là $({C_m})$.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để $({C_m})$ có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: y=4x+3.

Spoiler

Câu 25
Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} - m{\text{x}} + 2$, có đồ thị là $({C_m})$.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để $({C_m})$có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x+4y-5=0 một góc 45$^0$.

Spoiler

Câu 26
Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + m$, (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m= - 4.
2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho $\widehat {AOB} = {120^0}$.

Spoiler

Câu 27
Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 3({m^2} - 1){\text{x - }}{{\text{m}}^3}$ $({C_m})$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m= -2.
2) Chứng minh rằng$({C_m})$luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi đường thẳng cố định.

Spoiler

Câu 28
Cho hàm số $y = \frac{1}{2}{x^4} - m{x^2} + \frac{3}{2}$, (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=3.
2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại.

Spoiler

Câu 29
Cho hàm số $y = f(x) = {x^4} + 2m(m - 2){x^2} + {m^2} - 5m + 5$ $({C_m})$.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị $({C_m})$ của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân.

Spoiler

Câu 30
Cho hàm số $y = {x^4} + 2(m - 2){x^2} + {m^2} - 5m + 5$ $({C_m})$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị $({C_m})$có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.

Spoiler

Câu 31
Cho hàm số $y = {x^4} + 2m{x^2} + {m^2} + m$ có đồ thị $({C_m})$ .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị $({C_m})$ có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng 120$^0$.

Spoiler

Câu 32
Cho hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + m - 1$ có đồ thị $({C_m})$.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị $({C_m})$ có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

Spoiler

Câu 33
Cho hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m + {m^4}$ có đồ thị $({C_m})$ .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị $({C_m})$ có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4.

Spoiler

CHỦ ĐỀ 3: SỰ TƯƠNG GIAO
Câu 34
Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + mx + 1$, (m là tham số) (1)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau.

Spoiler

Câu 35
Cho hàm số $y = {x^3} - 3{\text{x}} + 1$ có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y=mx+m+3.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.

Spoiler

Câu 36
Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 4$ (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau.

Spoiler

Câu 37
Cho hàm số $y = {x^3} - 3{\text{x}}$ (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d): y=m(x+1)+2 luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.

Spoiler

Câu 38
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} - x + m + \frac{2}{3}$ có đồ thị $({C_m})$.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –1.
2) Tìm m để $({C_m})$cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ lớn hơn 15.

Spoiler

Câu 39
Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + m$, trong đó m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m=0.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

Spoiler

Câu 40
Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 9x - 7$ có đồ thị $({C_m})$, trong đó m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m=0.
2) Tìm m để$({C_m})$cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

Spoiler

Câu 41
Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} - mx$ có đồ thị $({C_m})$, trong đó m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m=1.
2) Tìm m để$({C_m})$ cắt đường thẳng d: y=x+2 tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân.

Spoiler

Câu 42
Cho hàm số $y = {x^3} + 2m{x^2} + (m + 3)x + 4$ có đồ thị là $({C_m})$ (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $({C_1})$của hàm số trên khi m = 1.
2) Cho đường thẳng (d): y=x+4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của m để (d) cắt $({C_m})$ tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng $8\sqrt 2 $.

Spoiler

Câu 43
Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 4$ có đồ thị là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi d$_k$ là đường thẳng đi qua điểm A(-1;0) với hệ số góc $k(k \in R)$. Tìm k để đường thẳng d$_k$ cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.

Spoiler

Câu 44
Cho hàm số$y = {x^3} - 3{x^2} + 2$ có đồ thị là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng $\sqrt 2 $.

Spoiler

Câu 45
Cho hàm số $y = {x^3} + mx + 2$ có đồ thị $({C_m})$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –3.
2) Tìm m để đồ thị $({C_m})$ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

Spoiler

Câu 46
Cho hàm số $y = 2{x^3} - 3(m + 1){x^2} + 6mx - 2$ có đồ thị $({C_m})$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để đồ thị $({C_m})$ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

Spoiler

Câu 47
Cho hàm số $y = {x^3} - 6{{\text{x}}^2} + 9{\text{x}} - 6$ có đồ thị là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Định m để đường thẳng (d): y=mx-2m-4 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.

Spoiler

Câu 48
Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 1$.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng (): y=(2m-1)x-4m-1 cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân biệt.

Spoiler

Câu 49
Cho hàm số $y = {x^3} - 3{m^2}x + 2m$ có đồ thị $({C_m})$.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để đồ thị $({C_m})$ cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.

Spoiler

Câu 50
Cho hàm số $y = {x^4} - m{x^2} + m - 1$ có đồ thị là $({C_m})$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=8.
2) Định m để đồ thị $({C_m})$ cắt trục trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

Spoiler

Câu 51
Cho hàm số$y = {x^4} - 2(m + 1){x^2} + 2m + 1$ có đồ thị là $({C_m})$.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=0.
2) Định m để đồ thị $({C_m})$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

Spoiler

Câu 52
Cho hàm số $y = {x^4} - (3m + 2){x^2} + 3m$ có đồ thị là $({C_m})$, m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để đường thẳng y=1 cắt đồ thị $({C_m})$ tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.

Spoiler

Câu 53
Cho hàm số $y = {x^4} - 2(m + 1){x^2} + 2m + 1$ có đồ thị là $({C_m})$, m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để đồ thị $({C_m})$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3.

Spoiler

Câu 54
Cho hàm số $y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + {m^4} + 2m$ (1), với m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=1.
2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi m<0.

Spoiler

Câu 55
Cho hàm số $y = \frac{{2{\text{x}} + 1}}{{x + 2}}$ có đồ thị là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng đường thẳng d: y= -x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Spoiler

Câu 56
Cho hàm số$y = \frac{{{\text{x - 3}}}}{{x + 1}}$.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I(-1;1) và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN.

Spoiler

Câu 57
Cho hàm số $y = \frac{{2{\text{x}} + 4}}{{1 - x}}$ (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho $MN = 3\sqrt {10} $.

Spoiler

Câu 58
Cho hàm số $y = \frac{{2{\text{x - 2}}}}{{x + 1}}$ (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng (d): y=2x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ${\text{A}}B = \sqrt 5 $

Spoiler

Câu 59
Cho hàm số $y = \frac{{{\text{x - 1}}}}{{x + m}}$ (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=1.
2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y=x+2 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho $AB = 2\sqrt 2 $.

Spoiler

Câu 60
Cho hàm số $y = \frac{{{\text{2x - 1}}}}{{x - 1}}$ (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng d: y=x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OAB vuông tại O.

Spoiler

Câu 61
Cho hàm số: $y = \frac{{{\text{x + 2}}}}{{x - 2}}$ .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng với mọi giá trị m thì trên (C) luôn có cặp điểm A, B nằm về hai nhánh của (C) và thỏa$\left\{ \begin{gathered}
{x_A} - {y_A} + m = 0 \hfill \\
{x_B} - {y_B} + m = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ .

Spoiler

CHỦ ĐỀ 4: TIẾP TUYẾN
Câu 62
Cho hàm số $y = {x^3} + (1 - 2m){x^2} + (2 - m)x + m + 2$ (1) (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m = 2.
2) Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: góc , biết .

Spoiler

Câu 63
Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 1$có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = $4\sqrt 2 $.

Spoiler

Câu 64
Cho hàm số $y = 3x - {x^3}$ (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên đường thẳng (d): y= -x các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).

Spoiler

Câu 65
Cho hàm số $y = - {x^3} + 3{x^2} - 2$ (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).

Spoiler

Câu 66
Cho hàm số $y = f(x) = \frac{1}{3}m{x^3} + (m - 1){x^2} + (4 - 3m)x + 1$ có đồ thị là $({C_m})$.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm các giá trị m sao cho trên đồ thị (Cm) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (d): x+2y-3=0.

Spoiler

Câu 67
Cho hàm số $y = {(\left| x \right| + 1)^2}.{(\left| x \right| - 1)^2}$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Cho điểm A(a;0). Tìm a để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).

Spoiler

Câu 68
Cho hàm số $y = f(x) = {x^4} - 2{x^2}$.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b. Tìm điều kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.

Spoiler

Câu 69
Cho hàm số $y = \frac{{{\text{2x}}}}{{x + 2}}$ (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.

Spoiler

Câu 70
Cho hàm số $y = \frac{{x + 2}}{{2x + 3}}$ (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.

Spoiler

Câu 71
Cho hàm số $y = \frac{{{\text{2x - 1}}}}{{x - 1}}$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thoả mãn OA = 4OB.

Spoiler

Câu 72
Cho hàm số $y = \frac{{{\text{2x - 3}}}}{{x - 2}}$ có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất.

Spoiler

Câu 73
Cho hàm số $y = \frac{{{\text{2x - 3}}}}{{x - 2}}$ .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.

Spoiler

Câu 74
Cho hàm số $y = \frac{{{\text{2x + 1}}}}{{x - 1}}$ có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.

Spoiler

Câu 75
Cho hàm số: $y = \frac{{{\text{x + 2}}}}{{x - 1}}$ (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Cho điểm A(0;a). Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành.

Spoiler

Câu 76
Cho hàm số $y = \frac{{{\text{x + 2}}}}{{x - 1}}$ .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Cho điểm ${M_0}({x_0};{y_0})$thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại M0 cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B. Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Spoiler

Câu 77
Cho hàm số: $y = \frac{{{\text{x + 2}}}}{{x - 1}}$ (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.

Spoiler

Câu 78
Cho hàm số $y = \frac{{{\text{x + 2}}}}{{x + 1}}$ .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận, ∆ là một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị (C). d là khoảng cách từ I đến ∆. Tìm giá trị lớn nhất của d.

Spoiler

Câu 79
Cho hàm số $y = \frac{{{\text{2x - 1}}}}{{x - 1}}$ .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng $\sqrt 2 $.

Spoiler

Câu 80
Cho hàm số $y = \frac{{{\text{x + 1}}}}{{x - 1}}$ (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên Oy tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C).

Spoiler

Câu 81
Cho hàm số $y = \frac{{{\text{2x + 1}}}}{{x + 1}}$ .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(-4; -2).

Spoiler

Câu 82
Cho hàm số $y = \frac{{{\text{2x - 1}}}}{{1 - x}}$.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hoành độ là a. Tiếp tuyến tại A của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q. Chứng tỏ rằng A là trung điểm của PQ và tính diện tích tam giác IPQ.

Spoiler

Câu 83
Cho hàm số $y = \frac{{{\text{2x - 3}}}}{{x - 2}}$ (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho côsin góc $\widehat {ABI}$ bằng $\frac{4}{{\sqrt {17} }}$, với I là giao 2 tiệm cận.

Spoiler

CHỦ ĐỀ 5: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Câu 84
Cho hàm số $y = - {x^3} + 3{x^2} + 1$.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để phương trình ${x^3} - 3{x^2} = {m^3} - 3{m^2}$ có ba nghiệm phân biệt.

Spoiler

Câu 85
Cho hàm số : $y = {x^4} - 5{x^2} + 4$có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để phương trình $\left| {{{\text{x}}^4} - 5{{\text{x}}^2} + 4} \right| = {\log _2}m$ có 6 nghiệm.

Spoiler

Câu 86
Cho hàm số: $y = {x^4} - 2{x^2} + 1$.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: ${x^4} - 2{x^2} + 1 + {\log _2}m = 0$ (m > 0)

Spoiler

Câu 87
Cho hàm số $y = f(x) = 8{x^4} - 9{x^2} + 1$.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình:$8c{\text{o}}{{\text{s}}^4}x - 9c{\text{o}}{{\text{s}}^2}x + m = 0$ với ${\text{x}} \in \left[ {0;\pi } \right]$

Spoiler

Câu 88
Cho hàm số $y = \frac{{{\text{3x - 4}}}}{{x - 2}}$ (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm trên đoạn$\left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right]$:
${\sin ^6}x + c{\text{o}}{{\text{s}}^6}x = m({\sin ^4}x + c{\text{o}}{{\text{s}}^4}x)$

Spoiler

Câu 89
Cho hàm số $y = \frac{{{\text{x + 1}}}}{{x - 1}}$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình$\frac{{\left| x \right| + 1}}{{\left| x \right| - 1}} = m$

Spoiler

CHỦ ĐỀ 6: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ
Câu 90
Cho hàm số $y = - {x^3} + 3{x^{}} + 2$ (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(–1; 3).

Spoiler

Câu 91
Cho hàm số $y = - {x^3} + 3{x^{}} + 2$ (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: 2x-y+2=0.

Spoiler

Câu 92
Cho hàm số $y = - \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + 3{\text{x}} - \frac{{11}}{3}$ .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung.

Spoiler

Câu 93
Cho hàm số $y = \frac{{{\text{2x - 1}}}}{{x + 1}}$ (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích các hệ số góc bằng –9.

Spoiler

Câu 94
Cho hàm số $y = \frac{{{\text{2x + 1}}}}{{x + 1}}$ (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất.

Spoiler

Câu 95
Cho hàm số $y = \frac{{{\text{3x - 4}}}}{{x - 2}}$ (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm các điểm thuộc (C) cách đều 2 tiệm cận.

Spoiler

Câu 96
Cho hàm số $y = \frac{{{\text{2x - 4}}}}{{x + 1}}$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) và N(–1; –1).

Spoiler

Câu 97
Cho hàm số $y = \frac{{{\text{2x}}}}{{x - 1}}$ .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A với A(2; 0).

Spoiler

Câu 98
Cho hàm số $y = \frac{{{\text{2x - 1}}}}{{x + 1}}$ .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm tọa độ điểm M ∈ (C) sao cho khoảng cách từ điểm I(-1;2) tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất.

Spoiler

Câu 99
Cho hàm số $y = \frac{{{\text{x + 2}}}}{{2x - 1}}$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2; 0) và B(0; 2).

Spoiler

Câu 100
Cho hàm số$y = \frac{{{\text{x - 3}}}}{{x + 1}}$ .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên hai nhánh của đồ thị (C) hai điểm A và B sao cho AB ngắn nhất.

Spoiler