Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác • Dạng 1: $a{\sin ^2}x + b\sin x + c = 0$ $(a \ne 0; a, b, c \in R).$ Cách giải: Đặt $t = \sin x$, điều kiện $|t| \le 1$, đưa phương trình $a{\sin ^2}x + b\sin x + c = 0$ về phương trình bậc hai theo $t$, giải tìm $t$, chú ý kết hợp với điều kiện của $t$ rồi giải tìm $x.$ • Dạng 2: $a{\cos ^2}x + b\cos x + c = 0$ $(a \ne 0; a, b, c \in R).$ Cách giải: Đặt $t = \cos x$, điều kiện $|t| \le 1$, đưa phương trình $a{\cos ^2}x + b\cos x + c = 0$ về phương trình bậc hai theo $t$, giải tìm $t$, chú ý kết hợp với điều kiện của $t$ rồi giải tìm $x.$ • Dạng 3: $a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0$ $(a \ne 0; a, b, c \in R).$ Cách giải: Điều kiện $\cos x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$ Đặt $t = \tan x$ $\left( {t \in R} \right)$, đưa phương trình $a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0$ về phương trình bậc hai theo $t$, chú ý khi tìm được nghiệm $x$ cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không. • Dạng 4: $a{\cot ^2}x + b\cot x + c = 0$ $(a \ne 0; a, b, c \in R).$ Cách giải: Điều kiện $\sin x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$ Đặt $t = \cot x$ $(t \in R)$, đưa phương trình $a{\cot ^2}x + b\cot x + c = 0$ về phương trình bậc hai theo ẩn $t$, giải tìm $t$ rồi tìm $x$, chú ý khi tìm được nghiệm cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không. Ví dụ 1: Giải phương trình $2{\cos ^2}x – 3\cos x + 1 = 0.$ $2{\cos ^2}x – 3\cos x + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 1\\ \cos x = \frac{1}{2} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k2\pi \\ x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$ Vậy phương trình có 3 họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l} x = k2\pi \\ x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$ Ví dụ 2: Giải phương trình $\cot x – \tan x + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}}.$ Điều kiện: $\sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$ $ \left( {k \in Z} \right).$ Ta có: $\cot x – \tan x + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{\cos x}}{{\sin x}} – \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}}{{\sin x.\cos x}} + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{2\cos 2x}}{{\sin 2x}} + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}}$ $ \Leftrightarrow \cos 2x + 2{\sin ^2}2x = 1$ $ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x – \cos 2x – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x = 1\\ \cos 2x = – \frac{1}{2} \end{array} \right.$ Ta thấy $\cos 2x = 1$ không thoả mãn điều kiện. Do đó: PT $ \Leftrightarrow \cos 2x = – \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow 2x = ± \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi $ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$ Vậy phương trình có 2 họ nghiệm $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
