Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Phương pháp giải PT mũ và BPT: Đặt ẩn phụ

Thảo luận trong 'Bài 3. Phương trình và bất phương trình mũ' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 6/12/18.

  1. Tăng Giáp

    Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    16/11/14
    Bài viết:
    4,614
    Đã được thích:
    282
    Điểm thành tích:
    83
    Giới tính:
    Nam
    Phương pháp: $f\left[ {{a^{g\left( x \right)}}} \right] = 0$ $\left( {0 < a \ne 1} \right)$ $ \Leftrightarrow {\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l}
    t = {a^{g\left( x \right)}} > 0\\
    f\left( t \right) = 0
    \end{array} \right.$
    + Dạng 1: Ta có dạng tổng quát của bài toán trên là: $F\left( {{a^{f\left( x \right)}}} \right) = 0.$ Với dạng này ta đặt $t = {a^{f\left( x \right)}}$, $t > 0$ và chuyển về phương trình $F\left( t \right) = 0$, giải tìm nghiệm dương $t$ của phương trình, từ đó ta tìm được $x.$ Ta thường gặp dạng: $m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{a^{f\left( x \right)}} + p = 0.$ Với bất phương trình ta cũng làm tương tự.
    + Dạng 2: $m.{a^{f\left( x \right)}} + n.{b^{f\left( x \right)}} + p = 0$, trong đó $a.b = 1.$
    Đặt $t = {a^{f\left( x \right)}}$, $t > 0$ $ \Rightarrow {b^{f\left( x \right)}} = \frac{1}{t}.$
    + Dạng 3: $m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{\left( {a.b} \right)^{f\left( x \right)}} + p.{b^{2f\left( x \right)}} = 0$. Chia $2$ vế phương trình cho ${b^{2f\left( x \right)}}$ và đặt $t = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{f\left( x \right)}}$, $t > 0$. Ta có phương trình: $m{t^2} + nt + p = 0.$

    Ví dụ 4. Giải các phương trình:
    1. ${2.16^x} – {15.4^x} – 8 = 0.$
    2. ${2^{3x}} – {6.2^x} – \frac{1}{{{2^{3(x – 1)}}}} + \frac{{12}}{{{2^x}}} = 1.$

    1. Đặt $t = {4^x}, t > 0$ ta có phương trình $2{t^2} – 15t – 8 = 0$ $ \Leftrightarrow t = 8, t = – \frac{1}{2}$ (loại).
    Với $t = 8$ $ \Leftrightarrow {2^x} = {2^3} \Leftrightarrow x = 3.$
    Vậy, phương trình cho có nghiệm $x = 3.$
    2. Đặt $t = {2^x}, t > 0$ ta có: ${t^3} – 6t – \frac{8}{{{t^3}}} + \frac{{12}}{t} = 1$ $ \Leftrightarrow \left( {{t^3} – \frac{8}{{{t^3}}}} \right) – 6\left( {t – \frac{2}{t}} \right) – 1 = 0.$
    Đặt $y = t – \frac{2}{t}$ $ \Rightarrow {t^3} – \frac{8}{{{t^3}}}$ $ = \left( {t – \frac{2}{t}} \right)\left( {{t^2} + \frac{4}{{{t^2}}} + 2} \right)$ $ = \left( {t – \frac{2}{t}} \right)\left[ {{{(t – \frac{2}{t})}^2} + 6} \right]$ $ = y({y^2} + 6).$
    Nên ta có phương trình: ${y^3} – 1 = 0 \Leftrightarrow y = 1$ $ \Leftrightarrow t – \frac{2}{t} = 1$
    $ \Leftrightarrow {t^2} – t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow t = 2 \Leftrightarrow x = 1.$
    Vậy, phương trình cho có nghiệm $x = 1.$

    Ví dụ 5. Giải các phương trình:
    1. ${3.8^x} + {4.12^x} – {18^x} – {2.27^x} = 0.$
    2. ${9^{ – {x^2} + 2x + 1}} – {34.15^{2x – {x^2}}}$ $ + {25^{2x – {x^2} + 1}} = 0.$

    1. Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow 3{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{3x}} + 4.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x}} – {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} – 2 = 0.$
    Đặt $t = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}, t > 0$ ta được: $3{t^3} + 4{t^2} – t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow (t + 1)(3{t^2} + t – 2) = 0$ $ \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = 1.$
    Vậy, phương trình cho có nghiệm $x = 1.$
    2. Phương trình $ \Leftrightarrow {9.9^{2x – {x^2}}} – {34.15^{2x – {x^2}}} + {25.25^{2x – {x^2}}} = 0$
    $ \Leftrightarrow 9{\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2(2x – {x^2})}} – 34{\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2x – {x^2}}} + 25 = 0.$
    Đặt $t = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2{\rm{x}} – {x^2}}}, t > 0.$
    Ta có phương trình: $9{t^2} – 34t + 25 = 0$ $ \Leftrightarrow t = 1$ hoặc $t = \frac{{25}}{9}.$
    + Với $t = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2x – {x^2}}} = 1$ $ \Leftrightarrow 2x – {x^2} = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0; x = 2.$
    + Với $t = \frac{{25}}{9} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2x – {x^2}}} = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{ – 2}}$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 3 .$
    Vậy phương trình đã cho có các nghiệm $x = 0; x = 2; x = 1 \pm \sqrt 3 .$

    Ví dụ 6. Giải các phương trình:
    1. ${2^{2{x^2} + 1}} – {9.2^{{x^2} + x}} + {2^{2x + 2}} = 0.$
    2. $\frac{8}{{{2^{x – 1}} + 1}} + \frac{{{2^x}}}{{{2^x} + 2}} = \frac{{18}}{{{2^{x – 1}} + {2^{1 – x}} + 2}}.$

    1. Chia cả $2$ vế phương trình cho ${2^{2x + 2}} \ne 0$ ta được:
    ${2^{2{x^2} – 2x – 1}} – {9.2^{{x^2} – 2x – 2}} + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{.2^{2{x^2} – 2x}} – \frac{9}{4}{.2^{{x^2} – x}} + 1 = 0$
    $ \Leftrightarrow {2.2^{2{x^2} – 2x}} – {9.2^{{x^2} – x}} + 4 = 0.$
    Đặt $t = {2^{{x^2} – x}}, t > 0.$ Khi đó phương trình cho viết lại:
    $2{t^2} – 9t + 4 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    t = 4\\
    t = \frac{1}{2}
    \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
    {2^{{x^2} – x}} = {2^2}\\
    {2^{{x^2} – x}} = {2^{ – 1}}
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    {x^2} – x = 2\\
    {x^2} – x = – 1
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = – 1\\
    x = 2
    \end{array} \right.$
    Vậy phương trình có $2$ nghiệm $x = – 1, x = 2.$
    Chú ý: Để ý bài toán cho không có tham số nên ta sử dụng điều kiện cho ẩn phụ chỉ là $t > 0$ và nếu $t = \frac{1}{2}$ vô nghiệm. Nếu bài toán có chứa tham số thì điều kiện đúng của: ${x^2} – x = {\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} – \frac{1}{4} \ge – \frac{1}{4}$ $ \Leftrightarrow {2^{{x^2} – x}} \ge {2^{\frac{1}{4}}} \Leftrightarrow t \ge \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}.$
    2. Phương trình cho viết lại: $\frac{8}{{{2^{x – 1}} + 1}} + \frac{1}{{{2^{1 – x}} + 1}} = \frac{{18}}{{{2^{x – 1}} + {2^{1 – x}} + 2}}$ $(*).$
    Đặt: $u = {2^{x – 1}} + 1$, $v = {2^{1 – x}} + 1$ $\left( {u,v > 1} \right).$
    Phương trình $(*)$ trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}
    \frac{8}{u} + \frac{1}{v} = \frac{{18}}{{u + v}}\\
    u + v = uv
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    u + 8v = 18\\
    u + v = uv
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow u = v = 2$ hoặc $u = 9; v = \frac{9}{8}.$
    + Với $u = v = 2$, ta được $\left\{ \begin{array}{l}
    {2^{x – 1}} + 1 = 2\\
    {2^{1 – x}} + 1 = 2
    \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1.$
    + Với $u = 9; v = \frac{9}{8}$, ta được $\left\{ \begin{array}{l}
    {2^{x – 1}} + 1 = 9\\
    {2^{1 – x}} + 1 = \frac{9}{8}
    \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4.$
    Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = 1, x = 4.$
     

    Bình Luận Bằng Facebook

Chia sẻ trang này