Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Phương pháp giải PT mũ và BPT: Giải bất phương trình

Thảo luận trong 'Bài 3. Phương trình và bất phương trình mũ' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 6/12/18.

  1. Tăng Giáp

    Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    16/11/14
    Bài viết:
    4,614
    Đã được thích:
    282
    Điểm thành tích:
    83
    Giới tính:
    Nam
    Ví dụ 14. Giải các bất phương trình:
    1. ${\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{\frac{{x – 3}}{{x – 1}}}} < {\left( {\sqrt {10} – 3} \right)^{\frac{{x + 1}}{{x + 3}}}}.$
    2. ${\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^{2{x^2} + x + 1}} \le {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^{1 – x}}.$

    1. Ta có $(\sqrt {10} + 3)(\sqrt {10} – 3) = 1$ $ \Rightarrow \sqrt {10} – 3 = {\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{ – 1}}.$
    Bất phương trình đã cho $ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{\frac{{x – 3}}{{x – 1}}}} < {\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{ – \frac{{x + 1}}{{x + 3}}}}$
    $ \Leftrightarrow \frac{{x – 3}}{{x – 1}} < – \frac{{x + 1}}{{x + 3}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} – 10}}{{(x – 1)(x + 3)}} < 0$
    $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    – 3 < x < – \sqrt 5 \\
    1 < x < \sqrt 5
    \end{array} \right.$
    2. Vì ${x^2} + \frac{1}{2} > 0$ nên ta có các trường hợp sau:
    * ${x^2} + \frac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$
    * $\left\{ \begin{array}{l}
    {x^2} + \frac{1}{2} > 1\\
    2{x^2} + x + 1 \ge 1 – x
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    \left| x \right| > \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\
    2{x^2} + 2x \ge 0
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x \le – 1\\
    x > \frac{1}{{\sqrt 2 }}
    \end{array} \right.$
    * $\left\{ \begin{array}{l}
    {x^2} + \frac{1}{2} < 1\\
    2{x^2} + x + 1 \le 1 – x
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    \left| x \right| < \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\
    2{x^2} + 2x \le 0
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow – \frac{1}{{\sqrt 2 }} < x \le 0.$
    Vậy nghiệm của bất phương trình là: $x \in ( – \infty ; – 1]$ $ \cup \left[ { – \frac{1}{{\sqrt 2 }};0} \right] \cup \left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; + \infty } \right).$

    Ví dụ 15. Giải bất phương trình: ${9^{\sqrt {{x^2} – 2x} – x}} – {7.3^{\sqrt {{x^2} – 2x} – x – 1}} \le 2.$

    Bất phương trình đã cho $ \Leftrightarrow {3.9^{\sqrt {{x^2} – 2x} – x}} – {7.3^{\sqrt {{x^2} – 2x} – x}} \le 6.$
    Đặt $t = {3^{\sqrt {{x^2} – 2{\rm{x}}} – x}}, t > 0$, ta có bất phương trình:
    $3{t^2} – 7t – 6 \le 0 \Leftrightarrow t \le 3$ $ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} – 2x} – x \le 1$ $ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} – 2x} \le x + 1$
    $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {x^2} – 2x \ge 0\\
    x + 1 \ge 0\\
    {x^2} – 2x \le {(x + 1)^2}
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \le 0{\rm{ }} \vee {\rm{ }}x \ge 2\\
    x \ge – 1\\
    x \ge – \frac{1}{4}
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow – \frac{1}{4} \le x \le 0$ hoặc $x \ge 2.$
    Vậy, bất phương trình cho có nghiệm là $ – \frac{1}{4} \le x \le 0$ hoặc $x \ge 2.$

    Ví dụ 16. Giải các bất phương trình:
    1. ${\rm{ }}{(7 + 4\sqrt 3 )^x} – 3{(2 – \sqrt 3 )^x} + 2 \le 0.$
    2. ${2.3^{\sqrt x + \sqrt[4]{x}}} + {9^{\sqrt[4]{x} + \frac{1}{2}}} \ge {9^{\sqrt x }}.$

    1. Ta có: $7 + 4\sqrt 3 = {(2 + \sqrt 3 )^2}$ và $(2 – \sqrt 3 )(2 + \sqrt 3 ) = 1$ nên đặt $t = {(2 + \sqrt 3 )^x}, t > 0$ ta có bất phương trình:
    ${t^2} – \frac{3}{t} + 2 \le 0$ $ \Leftrightarrow {t^3} + 2t – 3 \le 0$ $ \Leftrightarrow (t – 1)({t^2} + t + 3) \le 0$ $ \Leftrightarrow t \le 1$
    $ \Leftrightarrow {(2 + \sqrt 3 )^x} \le 1 \Leftrightarrow x \le 0.$
    Vậy, bất phương trình cho có nghiệm là $x \le 0.$
    2. Chia hai vế bất phương trình cho ${9^{\sqrt x }}$ ta được: ${2.3^{\sqrt[4]{{\rm{x}}} – \sqrt x }} + {3.9^{\sqrt[4]{{\rm{x}}} – \sqrt x }} \ge 1.$
    Đặt $t = {3^{\sqrt[{\rm{4}}]{{\rm{x}}} – \sqrt x }}, t > 0$ ta có bất phương trình: $3{t^2} + 2t – 1 \ge 0$
    $ \Leftrightarrow t \ge \frac{1}{3} \Leftrightarrow {3^{\sqrt[4]{{\rm{x}}} – \sqrt x }} \ge {3^{ – 1}}$ $ \Leftrightarrow \sqrt[4]{{\rm{x}}} – \sqrt x \ge – 1$ $ \Leftrightarrow \sqrt x – \sqrt[4]{{\rm{x}}} – 1 \le 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt[4]{{\rm{x}}} \le \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$ $ \Leftrightarrow 0 \le x \le \frac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}.$
    Vậy, bất phương trình đã cho có nghiệm là $0 \le x \le \frac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}.$
     

    Bình Luận Bằng Facebook

Chia sẻ trang này