Phương pháp giải PT mũ và BPT: Logarit hóa

Phương pháp:
+ Dạng 1: ${a^{g\left( x \right)}} = f\left( x \right)$ $\left( {0 < a \ne 1} \right)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) > 0\\
g\left( x \right) = {\log _a}f\left( x \right)
\end{array} \right.$
+ Dạng 2: ${a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}}$ $\left( {0 < a, b \ne 1} \right)$ $ \Leftrightarrow {\log _a}{a^{f\left( x \right)}} = {\log _a}{b^{g\left( x \right)}}$ $ \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right).{\log _a}b.$

Ví dụ 7. Giải các phương trình:
1. ${({x^2} + 1)^{\left| {{x^2} – 5x + 4} \right|}} = {({x^2} + 1)^{x + 4}}.$
2. ${5^x}{.8^{\frac{{x – 1}}{x}}} = 500.$

1. Phương trình $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} + 1 = 1\\
\left| {{x^2} – 5x + 4} \right| = x + 4
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge – 4\\
{({x^2} – 5x + 4)^2} – {(x + 4)^2} = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge – 4\\
({x^2} – 4x + 8)({x^2} – 6x) = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 0, x = 6$ là nghiệm của phương trình đã cho.
Chú ý: Lấy logarit $2$ vế, bài toán cho lời giải đẹp.
2.
Cách 1: ${5^x}{.8^{\frac{{x – 1}}{8}}} = 500$ $ \Leftrightarrow {5^x}{.2^{3\frac{{x – 1}}{x}}} = {5^3}{.2^2}$ $ \Leftrightarrow {5^{x – 3}}{.2^{\frac{{x – 3}}{x}}} = 1.$
Lấy logarit cơ số $2$ vế, ta được: ${\log _2}\left( {{5^{x – 3}}{{.2}^{\frac{{x – 3}}{x}}}} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{5^{x – 3}}} \right) + {\log _2}\left( {{2^{\frac{{x – 3}}{x}}}} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {x – 3} \right).{\log _2}5 + \frac{{x – 3}}{x}{\log _2}2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 3\\
x = – \frac{1}{{{{\log }_2}5}} = – {\log _5}2
\end{array} \right.$
Vậy phương trình có $2$ nghiệm phân biệt: $x = 3, x = – {\log _5}2.$
Cách 2: Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow {5^x}{.2^{\frac{{3\left( {x – 1} \right)}}{x}}} = {5^3}{.2^2}$ $ \Leftrightarrow {5^{x – 3}} = {2^{\frac{{3 – x}}{x}}}$ $ \Leftrightarrow {5^{x – 3}} = {\left( {{2^{ – \frac{1}{x}}}} \right)^{x – 3}}$
$ \Leftrightarrow {5^{x – 3}} = {\left( {\frac{1}{{{2^{\frac{1}{x}}}}}} \right)^{x – 3}}$ $ \Leftrightarrow {\left( {{{5.2}^{\frac{1}{x}}}} \right)^{x – 3}} = 1$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x – 3 = 0\\
{5.2^{\frac{1}{x}}} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 3\\
x = – {\log _5}2
\end{array} \right.$

Ví dụ 8. Giải các phương trình:
1. ${x^6}{.5^{ – {{\log }_x}5}} = {5^{ – 5}}.$
2. ${49.2^{{x^2}}} = {16.7^x}.$
3. ${8^x}{.5^{{x^2} – 1}} = {2^{ – 3}}.$

1. Điều kiện: $0 < x \ne 1.$
Lấy logarit cơ số $5$ cả hai vế phương trình cho ta được:
${\log _5}\left( {{x^6}{{.5}^{ – {{\log }_x}5}}} \right) = {\log _5}{5^{ – 5}}$ hay $6{\log _5}x – {\log _x}5 = – 5$
$ \Leftrightarrow 6{\left( {{{\log }_5}x} \right)^2} + 5{\log _5}x – 1 = 0$ $(*).$
Đặt $t = {\log _5}x$, phương trình $(*)$ trở thành $6{t^2} + 5t – 1 = 0$, phương trình này có hai nghiệm $t = – 1$ hoặc $t = \frac{1}{6}.$
+ Với $t = – 1$ tức ${\log _5}x = – 1$ $ \Leftrightarrow x = {5^{ – 1}} = \frac{1}{5}.$
+ Với $t = \frac{1}{6}$ tức ${\log _5}x = \frac{1}{6}$ $ \Leftrightarrow x = {5^{\frac{1}{5}}} = \sqrt[6]{5}.$
Vậy, phương trình cho có $2$ nghiệm: $x \in \left\{ {\sqrt[6]{5};\frac{1}{5}} \right\}.$
2. Phương trình cho tương đương ${2^{{x^2} – 4}} = {7^{x – 2}}$ $(*).$
Lấy logarit cơ số $2$ hai vế phương trình $(*)$ ta được: ${\log _2}{2^{{x^2} – 4}} = {\log _2}{7^{x – 2}}$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 4 = \left( {x – 2} \right){\log _2}7$ $ \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {x + 2 – {{\log }_2}7} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = {\log _2}7 – 2.$
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = {\log _2}7 – 2$, $x = 2.$
3. Lấy logarit hai vế với cơ số $8$, ta được:
${\log _8}{8^x}{.5^{{x^2} – 1}} = {\log _8}\frac{1}{8}$ $ \Leftrightarrow {\log _8}{8^x} + {\log _8}{5^{{x^2} – 1}} = {\log _8}{8^{ – 1}}$
$ \Leftrightarrow x + \left( {{x^2} – 1} \right){\log _8}5 = – 1$ $ \Leftrightarrow x + 1 + \left( {{x^2} – 1} \right){\log _8}5 = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right){\log _8}5 = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {1 + \left( {x – 1} \right){{\log }_8}5} \right] = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 1 = 0\\
1 + \left( {x – 1} \right){\log _8}5 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 1\\
x.{\log _8}5 = {\log _8}5 – 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 1\\
x = 1 – {\log _5}8
\end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = – 1, x = 1 – {\log _5}8.$