Phương pháp giải PT mũ và BPT: Tìm tham số thực $m$ thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 13. Tìm $m$ để phương trình ${9^{1 + \sqrt {1 – {x^2}} }} – \left( {m + 2} \right){3^{1 + \sqrt {1 – {x^2}} }}$ $+ 2m + 1 = 0$ có nghiệm thực.
Điều kiện: $ – 1 \le x \le 1.$
Đặt $t = {3^{1 + \sqrt {1 – {x^2}} }}$, với $ – 1 \le x \le 1 \Rightarrow t \in \left[ {3;9} \right].$
Phương trình đã cho trở thành: ${t^2} – \left( {m + 2} \right)t + 2m + 1 = 0$, với $t \in \left[ {3;9} \right]$, tương đương với $m = \frac{{{t^2} – 2t + 1}}{{t – 2}}.$
Xét hàm số: $f\left( t \right) = \frac{{{t^2} – 2t + 1}}{{t – 2}}$ với $t \in \left[ {3;9} \right].$
Ta có: $f’\left( t \right) = \frac{{{t^2} – 4t + 3}}{{{{\left( {t – 2} \right)}^2}}} > 0$ với mọi $t \in \left( {3;9} \right)$, do đó hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên đoạn $\left[ {3;9} \right]$ và $f\left( 3 \right) \le f\left( t \right) \le f\left( 9 \right)$ suy ra $4 \le m \le \frac{{64}}{7}.$