Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Phương pháp quy nạp toán học

Thảo luận trong 'Chủ đề 3: Cấp số cộng và cấp số nhân' bắt đầu bởi moon, 5/12/18.

  1. moon

    moon Thành viên cấp 2 Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    2/10/14
    Bài viết:
    160
    Đã được thích:
    46
    Điểm thành tích:
    28
    Phương pháp quy nạp toán học
    Cho bài toán: Chứng minh mệnh đề $P(n)$ đúng với mọi số tự nhiên $n\ge {{n}_{0}},$ ${{n}_{0}}\in N$.
    Ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp toán học như sau:
    Bước 1: Kiểm tra $P({{n}_{0}})$ có đúng hay không, nếu bước này đúng thì ta chuyển qua bước 2.
    Bước 2: Với $k \in N, k\ge {{n}_{0}}$, giả sử $P(k)$ đúng ta cần chứng minh $P(k+1)$ cũng đúng.
    Kết luận: $P(n)$ đúng với $\forall n\ge {{n}_{0}}$.


    Các dạng toán và ví dụ minh họa
    Dạng toán : Dùng phương pháp quy nạp toán học chứng minh đẳng thức
    Ví dụ 1
    . Chứng mình với mọi số tự nhiên $n \ge 1$ ta luôn có: $1 + 2 + 3 + … + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}.$

    Đặt $P(n) = 1 + 2 + 3 + … + n$ và $Q(n) = \frac{{n(n + 1)}}{2}$.
    Ta cần chứng minh $P(n) = Q(n)$, $\forall n \in N, n \ge 1$.
    + Bước 1: Với $n = 1$ ta có $P(1) = 1$, $Q(1) = \frac{{1(1 + 1)}}{2} = 1$ $ \Rightarrow P(1) = Q(1)$ $⇒ P(n) = Q(n)$ đúng với $n = 1.$
    + Bước 2: Giả sử $P(k) = Q(k)$ với $k \in N, k \ge 1$ tức là: $1 + 2 + 3 + … + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}$.
    Ta cần chứng minh $P(k + 1) = Q(k + 1)$, tức là: $1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1)$ $ = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}$ $(*).$
    Thật vậy: $VT(*)$ $= (1 + 2 + 3 + … + k) + (k + 1)$ $ = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)$ $ = (k + 1)(\frac{k}{2} + 1)$ $ = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}$ $ = VP(*)$
    Vậy đẳng thức cho đúng với mọi $n \ge 1.$

    Ví dụ 2. Chứng minh với mọi số tự nhiên $n \ge 1$ ta luôn có: $1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = {n^2}.$

    + Với $n = 1$ ta có $VT = 1$, $VP = {1^2} = 1$, suy ra $VT = VP$ $ \Rightarrow $ đẳng thức cho đúng với $n = 1.$
    + Giả sử đẳng thức đã cho đúng với $n = k$ với $k \in N, k \ge 1$, tức là: $1 + 3 + 5 + … + 2k – 1 = {k^2}.$
    Ta cần chứng minh đẳng thức đã cho đúng với $n = k + 1$, tức là: $1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1)$ $ = {\left( {k + 1} \right)^2}$ $(*).$
    Thật vậy: $VT(*)$ $ = (1 + 3 + 5 + … + 2k – 1) + (2k + 1)$ $ = {k^2} + (2k + 1)$ $ = {(k + 1)^2}$ $ = VP(*)$
    Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi $n \ge 1.$
     

    Bình Luận Bằng Facebook

Chia sẻ trang này