Phương pháp: Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), bằng cách: • Dùng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối (GTTĐ). • Bình phương hai vế của phương trình. • Đặt ẩn phụ. Các dạng phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) tổng quát và cách giải: • $\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right|$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x)\\ f(x) = – g(x) \end{array} \right.$ hoặc $\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right|$ $ \Leftrightarrow {f^2}(x) = {g^2}(x).$ • $\left| {f(x)} \right| = g(x)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g(x) \ge 0\\ {f^2}(x) = {g^2}(x) \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g(x) \ge 0\\ \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x)\\ f(x) = – g(x) \end{array} \right. \end{array} \right.$ hoặc $\left| {f(x)} \right| = g(x)$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f(x) = g(x)}\\ {f(x) \ge 0} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { – f(x) = g(x)}\\ {f(x) < 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ Ví dụ minh họa: Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: a. $\left| {2x + 1} \right| = \left| {{x^2} – 3x – 4} \right|.$ b. $\left| {3x – 2} \right| = 3 – 2x.$ c. $\left| {{x^2} – 4x – 5} \right| = 4x – 17.$ d. $\left| {2x – 5} \right| + \left| {2{x^2} – 7x + 5} \right| = 0.$ a. Phương trình $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + 1 = {x^2} – 3x – 4}\\ {2x + 1 = – \left( {{x^2} – 3x – 4} \right)} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} – 5x – 5 = 0}\\ {{x^2} – x – 3 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{{5 \pm \sqrt {45} }}{2}}\\ {x = \frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}} \end{array}} \right.$ Vậy phương trình có nghiệm: $x = \frac{{5 \pm \sqrt {45} }}{2}$ và $\frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}.$ b. Ta giải phương trình theo $2$ cách: • Cách 1: + Với $3 – 2x < 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}$, ta có: $VT \ge 0$, $VP < 0$, suy ra phương trình vô nghiệm. + Với $3 – 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{3}{2}$ khi đó hai vế của phương trình không âm, suy ra: Phương trình $ \Leftrightarrow {\left| {3x – 2} \right|^2} = {\left( {3 – 2x} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow 9{x^2} – 12x + 4 = 4{x^2} – 12x + 9$ $ \Leftrightarrow 5{x^2} = 5$ $ \Leftrightarrow x = \pm 1$ (thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm là: $x = \pm 1.$ • Cách 2: + Với $3x – 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{2}{3}$, phương trình tương đương với: $3{\rm{x}} – 2 = 3 – 2{\rm{x}}$ $ \Leftrightarrow 5{\rm{x}} = 5$ $ \Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn). + Với $3x – 2 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{2}{3}$, phương trình tương đương với: $ – \left( {3{\rm{x}} – 2} \right) = 3 – 2{\rm{x}}$ $ \Leftrightarrow {\rm{x}} = – 1$ (thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm: $x = \pm 1.$ c. + Với $4x – 17 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{{17}}{4}$, ta có: $VT \ge 0$, $VP < 0$ suy ra phương trình vô nghiệm. + Với $4x – 17 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{{17}}{4}$ khi đó hai vế của phương trình không âm, suy ra: Phương trình $ \Leftrightarrow {\left| {{x^2} – 4x – 5} \right|^2} = {\left( {4x – 17} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} – 4x – 5} \right)^2} = {\left( {4x – 17} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 8x + 12} \right)\left( {{x^2} – 22} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} – 8x + 12 = 0}\\ {{x^2} – 22 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2}\\ {x = 6} \end{array}} \right.}\\ {x = \pm \sqrt {22} } \end{array}} \right.$ Đối chiếu với điều kiện $x \ge \frac{{17}}{4}$, ta thấy chỉ có $x = 6$ và $x = \sqrt {22} $ thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm: $x = 6$ và $x = \sqrt {22} .$ d. Ta có: $\left| {2x – 5} \right| \ge 0$, $\left| {2{x^2} – 7x + 5} \right| \ge 0$, suy ra: $\left| {2x – 5} \right| + \left| {2{x^2} – 7x + 5} \right| \ge 0.$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x – 5 = 0}\\ {2{x^2} – 7x + 5 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{5}{2}}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = \frac{5}{2}} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}.$ Vậy phương trình có nghiệm: $x = \frac{5}{2}.$ Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: a. ${\left( {x + 1} \right)^2} – 3\left| {x + 1} \right| + 2 = 0.$ b. $4x\left( {x – 1} \right) = \left| {2x – 1} \right| + 1.$ c. ${x^2} + \frac{9}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} + 1$ $ = 2x + 7\left| {\frac{{{x^2} – 2x – 2}}{{x – 1}}} \right|.$ a. Đặt $t = \left| {x + 1} \right|$, $t \ge 0.$ Phương trình trở thành: ${t^2} – 3t + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1}\\ {t = 2} \end{array}} \right.$ + Với $t = 1$, ta có: $\left| {x + 1} \right| = 1$ $ \Leftrightarrow x + 1 = \pm 1$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = – 2} \end{array}} \right.$ + Với $t = 2$, ta có: $\left| {x + 1} \right| = 2$ $ \Leftrightarrow x + 1 = \pm 2$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = – 3} \end{array}} \right.$ Vậy phương trình có nghiệm: $x = – 3$, $x = – 2$, $x = 0$ và $x = 1.$ b. Phương trình tương đương với: $4{x^2} – 4x – \left| {2x – 1} \right| – 1 = 0.$ Đặt $t = \left| {2x – 1} \right|$, $t \ge 0$ $ \Rightarrow {t^2} = 4{x^2} – 4x + 1$ $ \Rightarrow 4{x^2} – 4x = {t^2} – 1.$ Phương trình trở thành: ${t^2} – 1 – t – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow {t^2} – t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = – 1}\\ {t = 2} \end{array}} \right.$ Vì $t \ge 0 \Rightarrow t = 2$ nên $\left| {2x – 1} \right| = 2$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x – 1 = 2}\\ {2x – 1 = – 2} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{3}{2}}\\ {x = – \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ Vậy phương trình có nghiệm là: $x = \frac{3}{2}$ và $x = – \frac{1}{2}.$ c. Điều kiện xác định: $x \ne 1.$ Phương trình tương đương: ${\left( {x – 1} \right)^2} + \frac{9}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}$ $ = 7\left| {x – 1 – \frac{3}{{x – 1}}} \right|.$ Đặt $t = \left| {x – 1 – \frac{3}{{x – 1}}} \right|.$ Suy ra: ${t^2} = {\left( {x – 1} \right)^2} + \frac{9}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} – 6$ $ \Rightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + \frac{9}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}$ $ = {t^2} + 6.$ Phương trình trở thành: ${t^2} + 6 = 7t$ $ \Leftrightarrow {t^2} – 7t + 6 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1}\\ {t = 6} \end{array}} \right.$ + Với $t = 1$, ta có: $\left| {x – 1 – \frac{3}{{x – 1}}} \right| = 1$ $ \Leftrightarrow \left| {\frac{{{x^2} – 2x – 2}}{{x – 1}}} \right| = 1$ $ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} – 2x – 2}}{{x – 1}} = \pm 1$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} – 3x – 1 = 0}\\ {{x^2} – x – 3 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{{3 \pm \sqrt {13} }}{2}}\\ {x = \frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}} \end{array}} \right.$ (thỏa mãn). + Với $t = 6$, ta có: $\left| {x – 1 – \frac{3}{{x – 1}}} \right| = 6$ $ \Leftrightarrow \left| {\frac{{{x^2} – 2x – 2}}{{x – 1}}} \right| = 6$ $ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} – 2x – 2}}{{x – 1}} = \pm 6$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} – 8x + 4 = 0}\\ {{x^2} + 4x – 8 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 4 \pm 2\sqrt 3 }\\ {x = – 2 \pm 2\sqrt 3 } \end{array}} \right.$ (thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm: $x = \frac{{3 \pm \sqrt {13} }}{2}$, $x = \frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}$, $x = 4 \pm 2\sqrt 3 $ và $x = – 2 \pm 2\sqrt 3 .$ Ví dụ 3. Giải và biện luận các phương trình sau: a. $\left| {mx + 2m} \right| = \left| {mx + x + 1} \right|$ $(*).$ b. $\left| {mx + 2x – 1} \right| = \left| {x – 1} \right|$ $(**).$ a. Ta có: $\left| {mx + 2m} \right| = \left| {mx + x + 1} \right|$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {mx + 2m = mx + x + 1}\\ {mx + 2m = – \left( {mx + x + 1} \right)} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2m – 1}\\ {\left( {2m + 1} \right)x = – 2m – 1\: ( 1 )} \end{array}} \right.$ Giải $( 1 ):$ + Với $2m + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow m = – \frac{1}{2}$, phương trình trở thành $0x = 0$, suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$ + Với $2m + 1 \ne 0$ $ \Leftrightarrow m \ne – \frac{1}{2}$, phương trình tương đương với: $x = – 1.$ Kết luận: + Với $m = – \frac{1}{2}$, phương trình $(*)$ nghiệm đúng với mọi $x.$ + Với $m \ne – \frac{1}{2}$, phương trình $(*)$ có hai nghiệm là: $x = – 1$ và $x = 2m – 1.$ b. Ta có: $\left| {mx + 2x – 1} \right| = \left| {x – 1} \right|$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {mx + 2x – 1 = x – 1}\\ {mx + 2x – 1 = – \left( {x – 1} \right)} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {(m + 1)x = 0\: (2)}\\ {(m + 3)x = 2\: (3)} \end{array}} \right.$ • Với phương trình $(2)$, ta có: $m = – 1$ thì phương trình $(2)$ nghiệm đúng với mọi $x.$ $m \ne – 1$ thì phương trình $(2)$ có nghiệm $x = 0.$ • Với phương trình $(3)$, ta có: $m = – 3$, thì phương trình $(3)$ vô nghiệm. $m \ne – 3$ thì phương trình $(3)$ có nghiệm $x = \frac{2}{{m + 3}}.$ Kết luận: + Với $m = – 1$, phương trình $(**)$ nghiệm đúng với mọi $x.$ + Với $m = – 3$, phương trình $(**)$ có nghiệm $x = 0.$ + Với $m \ne – 1$ và $m \ne – 3$, phương trình $(**)$ có nghiệm $x = 0$ và $x = \frac{2}{{m + 3}}.$ Ví dụ 4. Tìm $m$ để phương trình: $\left| {{x^2} + x} \right|$ $ = \left| {m{x^2} – (m + 1)x – 2m – 1} \right|$ có ba nghiệm phân biệt. Phương trình tương đương với: $\left| {x\left( {x + 1} \right)} \right|$ $ = \left| {\left( {x + 1} \right)\left( {mx – 2m – 1} \right)} \right|$ $ \Leftrightarrow \left| {x + 1} \right|\left[ {\left| x \right| – \left| {mx – 2m – 1} \right|} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = – 1}\\ {\left| x \right| = \left| {mx – 2m – 1} \right|\: (*)} \end{array}} \right.$ Ta có: $(*) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {mx – 2m – 1 = x}\\ {mx – 2m – 1 = – x} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {(m – 1)x = 1 + 2m\: ( 1 )}\\ {(m + 1)x = 1 + 2m\: (2)} \end{array}} \right.$ + Nếu $m = 1$, thì phương trình $( 1 )$ vô nghiệm, khi đó phương trình ban đầu không thể có ba nghiệm phân biệt. + Nếu $m = – 1$, thì phương trình $(2)$ vô nghiệm, khi đó phương trình ban đầu không thể có ba nghiệm phân biệt. + Nếu $m \ne \pm 1$, thì $(*) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{{1 + 2m}}{{m – 1}}}\\ {x = \frac{{1 + 2m}}{{m + 1}}} \end{array}} \right.$ Suy ra để phương trình ban đầu có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{1 + 2m}}{{m – 1}} \ne – 1}\\ \begin{array}{l} \frac{{1 + 2m}}{{m + 1}} \ne – 1\\ \frac{{1 + 2m}}{{m – 1}} \ne \frac{{1 + 2m}}{{m + 1}} \end{array} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \ne 0}\\ \begin{array}{l} m \ne – \frac{2}{3}\\ m \ne – \frac{1}{2} \end{array} \end{array}} \right.$ Vậy với $m \notin \left\{ { – 1; – \frac{1}{2}; – \frac{2}{3};0;1} \right\}$ thì phương trình có ba nghiệm phân biệt. Bài tập rèn luyện: Phần đề bài: Bài toán 1. Giải các phương trình sau: a. $|3x – 2| = {x^2} + 2x + 3.$ b. $\left| {{x^3} – 1} \right| = \left| {{x^2} – 3x + 2} \right|.$ Bài toán 2. Giải các phương trình sau: a. ${\left( {2x – 1} \right)^2} – 3\left| {2x – 1} \right| – 4 = 0.$ b. $\frac{{{x^4} – 6{x^2} + 4}}{{{x^2}}} = \left| {\frac{{{x^2} – 2}}{x}} \right|.$ Bài toán 3. Cho phương trình: ${x^2} – 2x – 2\left| {x – 1} \right| + m + 3 = 0.$ a. Giải phương trình khi $m = – 2.$ b. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm. Bài toán 4. Giải và biện luận các phương trình sau: a. $\left| {mx + 2m} \right| = \left| {x + 1} \right|.$ b. $\left| {mx + 2x} \right| = \left| {mx – 1} \right|.$ Phần đáp số – hướng dẫn giải: Bài toán 1. a. Ta có: $|3x – 2| = $ $\left\{ \begin{array}{l} 3x – 2\:khi\:x \ge \frac{2}{3}\\ – 3x + 2\:khi\:x < \frac{2}{3} \end{array} \right.$ • Nếu $x \ge \frac{2}{3}$, suy ra: $PT \Leftrightarrow 3x – 2 = {x^2} + 2x + 3$ $ \Leftrightarrow {x^2} – x + 5 = 0$, phương trình vô nghiệm. • Nếu $x < \frac{2}{3}$, suy ra: $PT \Leftrightarrow – 3x + 2 = {x^2} + 2x + 3$ $ \Leftrightarrow {x^2} + 5x + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{ – 5 \pm \sqrt {21} }}{2}$, hai nghiệm này đều thỏa mãn $x < \frac{2}{3}.$ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: $x = \frac{{ – 5 \pm \sqrt {21} }}{2}.$ b. $x = 1$, $x = – 1 \pm \sqrt 2 .$ Bài toán 2. a. Đặt $t = \left| {2x – 1} \right|$, $t \ge 0.$ Phương trình trở thành ${t^2} – 3t – 4 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = – 1\: (loại)}\\ {t = 4} \end{array}} \right.$ Với $t = 4$, ta có: $\left| {2x – 1} \right| = 4$ $ \Leftrightarrow 2x – 1 = \pm 4$ $ \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}$ hoặc $x = – \frac{3}{2}.$ Vậy phương trình có nghiệm là $x = – \frac{3}{2}$ và $x = \frac{5}{2}.$ b. Điều kiện xác định: $x \ne 0.$ Đặt $t = \left| {\frac{{{x^2} – 2}}{x}} \right|$, $t \ge 0.$ Phương trình trở thành: ${t^2} – t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = – 1}\\ {t = 2} \end{array}} \right.$ Với $t = 2$, ta có: $\left| {\frac{{{x^2} – 2}}{x}} \right| = 2$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = – 1 \pm \sqrt 3 }\\ {x = 1 \pm \sqrt 3 } \end{array}} \right.$ Vậy phương trình có nghiệm: $x = – 1 \pm \sqrt 3 $ và $x = 1 \pm \sqrt 3 .$ Bài toán 3. Phương trình $ \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} – 2\left| {x – 1} \right| + m + 2 = 0.$ Đặt $t = \left| {x – 1} \right|$, $t \ge 0$, ta có phương trình: ${t^2} – 2t + m + 2 = 0$ $( 1 ).$ a. Khi $m = – 2$, ta có: ${t^2} – 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 0}\\ {t = 2} \end{array}} \right.$ Suy ra nghiệm phương trình là $x = 1$, $x = 3$, $x = – 1.$ b. Phương trình đã cho có nghiệm $⇔$ phương trình $( 1 )$ có nghiệm $t \ge 0$ $ \Leftrightarrow m = – {t^2} + 2t – 2$ có nghiệm $t \ge 0$ $ \Leftrightarrow $ đồ thị hàm số $f\left( t \right) = – {t^2} + 2t – 2$ với $t \in \left[ {0; + \infty } \right)$ cắt trục hoành $ \Leftrightarrow m \le – 2.$ Bài toán 4. a. Ta có $PT \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {mx + 2m = x + 1}\\ {mx + 2m = – \left( {x + 1} \right)} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {m – 1} \right)x = 1 – 2m \: \left( 1 \right)}\\ {\left( {m + 1} \right)x = – 2m – 1 \: \left( 2 \right)} \end{array}} \right.$ • Giải $( 1 )$: + Với $m = 1$ phương trình trở thành $0x = – 1$, phương trình vô nghiệm. + Với $m \ne 1$ phương trình tương đương với $x = \frac{{1 – 2m}}{{m – 1}}.$ • Giải $(2)$: + Với $m = – 1$ phương trình trở thành $0x = 1$, phương trình vô nghiệm. + Với $m \ne – 1$ phương trình tương đương với $x = \frac{{ – 2m – 1}}{{m + 1}}.$ Kết luận: + Với $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 1}\\ {m = – 1} \end{array}} \right.$ phương trình có nghiệm là $x = \frac{{ – 3}}{2}.$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \ne 1}\\ {m \ne – 1} \end{array}} \right.$ phương trình có nghiệm là $x = \frac{{1 – 2m}}{{m – 1}}$ và $x = \frac{{ – 2m – 1}}{{m + 1}}.$ b. Ta có: $\left| {mx + 2x} \right| = \left| {mx – 1} \right|$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {mx + 2x = mx – 1}\\ {mx + 2x = – \left( {mx – 1} \right)} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = – \frac{1}{2}}\\ {(2m + 2)x = 1 \: (*)} \end{array}} \right.$ Với phương trình $(*)$, ta có: $m = – 1$ thì phương trình $(*)$ vô nghiệm. $m \ne – 1$ thì phương trình $(*)$ có nghiệm $x = \frac{1}{{2m + 2}}.$ Kết luận: $m = – 1$, phương trình có nghiệm $x = – \frac{1}{2}.$ $m \ne – 1$, phương trình có nghiệm $x = – \frac{1}{2}$ và $x = \frac{1}{{2m + 2}}.$
