Phương trình đối xứng đối với $\sin x$ và $\cos x$ là phương trình dạng $a(\sin x + \cos x) + b\sin x\cos x + c = 0$, trong đó $a, b, c \in R.$ Cách giải: Cách 1: Do ${(\sin x + cosx)^2} = 1 + 2\sin x\cos x$ nên ta đặt: $t = \sin x + \cos x$ $ = \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4})$ $ = \sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} – x)$, điều kiện $|t| \le \sqrt 2 .$ Suy ra $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}$ và phương trình $a(\sin x + \cos x) + b\sin x\cos x + c = 0$ được viết lại: $b{t^2} + 2at – (b + 2c) = 0.$ Cách 2: Đặt $t = \frac{\pi }{4} – x$, ta có: $\sin x + \cos x = \sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} – x)$ $ = \sqrt 2 \cos t.$ $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ $ = \frac{1}{2}\cos (\frac{\pi }{2} – 2x)$ $ = \frac{1}{2}\cos 2t = {\cos ^2}t – \frac{1}{2}.$ Phương trình $a(\sin x + \cos x) + b\sin x\cos x + c = 0$ trở thành $b{\cos ^2}x + \sqrt 2 \cos x – \frac{b}{2} + c = 0$. Đây là phương trình bậc hai theo $cos$ đã trình bày cách giải ở phần 1. Chú ý: Phương trình lượng giác dạng $a(\sin x – \cos x) + b\sin x\cos x + c = 0$ được giải tương tự bằng cách đặt $t = \sin x – \cos x.$ Ví dụ 7: Giải phương trình $\sin x + \cos x – 2\sin x\cos x + 1 = 0.$ Đặt $\sin x + \cos x = t$, điều kiện $|t| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}.$ Phương trình đã cho trở thành: $t – 2(\frac{{{t^2} – 1}}{2}) + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = – 1\\ t = 2 \end{array} \right.$ (loại $t = 2$ vì không thỏa mãn điều kiện). Với $t = – 1$ $⇔ \sin x + \cos x = – 1$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}) = – 1$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ x = \pi + k2\pi \end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$ Vậy phương trình có 2 họ nghiệm $ \left[ \begin{array}{l} x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ x = \pi + k2\pi \end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
