Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Phương trình đối xứng đối với $\sin x$ và $\cos x$

Thảo luận trong 'Ôn tập' bắt đầu bởi moon, 5/12/18.

  1. moon

    moon Thành viên cấp 2 Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    2/10/14
    Bài viết:
    160
    Đã được thích:
    46
    Điểm thành tích:
    28
    Phương trình đối xứng đối với $\sin x$ và $\cos x$ là phương trình dạng $a(\sin x + \cos x) + b\sin x\cos x + c = 0$, trong đó $a, b, c \in R.$

    Cách giải:
    Cách 1: Do ${(\sin x + cosx)^2} = 1 + 2\sin x\cos x$ nên ta đặt: $t = \sin x + \cos x$ $ = \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4})$ $ = \sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} – x)$, điều kiện $|t| \le \sqrt 2 .$
    Suy ra $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}$ và phương trình $a(\sin x + \cos x) + b\sin x\cos x + c = 0$ được viết lại: $b{t^2} + 2at – (b + 2c) = 0.$

    Cách 2: Đặt $t = \frac{\pi }{4} – x$, ta có:
    $\sin x + \cos x = \sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} – x)$ $ = \sqrt 2 \cos t.$
    $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ $ = \frac{1}{2}\cos (\frac{\pi }{2} – 2x)$ $ = \frac{1}{2}\cos 2t = {\cos ^2}t – \frac{1}{2}.$
    Phương trình $a(\sin x + \cos x) + b\sin x\cos x + c = 0$ trở thành $b{\cos ^2}x + \sqrt 2 \cos x – \frac{b}{2} + c = 0$. Đây là phương trình bậc hai theo $cos$ đã trình bày cách giải ở phần 1.

    Chú ý: Phương trình lượng giác dạng $a(\sin x – \cos x) + b\sin x\cos x + c = 0$ được giải tương tự bằng cách đặt $t = \sin x – \cos x.$

    Ví dụ 7: Giải phương trình $\sin x + \cos x – 2\sin x\cos x + 1 = 0.$

    Đặt $\sin x + \cos x = t$, điều kiện $|t| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}.$
    Phương trình đã cho trở thành: $t – 2(\frac{{{t^2} – 1}}{2}) + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    t = – 1\\
    t = 2
    \end{array} \right.$ (loại $t = 2$ vì không thỏa mãn điều kiện).
    Với $t = – 1$ $⇔ \sin x + \cos x = – 1$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}) = – 1$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
    x = \pi + k2\pi
    \end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
    Vậy phương trình có 2 họ nghiệm $ \left[ \begin{array}{l}
    x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
    x = \pi + k2\pi
    \end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
     

Chia sẻ trang này