Giải và biện luận phương trình lượng giác $\sin x = m$ Do $\sin x \in \left[ { – 1;1} \right]$ nên để giải phương trình $\sin x = m$ ta đi biện luận theo các bước sau: • Bước 1: Nếu $|m| > 1$ thì phương trình vô nghiệm. • Bước 2: Nếu $|m| ≤ 1$, ta xét 2 khả năng: + Khả năng 1: Nếu $m$ được biểu diễn qua $sin$ của góc đặc biệt, giả sử $\alpha $, khi đó phương trình sẽ có dạng: $\sin x = \sin \alpha $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi – \alpha + k2\pi \end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$ + Khả năng 2: Nếu $m$ không biểu diễn được qua $sin$ của góc đặc biệt, khi đó đặt $m = \sin \alpha $. Ta có: $\sin x = \sin \alpha $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi – \alpha + k2\pi \end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$ Chú ý: Nếu $α$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} – \frac{\pi }{2} \le \alpha \le \frac{\pi }{2}\\ \sin \alpha = m \end{array} \right.$ thì ta viết $\alpha = \arcsin m.$ Các trường hợp đặc biệt: 1. $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi .$ 2. $\sin x = – 1 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi .$ 3. $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi .$ Ví dụ 1: Giải phương trình: $\sin (3x + \frac{\pi }{4}) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$ Do $\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ nên: $\sin (3x + \frac{\pi }{4}) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ $ \Leftrightarrow \sin (3x + \frac{\pi }{4}) = \sin \frac{\pi }{3}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\ 3x + \frac{\pi }{4} = \pi – \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = – \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\ 3x = \pi – \frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\ x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$ Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\ x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right. (k \in Z).$ Ví dụ 2: Giải phương trình $\sin x = \frac{1}{4}.$ Ta nhận thấy $\frac{1}{4}$ không là giá trị của cung đặc biệt nào. Ta có: $\sin x = \frac{1}{4}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arcsin \frac{1}{4} + k2\pi \\ x = \pi – \arcsin \frac{1}{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$ Vậy phương trình có 2 họ ngiệm $\left[ \begin{array}{l} x = \arcsin \frac{1}{4} + k2\pi \\ x = \pi – \arcsin \frac{1}{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$
