Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT MIỀN

Thảo luận trong 'Bài 1: Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 31/10/17.

  1. Tăng Giáp

    Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    16/11/14
    Bài viết:
    4,630
    Đã được thích:
    282
    Điểm thành tích:
    83
    Giới tính:
    Nam
    Bài toán: Xác định m để hàm số y = f(x, m) đồng biến (hay nghịch biến) trên khoảng I. Ta cần thực hiện các bước sau:
    Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số.
    Bước 2: Tính đạo hàm f ‘(x).
    Bước 3: Lập luận cho các trường hợp (tương tự cho tính nghịch biến) như sau:

    Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi

    → Hàm số xác định với mọi x.
    → f’(x) ≥ 0, dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm.

    Hàm số đồng biến trên [a, + ∞ ) khi và chỉ khi

    → Hàm số xác định với mọi x ∈ [a, + ∞)
    → f’(x) ≥ 0 ${\forall x \le b}$, dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm.

    Hàm số đồng biến trên (a, b ) khi và chỉ khi
    → Hàm số xác định với mọi x ∈ (a, b )
    → f’(x) ≥ 0$\forall x \in \left( {a,b} \right)$, dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm của (a, b )

    Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng k.<=> f ‘(x) $\forall x \in [a - k,a],$ đẳng thức chỉ xảy tại hữu hạn điểm của [a – k, a] và $\forall x \notin $ [a – k, a] không thoả mãn.

    Để giải các biểu thức điều kiện của y ‘ phương pháp được sử dụng phườngổ biến nhất là phương pháp tam thức bậc 2, tuy nhiên trong những trường hợp riêng biệt có thể sử dụng ngay phương pháp hàm số để giải, cụ thể như:
    • f'(x) ≥ 0 với $\forall x \in D \Leftrightarrow \min f '(x) \ge 0$.
    • f ‘(x) ≤ 0 với $\forall x \in D \Leftrightarrow \max f '(x) \le 0$

    Chú ý: Ta cần nhớ rằng với y’= g(x) = ax$^2$ + bx + c (a ≠ 0) thì:

    HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN
    1.
    $g(x) \ge 0 \forall x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {a > 0}\\
    {\Delta \le 0}
    \end{array}} \right.$

    2. $g(x) \ge 0 \forall x > \alpha (hay x \in (\alpha ; + \infty ))$ khi một trong hai trường hợp xảy ra:
    • TH1: Nếu ∆ ≤ 0 điều kiện a > 0 →$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {a > 0}\\
    {\Delta \le 0}
    \end{array}} \right.$
    • TH2: Nếu ∆ > 0, điều kiện là a > 0 và phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm thoả mãn
    ${x_1} < {x_2} \le \alpha \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {a > 0}\\
    {ag(\alpha ) \ge 0}\\
    {\frac{S}{2} < \alpha }
    \end{array}} \right.$

    3. $g(x) \ge 0 \forall x < \alpha (hay x \in ( - \infty ;\alpha ))$ khi một trong hai trường hợp xảy ra:
    • TH1: Nếu ∆ ≤ 0 điều kiện a > 0 →$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {a > 0}\\
    {\Delta \le 0}
    \end{array}} \right.$
    • TH2: Nếu ∆ > 0, điều kiện là a > 0 và phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn
    $\alpha \le {x_1} < {x_2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {a > 0}\\
    {a.g(\alpha ) \ge 0}\\
    {\frac{S}{2} > \alpha }
    \end{array}} \right.$

    4. $g(x) \ge 0 \forall x \in (\alpha ;\beta )$ khi một trong hai trường hợp sau xảy ra:
    • TH1: Nếu ∆ ≤ 0 điều kiện a > 0.
    $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {a > 0}\\
    {\Delta \le 0}
    \end{array}} \right.$
    • TH2: Nếu ∆ >0, xét hai khả năng sau:
    → Nếu a > 0 thì điều kiện là phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả:
    $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {\alpha < \beta \le {x_1} < {x_2}}\\
    {{x_1} < {x_2} \le \alpha < \beta }
    \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a.g(\alpha ) \ge 0}\\{\frac{S}{2} < \alpha }\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {a.g(\beta ) \ge 0}\\{\frac{S}{2} > \beta }\end{array}} \right.}\end{array}} \right.$
    → Nếu a < 0 thì điều kiện là phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả:
    ${x_1} \le \alpha < \beta \le {x_2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {a.g(\alpha ) \le 0}\\
    {a.g(\beta ) \le 0}
    \end{array}} \right.$

    HÀM SỐ NGHỊCH BIẾN
    1.
    $g(x) \le 0 \forall x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {a < 0}\\
    {\Delta \le 0}
    \end{array}} \right.$

    2. $g(x) \le 0 \forall x > \alpha (hay x \in (\alpha ; + \infty ))$ khi một trong hai trường hợp xảy ra:
    • TH1: Nếu ∆ ≤ 0 điều kiện a < 0.
    $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {a < 0}\\
    {\Delta \le 0}
    \end{array}} \right.$
    • TH2: Nếu ∆ > 0, điều kiện là a < 0 và phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm thoả mãn
    ${x_1} < {x_2} \le \alpha \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {a < 0}\\
    {ag(\alpha ) \ge 0}\\
    {\frac{S}{2} < \alpha }
    \end{array}} \right.$

    3. $g(x) \le 0 \forall x < \alpha (hay x \in ( - \infty ;\alpha ))$ khi một trong hai trường hợp xảy ra:
    • TH1: Nếu ∆ ≤ 0 điều kiện a < 0.
    $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {a < 0}\\
    {\Delta \le 0}
    \end{array}} \right.$
    • TH2: Nếu ∆ > 0, điều kiện là a < 0 và phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn
    $\alpha \le {x_1} < {x_2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {a < 0}\\
    {a.g(\alpha ) \ge 0}\\
    {\frac{S}{2} > \alpha }
    \end{array}} \right.$

    4. $g(x) \le 0 \forall x \in (\alpha ;\beta )$ khi một trong hai trường hợp sau xảy ra:
    • TH1: Nếu ∆ ≤ 0 điều kiện a < 0.
    $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {a < 0}\\
    {\Delta \le 0}
    \end{array}} \right.$
    • TH2: Nếu ∆ > 0, xét hai khả năng sau:
    → Nếu a < 0 thì điều kiện là phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả:
    $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {\alpha < \beta \le {x_1} < {x_2}}\\
    {{x_1} < {x_2} \le \alpha < \beta }
    \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {a.g(\alpha ) \ge 0}\\
    {\frac{S}{2} < \alpha }
    \end{array}} \right.}\\
    {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {a.g(\beta ) \ge 0}\\
    {\frac{S}{2} > \beta }
    \end{array}} \right.}
    \end{array}} \right.$
    →Nếu a > 0 thì điều kiện là phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả:
    ${x_1} \le \alpha < \beta \le {x_2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {a.g(\alpha ) \le 0}\\
    {a.g(\beta ) \le 0}
    \end{array}} \right.$

    BÀI TẬP TỰ LUYỆN
    Bài 1: Tìm m sau cho hàm số:
    1. y = mx$^3$ – (2m – 1)x$^2$ + (m – 2)x – 2 luôn đồng biến.
    2. y = x$^3$ + 3x$^2$ + (m + 1)x + 4m nghịch biến trong (-1; 1).
    3. y = (m2 + 5m)x$^3$ + 6mx$^2$ + 6x – 6 đơn điệu trên R.
    4. y = x$^3$ – 3(m – 1)x$^2$ + 3m(m-2)x + 1 hàm số đồng biến trên R.
    5. y = x4 – 2mx$^2$ + 2m + m4 luôn đồng biến.
    6. y = $\frac{1}{3}$x$^3$ – 2x$^2$ + 3x, hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 0)
    7. y = $\frac{{m - 1}}{3}$x$^3$ + mx$^2$ + (3m – 2)x luôn đồng biến.
    8. y = -$\frac{1}{3}$x$^3$ + (m – 1)x$^2$ + (m + 3)x đồng biến trong (0; 3)
    9. y = x$^3$ – 3(2m + 1)x$^2$ + (12m + 5)x + 2 đồng biến trong khoảng (2; +∞).
    10. y = x$^3$ – (m+1)x$^2$ – (2m2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1) đồng biến khi .
    11. y = x$^2$(m – x) – m. Tìm m để hàm số:
    a. Đồng biến với mọi x.
    b. Đồng biến trong (1; 2)
    12. y = $\frac{1}{3}$mx$^3$ – (m – 1)x$^2$ + 3(m - 2)x + $\frac{1}{3}$.
    13. Cho hàm số y = x$^3$ – 2x$^2$ + (m - 1)x + m + 3
    a. Tìm m để hàm số đồng biến với mọi x.
    b. Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; - 1] và (2; +∞)
    14. Cho hàm y = $ - \frac{{{x^3}}}{3} + (m - 1){x^2} + (m + 3) - 4$.
    a. Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (0; 3).
    b. Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (3; +∞).
    15. Cho hàm số $y = \frac{1}{3}(m + 3){x^3} - 2{x^2} + mx$.
    a. Tìm m để hàm số luôn đồng biến.
    b. Tìm m để hàm số luôn nghịch biến.

    Bài 2: Tìm m sao cho hàm số:
    1. $y = \frac{{mx - 2}}{{x + m - 3}}$ luôn nghịch biến.
    2. $y = \frac{{{x^2} - 2mx + m + 2}}{{x - m}}$ đồng biến với mọi x > 1.
    3. $y = \frac{{m{x^2} + x + m}}{{mx + 1}}$ đồng biến trong khoảng (0; + ∞).
    4. $y = \frac{{{x^2} + 2(m + 1) + 2}}{{x + 1}}$ đồng biến trong (0; + ∞).
    5. $y = \frac{{2{x^2} + mx + 2 - m}}{{x + m - 1}}$ đồng biến trong (1; + ∞).
    6. $y = \frac{{{x^2} + {m^2}x + m - 2}}{{x + 1}}$ luôn đồng biến trên miền xác định của nó.
    7. $y = \frac{{(m + 1){x^2} - 2mx - ({m^3} - {m^2} + 2)}}{{x - m}}$ luôn nghịch biến trên miền xác định của nó.
    8. $y = \frac{{m{x^2} - (m + 2)x + {m^2} - 2m + 2}}{{x - 1}}$ luôn nghịch biến trên miền xác định của nó.
    9. $y = \frac{{{x^2} - 2m + 3{m^2}}}{{2m - x}}$ nghịch biến trong (1; + ∞).
    10. $y = \frac{{2{x^2} + (1 - m)x + 1 + m}}{{x - m}}$ đồng biến trong (1; + ∞).
     
    Chỉnh sửa cuối: 31/10/17
  2. khanh2511

    khanh2511 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    22/9/17
    Bài viết:
    3
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nữ
    Hay lắm thầy ạ
     
    Last edited by a moderator: 10/11/17
  3. kenhlike06

    kenhlike06 Guest

    Dịch vụ Facebook - Tăng like, sub, share, comments, view video, người xem livestream trên facebook, đánh giá 5 sao fanpage, tăng vote cuộc thi.
    Hotline: 0983 439 103 (Có Zalo)
    FB: fb/dieukc
     
  4. kenhlike06

    kenhlike06 Guest

    Dịch vụ Facebook - Tăng like, sub, share, comments, view video, người xem livestream trên facebook, đánh giá 5 sao fanpage, tăng vote cuộc thi.
    Hotline: 0983 439 103 (Có Zalo)
    FB: fb/dieukc
     

Chia sẻ trang này