SỰ ĐỒNG BIẾN ,NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Ta có: \(y' = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne - 1\)
Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)

 

Ta có: \({y'} = 4{{\rm{x}}^3} - 4{\rm{x}} = 4{\rm{x}}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right);\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right..\)

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right).\)

 

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)
Ta có \(y' = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - \left( {m - 3} \right)\) suy ra phương trình y’=0 có nhiều nhất hai nghiệm trên \(\mathbb{R}.\)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;3) khi \(y' \ge 0,\forall x \in \left( {0;3} \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 1x + 3}}{{2x + 1}} \ge m,\forall x \in \left( {0;3} \right).\)
Xét hàm số \(g(x) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{2x + 1}}\) trên khoảng (0;3) ta có: \(g'(x) = \frac{{2{x^2} + 2x - 4}}{{{{(2x + 1)}^2}}};g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left( {0;3} \right)\\x = - 2 \notin \left( {0;3} \right)\end{array} \right.\)

 

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến biến trên khoảng (-3;1) khi \(y' \ge 0,\forall x \in \left( { - 3; - 1} \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 1x + 3}}{{2x + 1}} \le m,\forall x \in \left( { - 3; - 1} \right).\)Từ bảng biến thiên ta thấy \(g(x) \ge m,\forall x \in \left( {0;3} \right) \Leftrightarrow m \le 2.\)
Xét hàm số \(g(x) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{2x + 1}}\) trên khoảng (-3;-1) ta có: \(g'(x) = \frac{{2{x^2} + 2x - 4}}{{{{(2x + 1)}^2}}};g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \notin \left( { - 3; - 1} \right)\\x = - 2 \in \left( { - 3; - 1} \right)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy \(g(x) \le m,\forall x \in \left( { - 3; - 1} \right) \Leftrightarrow m \ge - 1.\)
Do đó: \(m \in \left[ { - 1;2} \right) \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 5.\)

 

Ta có \(y' = 4{x^3} - 4x = 4x\left( {{x^2} - 1} \right)\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:

Vậy: Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) và \(\left( { - 1;0} \right);\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right).\)

 

Hàm số \(y = {x^3} + 2{x^2} - mx + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi: \(y' = 3{x^2} + 4x - m \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3 > 0}\\{\Delta ' = 4 + 3m \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \le - \frac{4}{3}.\)

 

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\)
Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2}}}\).
Cho \(y' = 0\)\( \Rightarrow x = \pm 2\).

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

 

Ta có: \(y' = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2m;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = m + 2\end{array} \right.\).
Do đó ta có bảng biến thiên:

Để hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;1} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}m \le 0\\m + 2 \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le m \le 0\).

 

Ta có \(y' = - 3{x^2} + 6x\), \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( {0,2} \right)\).

 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

 

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}.\)
Ta có \(y' = \frac{{3 - {m^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}.\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 3 ,\) khi đó hàm số đã cho trở thành hàm hằng.
Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi: \(3 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow - \sqrt 3 < m < \sqrt 3 .\)

 

Xét hàm số \(y = {x^4} - 2{{\rm{x}}^2} + 1\)
Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4x;\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\)

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right),\,\,\left( {1; + \infty } \right).\)

 

Ta có: \(y' = {\left( {\frac{{mx - 4}}{{x - m}}} \right)^\prime } = \frac{{4 - {m^2}}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\)
Với \(m = \pm 2\) thì \(y' = 0\) hàm số đã cho trở thành hàm hằng.
Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi:
\(y' > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow 4 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2 \Leftrightarrow m \in \left( { - 2;2} \right)\)

 

Ta có \(y' = 3{{\rm{x}}^2} - 2m{\rm{x}} + m - 1\)
Với \(x \in \left( {1;2} \right)\) thì \(y' > 0 \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^2} - 2m{\rm{x}} + m - 1 > 0 \Leftrightarrow m\left( {1 - 2m} \right) > 1 - 3{{\rm{x}}^2} \Leftrightarrow m < \frac{{1 - 3{x^2}}}{{1 - 2x}}\,\left( * \right)\)
Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {1;2} \right)\) khi và chỉ khi bất phương trình (*) nghiệm đúng \(\forall x \in \left( {1;2} \right)\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{1 - 3{x^2}}}{{1 - 2x}}\) trên \(\left[ {1;2} \right]\) có:
\(f'\left( x \right) = \frac{{ - 6x\left( {1 - 2x} \right) + 2\left( {1 - 3{x^2}} \right)}}{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}} = \frac{{6{x^2} - 6x + 2}}{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left( {1;2} \right)\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( 1 \right) = 2,\forall x \in \left( {1;2} \right)\)
Vậy giá trị của m thỏa mãn là \(m \le 2.\)

 

Ta có: \(y' = \frac{{{3^{ - x}}\left( {m - 3} \right).\ln 3}}{{{{\left( {{3^{ - x}} - m} \right)}^2}}}\)
Với m=3, ta có \(y' = 0\) hàm số đã cho trở thành hàm hằng.
Vậy hàm số nghịch biến trên (-1;1) khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}y' < 0,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\\{3^{ - x}} - m \ne 0\\x \in \left( { - 1;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m \ne {3^{ - x}}\\x \in \left( { - 1;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \notin \left( {\frac{1}{3};3} \right)\\m < 3\end{array} \right. \Rightarrow m \le \frac{1}{3}.\)

 

Ta có: \(y' = {x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m\)
Hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\)khi: \(y' = \underbrace {{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m}_{f\left( x \right)} \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right).\)
Điều này tương đương với hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}.\)
Trường hợp 2: \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2} \le 2.\)
Từ 2 trường hợp trên ta có:
\(YCBT \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S - 4 < 0\\f\left( 2 \right) \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} > 0\\m + 1 - 4 < 0\\4 - 2m - 2 + m \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m < 3\\m \le 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 2.\)

 

Ta có:
\(\begin{array}{l}y' = {x^2} - x - 12\\y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \((4; + \infty) \), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 3;4} \right).\)

 

Ta có: \(y' = {\left( {2{{\rm{x}}^3} + 3{{\rm{x}}^2} + 1} \right)^\prime } = 3{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}}\)

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right).\)

 

Nếu hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\) thì \({f'}\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\) (dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm). Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) thì \({f'}\left( x \right)\) vẫn có thể bằng 0.

 

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)khi và chỉ khi hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\)và \(y' \ge 0\,,x \in \mathbb{R}\) với điệu kiện phương trình y’=0 có hữu hạn nghiệm.
Kiểm tra các hàm số ta có B là phương án đúng.

 

Ta có: \(y' = \left( { - \frac{1}{4}{x^4} + 2{x^2} - 1} \right) = - {x^3} + 4x;\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\\x = 2\end{array} \right.\)

Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\), đồng biến trên các khoảng \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( { - \infty ; - 2} \right).\)