SỰ ĐỒNG BIẾN ,NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

\(y = mx - \left( {m + 1} \right)\cos x \Rightarrow y' = m + \left( {m + 1} \right)\sin x\)
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)thì \(y' \ge 0\) với mọi m khi \(m + \left( {m + 1} \right)\sin x \ge 0\)với điều kiện y’=0 tại một số hữu hạn điểm.
\(m + \left( {m + 1} \right)\sin x \ge 0 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right).\sin x \ge - m\)
+ Với \(m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1,\) ta có: \(Sinx \ge - \frac{m}{{m + 1}}\)
Xét hàm số:
\(\begin{array}{l}f(m) = \frac{{ - m}}{{m + 1}},m > - 1\\f'(m) = \frac{{ - 2}}{{{{(m + 1)}^2}}} < 0\end{array}\)
Bảng biến thiên:

 

Vậy không tồn tại giá trị m>-1 thỏa yêu cầu bài toán (1)
+ Với \(m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - 1,\) ta có: \(Sinx \le - \frac{m}{{m + 1}}\)
Xét hàm số:
\(\begin{array}{l}f(m) = \frac{{ - m}}{{m + 1}},m < - 1\\f'(m) = \frac{{ - 2}}{{{{(m + 1)}^2}}} < 0\end{array}\)
Bảng biến thiên:

Vậy không tồn tại m<- thỏa yêu cầu bài toán.
+ Với m=-1, hàm số trở thành: y=x, không đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Vậy không có m thỏa yêu cầu bài toán.

 

Ta có: \(y' = \frac{{{m^2} - 3m + 2}}{{{{\left( {x + m - 3} \right)}^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\)
Khi đó hàm số đã cho trở thành hàm hằng.
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi:
\(y' < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 2.\)

 

\(\begin{array}{l}y = {x^3} - 3{x^2}\\ \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x;y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)

 

Hàm số xác định \(D = \mathbb{R} \Rightarrow y' = \left[ {x\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) - \sqrt {1 + {x^2}} } \right]' = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}y' > 0 \Leftrightarrow \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) > 0 \Leftrightarrow x + \sqrt {1 + {x^2}} > 1 \Leftrightarrow x > 0\\y' < 0 \Leftrightarrow \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < x + \sqrt {1 + {x^2}} < 1 \Leftrightarrow x < 0\end{array} \right.\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right).\)

 

Ta có \(y' = 3{x^2} + 2x + m\) có \(\Delta = {2^2} - 4.3.m = 4 - 12m\)
Hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + mx + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi: \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta \le 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{3}.\)