Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Sử dụng công thức hạ bậc

Thảo luận trong 'Ôn tập' bắt đầu bởi moon, 5/12/18.

  1. moon

    moon Thành viên cấp 2 Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    2/10/14
    Bài viết:
    160
    Đã được thích:
    46
    Điểm thành tích:
    28
    Khi giải các phương trình lượng giác mà bậc của $sin$ và $cos$ là bậc chẵn ta thường hạ bậc từ đó đưa về phương trình cơ bản.

    Ví dụ 4. Giải các phương trình lượng giác sau:
    a. ${\sin ^2}x + {\sin ^2}2x + {\sin ^2}3x = \frac{3}{2}.$
    b. ${\sin ^2}3x – {\cos ^2}4x = {\sin ^2}5x – {\cos ^2}6x.$
    c. ${\sin ^2}\left( {\frac{x}{2} – \frac{\pi }{4}} \right){\tan ^2}x – {\cos ^2}\frac{x}{2} = 0.$
    d. ${\cos ^2}3x\cos 2x – {\cos ^2}x = 0.$

    a. Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm số $sin$ và tổng hai cung $\frac{{6x + 2x}}{2} = 4x$ mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và sử dụng công thức biến tổng sang tích sau đó nhóm các hạng tử để đưa về phương trình tích.
    $PT \Leftrightarrow \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0$ $ \Leftrightarrow \cos 4x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    \cos 4x = 0\\
    \cos 2x = – \frac{1}{2}
    \end{array} \right.$
    Vậy phương trình có nghiệm: $x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}$, $x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi $ $(k ∈ Z).$
    b. $PT \Leftrightarrow \frac{{1 – \cos 6x}}{x} – \frac{{1 + \cos 8x}}{2}$ $ = \frac{{1 – \cos 10x}}{2} – \frac{{1 + \cos 12x}}{2}$
    $ \Leftrightarrow \left( {\cos 12x + \cos 10x} \right) $ $- \left( {\cos 8x + \cos 6x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow 2\cos 11x\cos x – 2\cos 7x\cos x = 0$
    $ \Leftrightarrow \cos x\left( {\cos 11x – \cos 7x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \cos x\sin 9x\sin 2x = 0.$
    Vậy phương trình có nghiệm: $x = k\frac{\pi }{9}$, $x = k\frac{\pi }{2}$ $\left( {k \in Z} \right).$
    c. Điều kiện: $\cos x \ne 0.$
    $PT \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {1 – \cos \left( {x – \frac{\pi }{2}} \right)} \right]\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}$ $ = \frac{1}{2}\left( {1 + \cos x} \right)$ $ \Leftrightarrow \left( {1 – \sin x} \right){\sin ^2}x = \left( {1 + \cos x} \right){\cos ^2}x$
    $ \Leftrightarrow \left( {1 – \sin x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0.$
    Đáp số: Kết hợp với điều kiện ta được: $x = \pi + k2\pi $, $x = – \frac{\pi }{4} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
    d. $PT \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 6x}}{2}\cos 2x$ $ – \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = 0$ $ \Leftrightarrow \cos 6x.\cos 2x – 1 = 0$
    $ \Leftrightarrow \cos 8x + \cos 4x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}4x + \cos 4x – 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \cos 4x = 1 \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}$ $\left( {k \in Z} \right).$

    Ví dụ 5. Giải các phương trình lượng giác sau:
    a. $2{\sin ^2}2x + \sin 7x – 1 = \sin x.$
    b. ${\cos ^4}x + {\sin ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1.$
    c. $\left( {2 – \sqrt 3 } \right)\cos x – 2{\sin ^2}\left( {\frac{x}{2} – \frac{\pi }{4}} \right)$ $ = 2\cos x – 1.$
    d. $3{\tan ^3}x – \tan x + \frac{{3\left( {1 + \sin x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}$ $ – 8{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} – \frac{x}{2}} \right) = 0.$

    a. $PT \Leftrightarrow \sin 7x – \sin x$ $ – \left( {1 – 2{{\sin }^2}2x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow 2\cos 4x.\sin 3x – \cos 4x = 0$ $ \Leftrightarrow \cos 4x\left( {2\sin 3x – 1} \right) = 0.$
    Vậy phương trình có nghiệm: $x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{4}$, $x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}$, $x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}$ $(k∈Z).$
    b. ${\left( {1 + \cos 2x} \right)^2} + {\left( {1 + \sin 2x} \right)^2} = 1$ $ \Leftrightarrow \sin 2x + \cos 2x = – 1$
    $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \left( {2x – \frac{\pi }{2}} \right) = – 1$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
    x = – \frac{\pi }{4} + k\pi
    \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
    c. $PT \Leftrightarrow – \sqrt 3 \cos x + \sin x = 0$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 0$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi $ $(k∈Z).$
    d. $PT \Leftrightarrow 3{\tan ^3}x – \tan x$ $ + \frac{{3\left( {1 + \sin x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} – 4\left( {1 + \sin x} \right) = 0$
    $ \Leftrightarrow \tan x\left( {3{{\tan }^2}x – 1} \right)$ $ + \left( {1 + \sin x} \right)\left( {3{{\tan }^2}x – 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {3{{\tan }^2}x – 1} \right)\left( {\tan x + 1 + \sin x} \right) = 0$
    Trường hợp 1: $\tan x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
    Trường hợp 2: $1 + \sin x + \tan x = 0$ $ \Leftrightarrow \sin x + \cos x + \sin x\cos x = 0$ (phương trình đối xứng với $sin$ và $cos$).
    Giải phương trình này được: $x = \frac{\pi }{4} \pm \arccos \left( {\frac{{\sqrt 2 – 1}}{2}} \right) + k2\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
     

Chia sẻ trang này