1. Một số kiến thức bổ trợ : a) Hệ thống các ví dụ ôn lại lý thuyết: a.1.Một số công thức tính thể tích: - Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc Trong đó a,b,c là ba kích thước. Đặc biệt: Thể tích khối lập phương: $V = {a^3}$ Trong đó a là độ dài cạnh của khối lập phương . - Thể tích khối lăng trụ: V = Bh Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao - Thể tích của khối chóp: $V = \frac{1}{3}.B.h$ Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao - Tỷ số thể tích: Cho hình chóp S.ABCD.Trên các đoạn thẳng SA,SB,S lần lượt lấy 3 điểm A’,B’,C’ khác với S. Ta có: $\frac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}}$ - Diện tích xung quanh hình trụ: ${S_{xq}} = 2\pi R\ell $ ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh) - Thể tích khối trụ: V = $\pi .{R^2}.h$ ( h : độ dài đường cao ) - Diện tích xung quanh hình nón: ${S_{Xq}} = \pi .R\ell $ - Thể tích khối nón: V = $\frac{1}{3}.\pi .{R^2}.h$ - Diện tích mặt cầu: S = $4.\pi .{R^2}$ - Thể tích khối cầu: V = $\frac{4}{3}\pi .{R^3}$ a.2.Một số kiến thức bổ trợ: + Tam giác ABC đều cạnh a: Chiều cao: $h = a.\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ Diện tích : $S = {a^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4}$ + Hình vuông ABCD có cạnh a: Đường chéo ${\rm{AC = a}}{\rm{.}}\sqrt {\rm{2}} $ Diện tích $S = {a^2}$. + Công thức tính diện tích tam giác: $S = \frac{1}{2}.a.{h_a} = \frac{1}{2}.a.b.\sin C$. + Xác định góc giữa đường thẳng d và mp(P). • Nếu d ⊥ (P) thì $\widehat {(d,(P))} = {90^0}$ • Nếu không vuông góc với (P) thì - Xác định hình chiếu vuông góc d’ của d trên (P) . Khi đó : $\widehat {(d,(P))} = \widehat {(d,d')} = \alpha $ +Xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q). $\left\{ \begin{array}{l} \left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\ a \subset \left( P \right),a \bot d\\ b \subset \left( P \right),b \bot d\\ a \subset b = I \in d \end{array} \right. \to \widehat {\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)} = \widehat {\left( {a,b} \right)}$ + Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b. Ví dụ 1: Tính chiều cao và diện tích tam giác ABC đều cạnh 3a. Giải: Chiều cao: $h = 3a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a\sqrt 3 }}{2}$ Diện tích : $S = {\left( {3a} \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4}$ Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh $5a\sqrt 6 $. Tính độ dài đoạn AC và diện tích hình vuông ABCD. Giải: Ta có : $AC = 5a\sqrt 6 .\sqrt 2 = 10a\sqrt 3 $ và ${S_{ABCD}} = {\left( {5a\sqrt 6 } \right)^2} = 150{a^2}$ Ví dụ 3:Tính diện tích tam giác ABC biết tam giác vuông tại A và ${\rm{AC = a}}\sqrt {\rm{7}} ,$ BC = 5a. Giải: Ta có: $AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{(5a)}^2} - {{(a\sqrt 7 )}^2}} = \sqrt {18{a^2}} = 3a\sqrt 2 $ Khi đó: Diện tích tam giác ABC là ${S_{ABCD}} = \frac{1}{2}.AC.AB = \frac{1}{2}.a\sqrt 7 .a\sqrt 2 = \frac{{{a^2}\sqrt {14} }}{2}$ (đvdt) Ví dụ 4: Tính diện tích tam giác ABC biết ${\rm{AB = 5a,BC = 2a}}\sqrt {\rm{3}} ,\widehat {ABC} = {60^0}$. Giải Diện tích tam giác ABC là ${S_{ABCD}} = \frac{1}{2}.AB.BC.\sin \widehat {ABC} = \frac{1}{2}.5a.2a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{15{a^2}}}{2}$ (đvdt) Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. a. Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC) . b. Xác định góc giữa mặt bên (SBC) và (ABC). Spoiler Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vuông, SA⊥(ABCD). a.Xác định góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABCD) . b.Xác định góc giữa mặt (SBD) và (ABCD). Spoiler Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vuông, SA⊥(ABCD). Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC . Spoiler Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng ⊥(ABC).Gọi M là trung điểm của AB,mp qua SM và // BC cắt AC tại N.Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SN . Spoiler
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp tam giác tứ giác. B 1: Xác định đáy và đường cao của khối chóp B2: Tính diện tích đáy B và chiều cao h B 3: Áp dụng công thức V = $\frac{1}{3}B.h$ Ví dụ 1. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2a, M là trung điểm AD. a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD. b) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC). Spoiler Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp a. Biết cạnh bên bằng $a\sqrt 3 $.Gọi K là trung điểm của SA Tính thể tích khối tứ diện K.ABC theo a. b. Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 60$^0$. c. Biết mặt bên tạo với mặt đáy một góc 30$^0$. d. Cạnh bên SA tạo với cạnh đáy AB một góc 45$^0$. Spoiler Ví dụ 3:Tính thể tích khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a,BC=3a, SA ⊥(ABCD).Góc giữa SD và ABCD bằng 45$^0$. Spoiler Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ: B1: Xác định đáy và đường cao của khối hộp,khối lăng trụ. B2: Tính diện tích đáy B và chiều cao h B3: Áp dụng công thức V = BH Ví dụ 4: Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng $2a\sqrt {15} $ Spoiler Ví dụ 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 60$^0$. Tính thể tích của lăng trụ Spoiler Ví dụ 6: Tính thể tích của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo bằng ${\rm{AC' = 2a}}\sqrt {\rm{6}} $ Spoiler Dạng 3: Tính thể tích các khối tròn xoay B 1: Xác định đáy,đường sinh,đường cao của khối tròn xoay B2: Tính bán kính đáy R, độ dài đường sinh l, chiều cao h của khối tròn xoay B 3: Áp dụng công thức : - Diện tích xung quanh hình trụ: S$_{xq}$ = 2πRℓ ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh) - Thể tích khối trụ: V = $\pi .{R^2}.h$ ( h : độ dài đường cao ) - Diện tích xung quanh hình nón: S$_{xq}$ = πRℓ - Thể tích khối nón: V = $\frac{1}{3}.\pi .{R^2}.h$ - Diện tích mặt cầu: S = $4.\pi .{R^2}$ - Thể tích khối cầu: V = $\frac{4}{3}\pi .{R^3}$ Ví dụ 7: Tính thể tích,diện tích xung quanh,diện tích toàn phần của khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a và cạnh bên bằng 4b. Spoiler Ví dụ 8: Tính thể tích,diện tích xung quanh,diện tích toàn phần của khối nón có chiều cao bằng a và góc ở đỉnh bằng 120$^0$. Spoiler Ví dụ 9: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đường cao SA vuông góc với đáy ABC và tam giác ABC vuông tại B.Biết SA=3a,AB=4a,AC=5a Spoiler Ví dụ 10: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và đường cao SA vuông góc với đáy ABC,mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy một góc 30$^0$ Spoiler Ví dụ 11: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,BC=a, SA=SB=SC= $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ và mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy một góc 60$^0$ Spoiler Ví dụ 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp a. Biết cạnh bên bằng $a\sqrt 2 $.Gọi K là điểm nằm trên SA sao cho 5AM=SA Tính tỷ số thể tích giữa khối tứ diện K.ABC và khối chóp S.ABCD. b. Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 60$^0$. c. Biết mặt bên tạo với mặt đáy một góc 30$^0$. d. Biết $\widehat {SAB} = {60^0}$. Spoiler Ví dụ 13: Tính thể tích khối chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vuông. a. Biết AB=,2a SA ⊥(ABCD và góc giữa mặt (SBD) và (ABCD) bằng 60$^0$ b. Biết AC=2a và góc giữa SC và (ABCD) bằng 30$^0$ Spoiler Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và vuông góc với mặt đáy.Gọi H là trung điểm của AB a. CMR SH ⊥ (ABCD) b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Gọi M là điểm nằm trên AD sao cho ${\rm{ }}AM = \frac{1}{4}AD$.Tính ${V_{S.ABM}}$theo a. Spoiler Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình thoi cạnh a. $\widehat {BAD} = {60^0},SA = SC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2},SB = SD$.Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Spoiler Ví dụ 16: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCDA’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và đường chéo hợp với mặt đáy góc 30$^0$.Tính thể tích khối lăng trụ Spoiler Ví dụ 17: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a, $\widehat {ACB} = {60^0}$.Đường chéo A’B của mặt bên (ABB’A’) hợp với mặt bên (ABC) một góc 300.Tính thể tích lăng trụ đó. Spoiler Ví dụ 18. Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, $\widehat {BCA} = {60^0}$.Đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một góc 30$^0$. a. Tính độ dài cạnh AC’ b. Tính thể tích lăng trụ Spoiler Ví dụ 19: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a , ${\rm{AA' = }}\frac{{{\rm{a}}\sqrt {\rm{6}} }}{{\rm{2}}}$ và hình chiếu của A trên (A’B’C’) là trung điểm của B’C’. Tính thể tích của lăng trụ trên. Spoiler Ví dụ 20: Tính thể tích khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a,diện tích xung quanh bằng bằng ${\rm{ 2}}\pi {{\rm{a}}^{\rm{2}}}$. Spoiler BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Dạng 1: Tính thể tích khối chóp: Ví dụ 1 . Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, $AC = a\sqrt 2 \,$, SA vuông góc với đáy, SA = a a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng α qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN. Spoiler Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60$^0$. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. a) Hãy xác định mp(AEMF) b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Tính thể tích khối chóp S.AEMF. Spoiler Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD. b) Chứng minh CE ⊥ (ABD) Tính thể tích khối tứ diện CDEF. Spoiler Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, $SA = a\sqrt 2 $. Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b) Chứng minh $SC \bot (AB'D')$ c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Spoiler Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ: Ví dụ 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có $AB = a\sqrt 3 \,$, AD = a, AA’=a, O là giao điểm của AC và BD. a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’. Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’. Spoiler Ví dụ 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’. Spoiler Ví dụ 7. Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a. a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC. b) E là trung điểm cạnh AC,mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FE Spoiler Ví dụ 8. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với đáy một góc 30$^0$ và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. Spoiler Ví dụ 9 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = $\sqrt 3 $, AD =$\sqrt 7 $. Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 45$^0$ và 60$^0$. Tính thể tích khối lăng trụ đó nếu biết cạnh bên bằng 1. Spoiler Ví dụ 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và AA’ = 3a. Tính thể tích của lăng trụ Spoiler Ví dụ 11: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc $\mathop A\limits^ \wedge $= 60$^0$. Chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. Cho BB’ = a. a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy b) Tính thể tích hình hộp Spoiler Dạng 3: Tính thể tích các khối tròn xoay Ví dụ 12: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Spoiler Ví dụ 13: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Spoiler Ví dụ 14: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Spoiler Ví dụ 15: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông.Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.Tính thể tích của khối trụ. Spoiler Ví dụ 16: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên Spoiler Ví dụ 17: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với mp(ABC), ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a. a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu Spoiler Ví dụ 18: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hính vuông cạnh bằng a. SA = 2a và vuông góc với mp(ABCD). a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu Spoiler Ví dụ 19: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó. Spoiler
