Bài toán 1: Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ biết $f(x)$ xác định tại ${x_0}.$ Phương pháp: + Nếu $f(x)$ là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng $f({x_0}).$ + Nếu $f(x)$ cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn (giới hạn trái bằng giới hạn phải). Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau: 1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x + 3\cos x + x}}{{2x + {{\cos }^2}3x}}.$ 2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} – 2x}}{{\sqrt[3]{{x + 6}} + 2x – 1}}.$ 1. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x + 3\cos x + x}}{{2x + {{\cos }^2}3x}}$ $ = \frac{{\sin 0 + 3\cos 0 + 0}}{{2.0 + {{\cos }^2}0}}$ $ = 3.$ 2. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} – 2x}}{{\sqrt[3]{{x + 6}} + 2x – 1}}$ $ = \frac{{\sqrt {{2^2} + 3} – 2.2}}{{\sqrt[3]{{2 + 6}} + 2.2 – 1}}$ $ = \frac{{\sqrt 7 – 4}}{5}.$ Ví dụ 2. Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới hạn đó? 1. $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{{x^2} + 2}} \quad {\rm{ khi }} \: x < 1\\ \frac{{3x + 2}}{3} \quad {\rm{ khi }} \: x \ge 1 \end{array} \right.$ khi $x \to 1.$ 2. $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} + 3x + 1\quad {\rm{khi}} \: x \ge 0\\ – {x^2} + 3x + 2\quad {\rm{khi}} \: x < 0 \end{array} \right.$ khi $x \to 0.$ 1. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3x + 2}}{3}$ $ = \frac{5}{3}.$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{{x^2} + 2}} = \frac{5}{3}.$ $ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = \frac{5}{3}.$ Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \frac{5}{3}.$ 2. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (2{x^2} + 3x + 1) = 1.$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} ( – {x^2} + 3x + 2) = 2.$ $ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x).$ Vậy hàm số $f(x)$ không có giới hạn khi $x \to 0.$ Ví dụ 3. Tìm $m$ để các hàm số: 1. $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} + mx + 2m + 1}}{{x + 1}} \quad {\rm{khi}} \: x \ge 0\\ \frac{{2x + 3m – 1}}{{\sqrt {1 – x} + 2}} \quad {\rm{khi}} \: x < 0 \end{array} \right.$ có giới hạn khi $x \to 0.$ 2. $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} + x – 2}}{{\sqrt {1 – x} }} + mx + 1 \quad {\rm{khi}} \: x < 1\\ 3mx + 2m – 1 \quad {\rm{khi}} \: x \ge 1 \end{array} \right.$ có giới hạn khi $x \to 1.$ 1. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2} + mx + 2m + 1}}{{x + 1}}$ $ = 2m + 1.$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{2x + 3m – 1}}{{\sqrt {1 – x} + 2}}$ $ = \frac{{3m – 1}}{3}.$ Hàm số có giới hạn khi $x \to 0$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x)$ $ \Leftrightarrow 2m + 1 = \frac{{3m – 1}}{3}$ $ \Leftrightarrow m = – \frac{4}{3}.$ 2. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (3mx + 2m – 1)$ $ = 5m – 1.$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( {\frac{{{x^2} + x – 2}}{{\sqrt {1 – x} }} + mx + 1} \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( { – (x + 2)\sqrt {1 – x} + mx + 1} \right)$ $ = m + 1.$ Hàm số có giới hạn khi $x \to 1$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x)$ $ \Leftrightarrow 5m – 1 = m + 1$ $ \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}.$