Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Tìm giới hạn của hàm số: Bài toán 1: Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ biết ...

Thảo luận trong 'Chủ đề 4. GIỚI HẠN' bắt đầu bởi moon, 5/12/18.

  1. moon

    moon Thành viên cấp 2 Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    2/10/14
    Bài viết:
    160
    Đã được thích:
    46
    Điểm thành tích:
    28
    Bài toán 1: Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ biết $f(x)$ xác định tại ${x_0}.$
    Phương pháp:
    + Nếu $f(x)$ là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng $f({x_0}).$
    + Nếu $f(x)$ cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn (giới hạn trái bằng giới hạn phải).


    Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau:
    1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x + 3\cos x + x}}{{2x + {{\cos }^2}3x}}.$
    2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} – 2x}}{{\sqrt[3]{{x + 6}} + 2x – 1}}.$

    1. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x + 3\cos x + x}}{{2x + {{\cos }^2}3x}}$ $ = \frac{{\sin 0 + 3\cos 0 + 0}}{{2.0 + {{\cos }^2}0}}$ $ = 3.$
    2. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} – 2x}}{{\sqrt[3]{{x + 6}} + 2x – 1}}$ $ = \frac{{\sqrt {{2^2} + 3} – 2.2}}{{\sqrt[3]{{2 + 6}} + 2.2 – 1}}$ $ = \frac{{\sqrt 7 – 4}}{5}.$

    Ví dụ 2. Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới hạn đó?
    1. $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{{x^2} + 2}} \quad {\rm{ khi }} \: x < 1\\
    \frac{{3x + 2}}{3} \quad {\rm{ khi }} \: x \ge 1
    \end{array} \right.$ khi $x \to 1.$
    2. $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
    2{x^2} + 3x + 1\quad {\rm{khi}} \: x \ge 0\\
    – {x^2} + 3x + 2\quad {\rm{khi}} \: x < 0
    \end{array} \right.$ khi $x \to 0.$

    1. Ta có:
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3x + 2}}{3}$ $ = \frac{5}{3}.$
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{{x^2} + 2}} = \frac{5}{3}.$
    $ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = \frac{5}{3}.$
    Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \frac{5}{3}.$
    2. Ta có:
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (2{x^2} + 3x + 1) = 1.$
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} ( – {x^2} + 3x + 2) = 2.$
    $ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x).$
    Vậy hàm số $f(x)$ không có giới hạn khi $x \to 0.$

    Ví dụ 3. Tìm $m$ để các hàm số:
    1. $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{{x^2} + mx + 2m + 1}}{{x + 1}} \quad {\rm{khi}} \: x \ge 0\\
    \frac{{2x + 3m – 1}}{{\sqrt {1 – x} + 2}} \quad {\rm{khi}} \: x < 0
    \end{array} \right.$ có giới hạn khi $x \to 0.$
    2. $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{{x^2} + x – 2}}{{\sqrt {1 – x} }} + mx + 1 \quad {\rm{khi}} \: x < 1\\
    3mx + 2m – 1 \quad {\rm{khi}} \: x \ge 1
    \end{array} \right.$ có giới hạn khi $x \to 1.$

    1. Ta có:
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2} + mx + 2m + 1}}{{x + 1}}$ $ = 2m + 1.$
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{2x + 3m – 1}}{{\sqrt {1 – x} + 2}}$ $ = \frac{{3m – 1}}{3}.$
    Hàm số có giới hạn khi $x \to 0$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x)$ $ \Leftrightarrow 2m + 1 = \frac{{3m – 1}}{3}$ $ \Leftrightarrow m = – \frac{4}{3}.$
    2. Ta có:
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (3mx + 2m – 1)$ $ = 5m – 1.$
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( {\frac{{{x^2} + x – 2}}{{\sqrt {1 – x} }} + mx + 1} \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( { – (x + 2)\sqrt {1 – x} + mx + 1} \right)$ $ = m + 1.$
    Hàm số có giới hạn khi $x \to 1$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x)$ $ \Leftrightarrow 5m – 1 = m + 1$ $ \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}.$
     

    Bình Luận Bằng Facebook

Chia sẻ trang này