Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Tính đơn điệu của hàm số và ứng dụng

Thảo luận trong 'Bài 1: Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số' bắt đầu bởi Doremon, 4/12/14.

  1. Doremon

    Doremon Moderator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    29/9/14
    Bài viết:
    1,299
    Đã được thích:
    210
    Điểm thành tích:
    63
    Giới tính:
    Nam
    VẤN ĐỀ 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
    Quy tắc:

    1. Tìm TXĐ của hàm số.
    2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xi mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
    3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập BBT.
    4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

    Ví dụ: Chứng minh rằng:
    a) f(x) = cos(2x) – 2x + 3 nghịch biến trên R.
    b) f(x) = x + cos$^2$x đồng biến trên R.

    Giải
    a) Ta có: f’(x) = - 2(sin2x + 1) ≤ 0, ∀x ∈ R và f’(x) = 0 ↔ sin2x = - 1 ↔ x = - π/4 + kπ, k ∈ Z
    Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ; - \frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right]$ và có đạo hàm f’(x) < 0 với mọi $x \in \left( { - \frac{\pi }{4} + k\pi ; - \frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right),\,\,k \in Z$.
    Do đó, hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ; - \frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right],\,\,k \in Z$.
    Vậy hàm nghịch biến trên R.

    b) Ta có: f’(x) = 1 – sin2x; $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in Z$
    NX: Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn $\left[ {\frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right]$ và có đạo hàm f’(x) > 0 với mọi $x \in \left( {\frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right),\,\,k \in Z$.
    Do đó hàm số đồng biến trên mỗi đoạn $\left[ {\frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right],\,\,k \in Z$.
    Vậy hàm đồng biến trên R.

    VẤN ĐỀ 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MIỀN K

    Phương pháp:
    Sử dụng các kiến thức sau đây:
    1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
    • Nếu f’(x) ≥ 0, ∀x ∈ K thì f(x) đồng biến trên K.
    • Nếu f’(x) ≤ 0, ∀x ∈ K thì f(x) nghịch biến trên K.
    2. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax$^2$ + bx + c có biệt thức Δ = b$^2$ - 4ac. Ta có:
    • $f(x) \ge 0,\,\,\forall x \in R\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$
    • $f(x) \le 0,\,\,\forall x \in R\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$
    3. Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K”. Ta thực hiện theo các bước sau:
    • B1. Tính đạo hàm f’(x,m).
    • B2. Lý luận: Hàm số đồng biến trên K ↔ f’(x,m) ≥ 0, ∀x ∈ K ↔ m ≥ g(x), ∀x ∈ K (m ≤ g(x))
    • B3. Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.
    Ví dụ 1: Với giá trị nào của a, hàm số $f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + \left( {2a + 1} \right)x - 3a + 2$ nghịch biến trên R ?

    Giải:
    TXĐ: R
    Ta có: f’(x) = - x$^2$ + 4x + 2a + 1, Δ = 2a + 5
    Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi $f'(x) \le 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \Delta \le 0\Leftrightarrow a \le - \frac{5}{2}$.

    Ví dụ 2:Với giá trị nào của m, hàm số $f(x) = m{x^3} - 3{x^2} + \left( {m - 2} \right)x + 3$ nghịch biến trên R ?

    Giải
    TXĐ: R
    Ta có: $f'(x) = 3m{x^2} - 6x + m – 2$
    Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi $f'(x) = 3m{x^2} - 6x + m - 2 \le 0,\forall x \in R$
    • m = 0, khi đó f’(x) = $ - 6x - 2 \le 0 \Leftrightarrow x \ge - \frac{1}{3}$: không thỏa $\forall x \in R$.
    • m ≠ 0 , khi đó $f'(x) \le 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\Delta = 9 - 3m(m - 2) \le 0\end{array} \right.$
    $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\ - 3{m^2} + 6m + 9 \le 0\end{array} \right. →\left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m \le - 1\,\,v\,\,m \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le - 1$
    Vậy, với m ≤ - 1 thì thỏa mãn bài toán.

    Ví dụ 3:Với giá trị nào của m, hàm số $f\left( x \right) = \frac{{ - 3{x^2} + mx - 2}}{{2x - 1}}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

    Giải
    TXĐ: $D = R\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}$
    Đạo hàm: $f'(x) = \frac{{ - 6{x^2} + 6x + 4 - m}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}$
    Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi $f'(x) \le 0,\forall x \ne \frac{1}{2}$
    $ \Leftrightarrow - 6{x^2} + 6x + 4 - m \le 0,\forall x \ne \frac{1}{2} \Leftrightarrow \Delta ' = 9 + 6(4 - m) \le 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{{11}}{2}$

    Ví dụ 4: Định m để hàm số $y = \frac{{mx + 1}}{{x + m}}$ luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

    Giải
    TXĐ: D = R\{-m}
    Đạo hàm: $y' = \frac{{{m^2} - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}$. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi $y' > 0,\forall x \ne - m \Leftrightarrow {m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow m < - 1\,\,v\,\,m > 1$

    Ví dụ 5: Tìm m để hàm số $y = \frac{1}{3}m{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 3\left( {m - 2} \right)x + \frac{1}{3}$ đồng biến trên [2; + ∞).

    Giải
    Ta có: $t = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} \Rightarrow {x^2} - 2x = {t^2} – 2$
    Hàm số đồng trên $t = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} $
    $ \leftrightarrow m\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) + 2x - 6 \ge 2 \to m \ge \frac{{6 - 2x}}{{{x^2} - 2x + 3}};\,\forall x \ge 2$ (vì x$^2$ – 2x + 3 > 0)
    Bài toán trở thành:
    Tìm m để hàm số $f\left( x \right) = \frac{{6 - 2x}}{{{x^2} - 2x + 3}} \le m;\,\forall x \ge 2$
    Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 12x + 6}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}^2}}};\,f'\left( x \right) = 0 \leftrightarrow 2{x^2} - 12x + 6 = 0 \leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt 6 $
    12-4-2014 11-03-28 AM.png
    Ta cần có: $\underbrace {\max }_{{\rm{[}}2; + \infty )}f\left( x \right) \le m \leftrightarrow m \ge \frac{2}{3}$.
     
    Chỉnh sửa cuối: 4/12/14
  2. Hoàng Minh Nguyệt

    Hoàng Minh Nguyệt Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    11/10/14
    Bài viết:
    16
    Đã được thích:
    9
    Điểm thành tích:
    3
    Giới tính:
    Nữ
    Hay ạ, còn nữa không admin?
     
  3. anhcubk

    anhcubk Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    20/1/16
    Bài viết:
    1
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nam
    Bạn có thể xem thêm những bài giảng về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bằng VIDEO BÀI GIẢNG miễn phí tại website của thaygiaongheo.
    Đây là link cho bạn: thaygiaongheo.com/dai-so-12/khao-sat-ham-so/
     

Chia sẻ trang này