Phương pháp tính thể tích khối chóp Công thức tính thể tích khối chóp: $V = \frac{1}{3}B.h$, trong đó $B$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao của khối chóp. Để tính thể tích khối chóp $S.{A_1}{A_2}…{A_n}$ ta đi tính đường cao và diện tích đáy. Khi xác định chân đường cao của hình chóp cần chú ý: • Hình chóp đều thì chân của đường cao là tâm của đáy. • Hình chóp có mặt bên $(S{A_i}{A_k})$ vuông góc với mặt đáy thì chân đường cao của tam giác $S{A_i}{A_k}$ hạ từ $S$ là chân đường cao của hình chóp. • Nếu có hai mặt phẳng đi qua đỉnh và cùng vuông góc với đáy thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó vuông góc với đáy. • Nếu các cạnh bên của hình chóp bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. • Nếu các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh là tâm đường tròn nội tiếp đáy. Các dạng toán tính thể tích khối chóp Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy Dưới đây là một cách dựng các loại khoảng cách và các loại góc thường gặp trong một hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy. Xét hình chóp $S.ABC$ trong đó $SA \bot \left( {ABC} \right)$ Dựng $AE \bot BC, (E \in BC)$, ta có: góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là $\widehat {SEA}$, $\left( {SA,\left( {SBC} \right)} \right) = \widehat {ASE}$, $AE = d\left( {SA,BC} \right).$ Dựng $AH \bot SE \left( {H \in SE} \right)$ $ \Rightarrow AH = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right).$ $\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SBA}$, $\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SCA}.$ Dựng $CF \bot AB \left( {F \in AB} \right)$ $ \Rightarrow CF \bot \left( {SAB} \right)$ $ \Rightarrow CF = d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right).$ Dựng $FK \bot SB \left( {K \in SB} \right)$, suy ra góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là $\widehat {CKF}.$ Dựng $BI \bot AC \left( {I \in AC} \right)$ suy ra $BI = d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right).$ Dựng $IJ \bot SC \left( {J \in SC} \right)$ suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $\left( {SAC} \right)$ là $\widehat {BJI}.$ Xét hình chóp $S.ABCD$ trong đó $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ Dựng $AE \bot CD \left( {E \in CD} \right)$, $AK \bot BC \left( {K \in BC} \right).$ $ \Rightarrow AK = d\left( {SA,{\rm{ }}BC} \right)$, $AE = d\left( {SA,{\rm{ }}CD} \right)$, $\left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SEA}$, $\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SKA}.$ Dựng $AH \bot SK \left( {H \in SK} \right)$, $AF \bot SE \left( {F \in SE} \right).$ $ \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right), AF \bot \left( {SCD} \right).$ $ \Rightarrow AH = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)$, $AF = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)$, $\left( {\left( {SBC} \right),\left( {SCD} \right)} \right) = \left( {AH,AF} \right).$ Dựng $CI \bot AD \left( {I \in AD} \right)$ $ \Rightarrow CI = d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right).$ Dựng $IJ \bot SD \left( {J \in SD} \right)$ $ \Rightarrow \left( {\left( {SAD} \right),\left( {SCD} \right)} \right) = \widehat {IJC}.$ $d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right)$, $\left( {\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right)} \right)$ được xác định tương tự như trên. Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SB = SC = BC = CA = a$. Hai mặt $(ABC)$ và $(ASC)$ cùng vuông góc với $(SBC)$. Tính thể tích hình chóp. Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {(ABC) \bot (SBC)}\\ {(ASC) \bot (SBC)} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow AC \bot (SBC).$ Do đó $V = \frac{1}{3}{S_{SBC}}.AC$ $ = \frac{1}{3}\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.$ Ví dụ 2: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ với $AC = a$ biết $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$ và $SB$ hợp với đáy một góc $60°$. 1. Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông. 2. Tính thể tích hình chóp. 1. $SA \bot (ABC)$ $ \Rightarrow SA \bot AB$ và $SA \bot AC.$ Mà $BC \bot AB \Rightarrow BC \bot SB.$ Vậy các mặt bên của hình chóp là tam giác vuông. 2. Ta có $SA \bot (ABC)$ $ \Rightarrow AB$ là hình chiếu của $SB$ trên $(ABC).$ Do đó $\widehat {\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = }\widehat {SAB} = {60^o}.$ $\Delta ABC$ vuông cân nên $BA = BC = \frac{a}{{\sqrt 2 }}.$ ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{{{a^2}}}{4}.$ $\Delta SAB$ vuông tại $A$ nên $ \Rightarrow SA = AB.{\mathop{\rm t}\nolimits} a{\rm{n6}}{0^o} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.$ Vậy: $V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA$ $ = \frac{1}{3}\frac{{{a^2}}}{4}\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{24}}.$ Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, biết $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$ và $(SBC)$ hợp với đáy $(ABC)$ một góc $60°$. Tính thể tích hình chóp. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, vì tam giác $ΔABC$ đều nên $AM ⊥ BC$ $⇒SA ⊥ BC$ (định lý ba đường vuông góc). Do đó: $\widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SMA} = {60^o}.$ $\Delta SAM$ vuông tại $A$ nên $ \Rightarrow SA = AM\tan {60^o} = \frac{{3a}}{2}.$ Vậy $V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}.$
