Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Nâng cao Ứng dụng tích phân tính diện tích và thể tích

Thảo luận trong 'Bài 3. Ứng dụng của tích phân' bắt đầu bởi Huy Hoàng, 20/2/16.

  1. tạ tâm đắc

    tạ tâm đắc Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    21/4/17
    Bài viết:
    5
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Bạn có một cốc thủy tinh hình trụ, đường kính trong lòng đáy cốc là 6 cm chiều cao trong lòng cốc là 10 cm đang đựng một lượng nước. Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. Tính thể tích lượng nước trong cốc.
    [​IMG]
    A. \(15\pi c{m^3}\)
    B. \(60\pi c{m^3}\)
    C. \(60c{m^3}\)
    D. \(70c{m^3}\)
     
    1. Minh Toán
      Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
      [​IMG]
      Gọi S(x) là thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x.
      Như hình vẽ ta thấy thiết liện này là tam giá vuông ABC.
      Mặt khác:
      \(\begin{array}{l}AB = BC.\tan \alpha = \sqrt {{R^2} - {x^2}} .\tan \alpha \\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}\left( {{R^2} - {x^2}} \right).\tan \alpha \\ \Rightarrow V = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 3}^3 {({3^2} - {x^2}).\frac{h}{R}dx = } \frac{1}{2}.\frac{{10}}{3}\int\limits_{ - 3}^3 {({3^2} - {x^2})dx = 60\,(c{m^3}).} \end{array}\)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  2. taanhthutl

    taanhthutl Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    19/4/17
    Bài viết:
    10
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Một ô tô đang chạy đều với vận tốc 15 (m/s) thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc \( - a\left( {m/{s^2}} \right)\). Biết ô tô chuyển động thêm được 20m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây?
    A. \(\left( {3;4} \right)\)
    B. \(\left( {4;5} \right)\)
    C. \(\left( {5;6} \right)\)
    D. \(\left( {6;7} \right)\)
     
    1. Minh Toán
      Ta có \(v\left( t \right) = 15 - a.t\left( {m/s} \right) \Rightarrow v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 15 - a.t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{15}}{a}\left( s \right)\)
      Ô tô đi được thêm được 20m, suy ra \(\int\limits_0^{\frac{a}{{15}}} {v\left( t \right)dt = 20 \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{{15}}{a}} {\left( {15 - a.t} \right)} dt = 20 \Leftrightarrow \left( {15t - \frac{1}{2}a.{t^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{15}}{a}}\\0\end{array}} \right.} = 20\) \( \Leftrightarrow 15\frac{{15}}{a} - \frac{1}{2}a.\frac{{{{15}^2}}}{{{a^2}}} = 20\) \( \Leftrightarrow \frac{{225}}{a} - \frac{{225}}{{2a}} = 20 \Leftrightarrow a = 5,625\left( {m/{s^2}} \right) \Rightarrow a \in \left( {5;6} \right).\)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  3. Ramsey999

    Ramsey999 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    24/7/16
    Bài viết:
    6
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nữ
    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường: \(y = \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|,\)\(x = - 1.\).
    A. \(S = \frac{{107}}{6}.\)
    B. \(S = \frac{{109}}{6}.\)
    C. \(S = \frac{{109}}{7}.\)
    D. \(S = \frac{{109}}{8}.\)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có:
      \(\left| {{x^2} - 4x + 3} \right| = x + 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 = x + 3\\{x^2} - 4x + 3 = - \left( {x + 3} \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right.\).
      Ta có: \(\left| {{x^2} - 4x + 3} \right| \le x + 3,\forall x \in \left[ {0;5} \right]\).
       
      Minh Toán, 6/12/17
    2. Minh Toán
      Vậy diện tích phần hình phẳng cần tính là:
      \(S = \int\limits_0^5 {\left( {x + 3 - \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|} \right){\rm{d}}x} \)
      \( = \int\limits_0^1 {\left( {x + 3 - {x^2} + 4x - 3} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^3 {\left( {x + 3 + {x^2} - 4x + 3} \right){\rm{d}}x + \int\limits_3^5 {\left( {x + 3 - {x^2} + 4x - 3} \right){\rm{d}}x} } \)
      \( = \int\limits_0^1 {\left( { - {x^2} + 5x} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^3 {\left( {{x^2} - 3x + 6} \right){\rm{d}}x + \int\limits_3^5 {\left( { - {x^2} + 5x} \right){\rm{d}}x} } \)
      \( = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{5{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 6x} \right)} \right|_1^3 + \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{5{x^2}}}{2}} \right)} \right|_3^5 = \frac{{109}}{6}.\)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  4. rangsuzirconia10

    rangsuzirconia10 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    5/12/17
    Bài viết:
    3
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nam
    Cho hai hàm số \(y = {f_1}\left( x \right)\) và \(y = {f_2}\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và có đồ thị như hình vữ bên. Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng \(x = a,x = b\). Thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay S quanh trục Ox được tính bởi công thức nào sau đây?
    [​IMG]
    A. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left( {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right)} dx\)
    B. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left( {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right)} dx\)
    C. \(V = \int\limits_a^b {\left( {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right)} dx\)
    D. \(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left( {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right)}^2}} dx\)
     
    1. Minh Toán
      Theo công thức trên ta có: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right|} dx = \pi \int\limits_a^b {\left( {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right)dx} \) (vì đồ thị hàm số \(y = {f_1}\left( x \right)\) nằm phía trên đồ thị hàm số \(y = {f_2}\left( x \right)\)).
       
      Minh Toán, 6/12/17
  5. rangxanh99

    rangxanh99 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    16/6/17
    Bài viết:
    3
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + m,\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right),\) với m là tham số thực. Giả sử \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ. Gọi \({S_1};{S_2};{S_3}\) là diện tích các miền gạch chéo như hình vẽ. Tìm m để \({S_1} + {S_2} = {S_3}.\)
    [​IMG]
    A. \(m = - \frac{5}{2}\)
    B. \(m = - \frac{5}{4}\)
    C. \(m = \frac{5}{2}\)
    D. \(m = \frac{5}{4}\)
     
    1. Minh Toán
      Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + m\)với trục hoành là:
      \({x^4} - 3{x^2} + m = 0\)
      Đặt \(t = {x^2},t > 0\) ta có: \({t^2} - 3t + m = 0(2)\)
      \(({C_m})\) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \((2)\) có hai nghiệm dương phân biệt:
      \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 4m > 0\\3 > 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \frac{9}{4}\)
      Đến đây ta có thể suy ra D là phương án đúng.
      Nhận xét: Trong trường hợp bài này người ra đề đưa ra 4 phương án A, B, C, D. Khi sử dụng ngay dữ kiến đầu tiên ta có thể chọn được phương án đúng.
      Nếu trường hợp đến đấy vẫn chưa chọn được phương án đúng, ta xét tiếp như sau.
       
      Minh Toán, 6/12/17
    2. Minh Toán
      Ta có: \(y = f(x) = {x^4} - 3{x^2} + m\)là hàm số chẵn nên ta có: \({S_1} + {S_2} = {S_3} \Rightarrow {S_2} = \frac{1}{2}{S_3}\)
      Gọi \({x_1} < {x_2} < {x_3} < {x_4}\) là 4 hoành độ giao điểm của \(({C_m})\) với trục hoành suy ra:
      \({S_2} = \frac{1}{2}{S_3} \Rightarrow \int\limits_{{x_3}}^{{x_4}} { - f(x)dx} = \int\limits_0^{{x_3}} {f(x)dx} \)
      Từ đó ta có thể giải và tìm được m.
      Tuy nhiên với bài toán này các nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\) tính theo m có công thức rất phức tạp, không phù hợp với một bài trắc nghiệm. Có lẻ vì vậy tác giả đã đơn giản hóa bài toán từ việc đưa ra 4 phương án A, B, C, D nhứ trên. Bản chất bài toán chỉ còn là: “Tìm tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + m\)cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt”.
       
      Minh Toán, 6/12/17
  6. vetnang082015

    vetnang082015 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    20/5/16
    Bài viết:
    44
    Đã được thích:
    2
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: Parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - 2x + 2\), tiếp tuyến của (P) tại \(M\left( {3;5} \right)\) và trục Oy. Tính diện tích của hình (H).
    A. 18 (đvdt)
    B. 9 (đvdt)
    C. 15(đvdt)
    D. 12(đvdt)
     
    1. Minh Toán
      Gọi \(\Delta \) là PTTT của (P) tại \(M\left( {3;5} \right)\)\( \Rightarrow \Delta :y = 4x - 7\)
      Suy ra diện tích hình (H) bằng \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x + 2 - 4x + 7} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)} dx = 9\) (đvdt)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  7. xinchaoae12ab

    xinchaoae12ab Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    8/6/17
    Bài viết:
    8
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nữ
    Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục Ox, hai đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\) quanh trục Ox.
    A. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} .\)
    B. \(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} .\)
    C. \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)d{\rm{x}}} .\)
    D. \(V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)d{\rm{x}}} .\)
     
    1. Minh Toán
      \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)d{\rm{x}}.} \)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  8. decal in tem nhan

    decal in tem nhan Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    22/4/17
    Bài viết:
    24
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Người ta dựng một cái lều vải (H) có dạng hình chóp lục giác đều như hình vẽ bên. Đáy của (H) là một hình lục giác đều có độ dài cạnh là 3m. Chiều cao \(SO = 6m\) (SO vuông góc với mặt đáy). Các cạnh bên của (H) là các sợi \({c_1},{c_2},{c_3},{c_4},{c_5},{c_6}\) nằm trên các parabol có trục đối xứng song song với SO. Giả sử giao tuyến (nếu có) của (H) với mặt phẳng (P) vuông góc với SO và một lục giác đều và khi (P) đi qua trung điểm của SO thì lục giác đều cạnh bằng 1. Tính thể tích không gian bên trong cái lều (H) đó.
    [​IMG]
    A. \(\frac{{135\sqrt 3 }}{5}\,\,\left( {{m^3}} \right).\)
    B. \(\frac{{96\sqrt 3 }}{5}\,\,\left( {{m^3}} \right).\)
    C. \(\frac{{135\sqrt 3 }}{4}\,\,\left( {{m^3}} \right).\)
    D. \(\frac{{135\sqrt 3 }}{8}\,\,\left( {{m^3}} \right).\)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Phương trình của parapol có dang: \(y = a{x^2} + bx + c\,\,(a \ne 0)\)
      Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có parabol cần tìm đi qua 3 điểm có tọa độ lần lượt là A(0;6), B(1;3), C(3;0) nên có phương trình là: \(y = \frac{1}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 6\)
      Theo hình vẽ ta có cạnh của thiết diện lục giác là BM.
       
      Minh Toán, 6/12/17
    2. Minh Toán
      Đặt t=Om thì ta có:
      \(\frac{1}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 6 = t \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} = 2t + \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = \frac{7}{2} \pm \sqrt {2t + \frac{1}{4}} \)
      \( \Rightarrow BM = \frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} \)
      Khi đó, diện tích của thiết diện lục giác bằng: \(S(t) = 6.\frac{{B{M^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}{\left( {\frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} } \right)^2}\) với \(t \in \left[ {0;6} \right].\)
      Vậy thể tích túp liều là: \(V = \int\limits_0^6 {S(t)dt} = \int\limits_0^6 {\frac{{3\sqrt 3 }}{2}{{\left( {\frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} } \right)}^2}dt} = \frac{{135\sqrt 3 }}{8}.\)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  9. denamokiep2846

    denamokiep2846 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    13/7/17
    Bài viết:
    16
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị của hàm số \({f'}\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;6} \right]\) như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
    [​IMG]
    A. \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right).\)
    B. \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right).\)
    C. \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( 6 \right).\)
    D. \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right).\)
     
    1. Minh Toán
      Từ đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) ta lập được bảng biến thiên như sau:
      [​IMG]
      Vậy hàm số chỉ có thể đạt giá trị lớn nhất tại x=-1 hoặc x=6.
      Ta có:
      \({S_1} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {f'\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} = \int\limits_{ - 1}^2 {f'\left( x \right)d{\rm{x}}} = f\left( { - 1} \right) - f\left( 2 \right) = {S_1} \Rightarrow f\left( { - 1} \right) = {S_1} + f\left( 2 \right)\)
      \({S_2} = \int\limits_2^6 {\left| {f'\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} = \int\limits_2^6 {f'\left( x \right)d{\rm{x}}} = f\left( 6 \right) - f\left( 2 \right) = {S_2} \Rightarrow f\left( 6 \right) = {S_2} + f\left( 2 \right).\)
      Dựa vào hình vẽ ta thấy \({S_2} > {S_1} \Rightarrow f\left( 6 \right) > f\left( { - 1} \right).\)
      Vậy: \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( 6 \right).\)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  10. denchieusang247

    denchieusang247 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    24/7/17
    Bài viết:
    7
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Bên trong hình vuông cạnh a, dựng hình sao cho bốn cạnh đều như hình vẽ bên (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình). Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quay trục Ox.
    [​IMG]
    A. \(\frac{{5\pi }}{{48}}{a^3}\)
    B. \(\frac{{5\pi }}{{16}}{a^3}\)
    C. \(\frac{\pi }{6}{a^3}\)
    D. \(\frac{\pi }{8}{a^3}\)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Gọi V là thể tích khối tròn xoay cần tính.
      Gọi \({V_1}\) là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng được tô màu trong hình bên quanh trục hoành.
      Khi đó \(V = 2{V_1}\)
      Ta có \({V_1} = \pi \int\limits_0^{\frac{a}{2}} {{{\left( {\frac{x}{2} + \frac{a}{4}} \right)}^2}} dx - \pi \int\limits_{\frac{a}{4}}^{\frac{a}{2}} {{{\left( {2x - \frac{a}{2}} \right)}^2}} dx = \frac{{5\pi }}{{96}}{a^3}\)
      Suy ra \(V = 2{V_1} = \frac{{5\pi }}{{48}}{a^3}\) .
       
      Minh Toán, 6/12/17
  11. dentrangtrimacani

    dentrangtrimacani Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    22/12/16
    Bài viết:
    9
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật (H) có một cạnh nằm trên trục hoành, và có hai đỉnh trên một đường chéo là \(A\left( { - 1;0} \right)\) và \(B\left( {a;\sqrt a } \right)\), với \(a > 0\). Biết rằng đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \) chia hình (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau, tìm a.
    A. \(a = 9\)
    B. \(a = 4\)
    C. \(a = \frac{1}{2}\)
    D. \(a = 3\)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Diện tích (H) bằng \(S = \sqrt a \left( {a + 1} \right)\)
      Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x ,y = 0,x = 0,x = a\) bằng \({S_1} = \int\limits_0^a {\sqrt x } dx = \frac{2}{3}\sqrt {{a^3}} \)
      Vì \({S_1} = \frac{1}{2}S \Rightarrow \frac{2}{3}\sqrt {{a^3}} = \frac{1}{2}\sqrt a \left( {a + 1} \right) \Rightarrow a = 3\)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  12. Bá thắng

    Bá thắng Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    28/9/17
    Bài viết:
    22
    Đã được thích:
    1
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nam
    Một cái chuông có dạng như hình vẽ. Giả sử khi cắt chuông bởi mặt phẳng qua trục của chuông, được thiết diện có đường viền là một phần parabol (hình vẽ). Biết chuông cao 4m, và bán kính của miệng chuông là \(2\sqrt 2 \). Tính thể tích chuông?
    [​IMG]
    A. \(6\pi \)
    B. \(12\pi \)
    C. \(2{\pi ^3}\)
    D. \(16\pi \)
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Xét hệ trục như hình vẽ, dễ thấy parabol đi qua ba điểm \(\left( {0;0} \right),\left( {4;2\sqrt 2 } \right),\left( {4; - 2\sqrt 2 } \right)\) nên có phương trình \(x = \frac{{{y^2}}}{2}\).
      Thể tích của chuông là thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng \(y = \sqrt {2 x},x = 0,x = 4\) quay quanh trục Ox.
      Ta có \(V = \pi \int\limits_0^4 {2xdx} = \left. {\left( {\pi {x^2}} \right)} \right|_0^4 = 16\pi \)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  13. Bá thắng

    Bá thắng Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    28/9/17
    Bài viết:
    22
    Đã được thích:
    1
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nam
    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = a{{\rm{x}}^3}\,\,\left( {a > 0} \right),\) trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = k\,\,\left( {k > 0} \right)\) bằng \(\frac{{17{\rm{a}}}}{4}.\) Tìm k.
    A. \(k = 1.\)
    B. \(k = \frac{1}{4}.\)
    C. \(k = \frac{1}{2}.\)
    D. \(k = 2.\)
     
    1. Minh Toán
      Ta có: \(S = \int\limits_{ - 1}^k {\left| {a{x^3}} \right|dx} = a\left( {\int\limits_{ - 1}^0 { - {x^3}dx} + \int\limits_0^k {{x^3}dx} } \right) = a\left( {\frac{1}{4} + \frac{{{k^4}}}{4}} \right) = \frac{{17a}}{4} \Rightarrow k = 2.\)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  14. baaobaao101095

    baaobaao101095 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    2/10/17
    Bài viết:
    22
    Đã được thích:
    2
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho mặt phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,y = x - 2\)và trục hoành. Tìm công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình (H) quay quanh trục hoành.
    [​IMG]
    A. \(V = \pi \left[ {\int\limits_0^4 {xdx} + \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\)
    B. \(V = \pi \left[ {\int\limits_0^2 {xdx} + \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\)
    C. \(V = \pi \left[ {\int\limits_0^4 {xdx} - \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\)
    D. \(V = \pi \left[ {\int\limits_0^2 {xdx} - \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\)
     
    1. Minh Toán
      Ta có: \(\sqrt x > x - 2,\forall x \in \left[ {0;4} \right] \Rightarrow x > {(x - 2)^2},\forall x \in \left[ {0;4} \right]\)
      Vậy: \(V = \pi \int\limits_0^4 {\left( {x - {{(x - 2)}^2}} \right)dx} = \pi \left[ {\int\limits_0^4 {xdx} - \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  15. chacavungtau2017

    chacavungtau2017 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    6/9/17
    Bài viết:
    29
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng \(4\sqrt 5 \left( m \right)\). Trên đó người thiết kế hai phần để tròng hoa và trồng cỏ Nhật Bản. Phần trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường trong (phần tô màu) cách nhau một khoảng bằng 4m, phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 200.000 đồng/1m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)
    [​IMG]
    A. 3.895.000 đồng
    B. 1.948.000 đồng
    C. 2.388.000 đồng
    D. 1.194.000 đồng
     
    1. Minh Toán
      [​IMG]
      Ta có: Tung độ các điểm \(A,\,{\bf{B}}\) là: \({y_A} = {y_B} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2} - {2^2}} = 4\)
      Parabol đi qua các điểm O(0;0), A(-2;4), B(2;4) nên có phương trình là: \(y = {x^2}.\)
      Phương trình của đường tròn tâm O(0;0), đường kính \(4\sqrt 5 \) là: \({x^2} + {y^2} = {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} \Rightarrow y = \sqrt {20 - {x^2}} \)
      Vậy: S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {20 - {x^2}} ,y = {x^2},x = - 2,x = 2\) được tô màu trong hình bên, S2 là diện tích nửa hình tròn có bán kính bằng \(2\sqrt 5 \).
      \( \Rightarrow S = \frac{1}{2}\pi {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} - \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {20 - {x^2}} - {x^2}} \right)dx} \).
      Suy ra \(S \approx 19,476\left( {{m^2}} \right)\)
      Chi phí sẽ bằng 200.000.S=3.895.000 đồng
       
      Minh Toán, 6/12/17
  16. chaoaenhe

    chaoaenhe Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    13/7/17
    Bài viết:
    18
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Một ô tô đang chuyển động đều với vân tốc \(a\left( {m/s} \right)\) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = - 5t + a\left( {m/s} \right)\), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi vận tốc ban đầu a của ô tô là bao nhiêu, biết từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô di chuyển được 40 (m).
    A. 10 (m/s)
    B. 20 (m/s)
    C. 40 (m/s)
    D. 25 (m/s)
     
    1. Minh Toán
      Ô tô dừng hẳn khi \(v\left( t \right) = - 5t + a = 0 \Rightarrow t = \frac{a}{5}\left( s \right)\)
      Theo đề bài ta có \(S\left( t \right) = \int\limits_0^{\frac{a}{5}} {\left( { - 5t + a} \right)} dt = 40 \Rightarrow \left( { - \frac{5}{2}{t^2} + at} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{5}}\\0\end{array} = 40} \right.\)
      \( \Leftrightarrow - \frac{{{a^2}}}{{10}} + \frac{{{a^2}}}{5} = 40 \Rightarrow a = 20\left( {m/s} \right).\)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  17. CHAT

    CHAT Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    12/9/17
    Bài viết:
    18
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nam
    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: \(y = 1,y = \frac{1}{9}\left( {6{x^2} - {x^4}} \right).\)
    A. \(S = \frac{{3\sqrt 3 }}{5}\)
    B. \(S = \sqrt 3 \)
    C. \(S = \frac{{4\sqrt 3 }}{{15}}\)
    D. \(S = \frac{{16\sqrt 3 }}{{15}}\)
     
    1. Minh Toán
      Phương trình hoành độ giao điểm (C) và (d) là: \(\frac{1}{9}\left( {6{x^2} - {x^4}} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^4} - 6{x^2} + 9 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 \)
      Khi đó, diện tích S cần tính là: \(S = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left| {1 - \frac{1}{9}\left( {6{x^2} - {x^4}} \right)} \right|} dx = \frac{1}{9}.\int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {{{\left( {{x^2} - 3} \right)}^2}dx} \Rightarrow S = \frac{{16\sqrt 3 }}{{15}}.\)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  18. chan chan

    chan chan Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    6/10/17
    Bài viết:
    25
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\); tiệm cận ngang và hai đường thẳng \(x = 3;x = e + 2\) được tính bằng công thức nào sau đây?
    A. \(S = \int\limits_3^{e + 2} {\frac{{2x + 1}}{{x - 2}}dx} \)
    B. \(S = \int\limits_3^{e + 2} {\frac{5}{{x - 2}}dx} \)
    C. \(S = \left. {\ln \left| {x - 2} \right|} \right|_3^{e + 2}\)
    D. \(S = 5 - e\)
     
    1. Minh Toán
      Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) nhận đường thẳng \(y = 2\) làm tiệm ngang.
      Ta có diện tích hình phẳng được tính bởi công thức:
      \(S = \int\limits_3^{e + 2} {\left| {\frac{{2x + 1}}{{x - 2}} - 2} \right|dx} = \int\limits_3^{e + 2} {\left| {\frac{5}{{x - 2}}} \right|dx} = \int\limits_3^{e + 2} {\left( {\frac{5}{{x - 2}}} \right)dx} \)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  19. chatvanchat99

    chatvanchat99 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    8/9/17
    Bài viết:
    16
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nữ
    Thể tích V của vật tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 1 - {x^2},y = 0\) quay quanh trục Ox có kết quả là \(V = \frac{{a\pi }}{b}\) (với \(a,b \in \mathbb{Z};b \ne 0;\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính a + b
    A. 27
    B. 25
    C. 31
    D. 11
     
    1. Minh Toán
      Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị là \(1 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\).
      Suy ra thể tích cần tính bằng \(V = \pi .\int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}dx} = \frac{{16\pi }}{{15}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 16\\b = 15\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 31\).
       
      Minh Toán, 6/12/17
  20. Châu chấu

    Châu chấu Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    29/10/17
    Bài viết:
    13
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nữ
    [​IMG]
    Để trang trí tòa nhà người ta vẽ lên tường một hình như sau: trên mỗi cạnh hình lục giác đều có cạnh là 2dm là một cánh hoa hình parabol mà đỉnh parabol (P) cách các cạnh lục giác là 3dm và nằm phía ngoài lục giác; 2 đầu mút của cạnh cũng là 2 điểm giới hạn của đường (P) đó. Hãy tính diện tích hình trên (kể cả lục giác).
    A. \(8\sqrt 3 + 24\left( {d{m^2}} \right)\)
    B. \(8\sqrt 3 + 12\left( {d{m^2}} \right)\)
    C. \(6\sqrt 3 + 12\left( {d{m^2}} \right)\)
    D. \(6\sqrt 3 + 24\left( {d{m^2}} \right)\)
     
    1. Minh Toán
      Xét cánh hoa hình parabol (P) đi qua các điểm \(A\left( {0;3} \right),\,\,B\left( { - 1;0} \right),\,\,C\left( {1;0} \right)\) với A là đỉnh của (P) và B, C là hai đầu mút thỏa mãn BC = 2 là độ dài cạnh của hình lục giác đều
      Gọi phương trình parabol (P) là \(y = a{x^2} + bx + c\), điểm \(A,\,B,\,C \in \left( P \right) \Rightarrow \left( P \right):y = 3 - 3{x^2}\)
      Diện tích cánh hoa được giới hạn bởi \(y = 3 - 3{x^2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,\,x = - 1\) là
      \({S_0} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {3 - 3{x^2}} \right|dx} = 3\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - {x^2}} \right)dx} = 3\left( {x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {\mathop {}\limits_{ - 1}^1 = 4} \right.\)
      “Diện tích lục giác đều cạnh a bằng 6 lần diện tích tam giác đề cạnh a”
      Vậy diện tích cần tìm là tổng diện tích cảu sáu cánh hoa ứng với sáu cạnh của lục giác cộng với diện tích của lục giác đều và bằng \(S = 6.4 + 6.\frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = 6\sqrt 3 + 24\,d{m^2}.\)
       
      Minh Toán, 6/12/17

Chia sẻ trang này