Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

ứng dụng tính đơn điều của hàm số để chứng minh bất đẳng thức

Thảo luận trong 'Bài 5. Khảo sát sát sự biến thiên hàm số' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 31/10/17.

  1. Tăng Giáp

    Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    16/11/14
    Bài viết:
    4,614
    Đã được thích:
    282
    Điểm thành tích:
    83
    Giới tính:
    Nam
    Phương pháp: Dùng đạo hàm chúng ta có thể xét được tính đồng biến và nghịch biến của một hàm số trên một miền nào đó, vì vậy có thể ứng dụng để chứng minh khá nhiều bất đẳng thức.

    Cụ thể: Xét hàm số f(x) trên đoạn [a; b],
    • Nếu f’(x) $ \ge 0, \forall x \in [a;b] \Leftrightarrow $hàm số f(x) đồng biến trên [a; b] → f(x) ≥ f(a) hoặc f(x) ≤ f(b).
    • Nếu f’(x) $ \le 0, \forall x \in [a;b] \Leftrightarrow $hàm số f(x) đồng biến trên [a; b] → f(x) ≥ f(a) hoặc f(x) ≤ f(b).
    Bài Tập Áp Dụng

    Bài 1.
    Cho 0 < x < π/2. Chứng minh rằng:
    a. sinx < x.
    b. tanx > x.
    Giải​
    a. Xét hàm số f(x) = sinx – x với 0 < x < π/2.
    Đạo hàm: f’(x) = cosx – 1 < 0 với 0 < x < π/2 ↔ hàm số f(x) nghịch biến trên (0; π/2)
    Do đó: f(x) < f(0) với 0 < x < π/2 ↔ sinx – x < 0 với 0 < x < π/2 ↔ sinx < x với 0 < x < π/2 (đpcm)

    b. Xét hàm số f(x) = tanx – x với 0 < x < π/2.
    Đạo hàm: f’(x) = $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ – 1 = tan2x > 0 với 0 < x < π/2 ↔ hàm số f(x) đồng biến trên (0; π/2)
    Do đó: f(x) > f(0) với 0 < x < π/2 ↔ tanx – x > 0 với 0 < x < π/2 ↔ tanx > x với 0 < x < π/2 (đpcm)

    Bài 2: Chứng minh rằng: $x - \frac{{{x^3}}}{6} < \sin x$ với x > 0.
    Giải​
    Xét hàm số f(x) = $x - \frac{{{x^3}}}{6} - \sin x$ với x > 0.
    Đạo hàm: f’(x) = $x - \frac{{{x^3}}}{6} - \sin x$;
    f”(x) = -x + sinx; f’”(x) = -1 + cosx < 0 với x > 0
    <=> f”(x) nghịch biến với x > 0
    => f”(x) < f ‘’(0) với x > 0 <=> f”(x) < 0 với x > 0 <=> f’(x) nghịch biến với x > 0
    => f’(x) < f ‘(0) với x > 0<=> f’(x) < 0 với x > 0 <=> f(x) nghịch biến với x > 0
    => f(x) < f(0) với x > 0<=> $x - \frac{{{x^3}}}{6} - \sin x < 0$ với x > 0 $ \Leftrightarrow x - \frac{{{x^3}}}{6} < \sin x$với x > 0.

    Lưu ý: Đôi khi chúng ta không thể khẳng định được ngay rằng f’(x) $ \ge 0, \forall x \in [a;b]$ hoặc
    f’(x) $ \le 0, \forall x \in [a;b]$.
    Trong các trường hợp như vậy, một thủ thuật thông thường được áp dụng là chúng ta liên tiếp tính đạo hàm để hạ bậc dần đa thức ẩn x.

    Bài 3: Chứng minh rằng: sin20$^0$ > 1/3
    Giải​
    Áp dụng công thức: sin3x = 3sinx – 4sin$^3$x
    Ta có: sin60$^0$ = 3sin20$^0$ -4sin$^3$20$^0$
    Do đó sin20$^0$ là nghiệm của phương trình $\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3x - 4{x^3}$
    Xét hàm số f(x) = 3x – 4x$^3$
    Đạo hàm: f’(x) = 3 – 12x$^2$
    Bảng biến thiên:
    tính đơn điệu của hàm số.png
     

    Bình Luận Bằng Facebook

  2. Tăng Giáp

    Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    16/11/14
    Bài viết:
    4,614
    Đã được thích:
    282
    Điểm thành tích:
    83
    Giới tính:
    Nam
    BÀI TẬP TỰ LUYỆN
    Câu 1:
    Tìm a hàm số: $y = - \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + (2a + 1)x - 3a + 2$ luôn nghịch biến trên R.
    ĐS: $a \le - \frac{5}{2}$

    Câu 2:Tìm m hàm số: $y = {x^3} - 3(2m + 1){x^2} + (12m + 5)x + 2$ đồng biến trên $\left( {2; + \infty } \right)$.
    ĐS: $m \le \frac{5}{{12}}$

    câu 3: Cho hàm số $y = {x^3} - (m + 1){x^2} - ({m^2} - 3m + 2)x + 2m(2m - 1)$.Tìm m để hàm số đồng biến khi x ≥ 2 ĐS: - 2 ≤ m ≤ 3
    Câu 4: Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + (m + 1)x + 4m$. Tìm m để hs nghịch biến trên (- 1; 1)
    ĐS: m ≤ - 10

    Câu 5: Cho $y = \frac{{mx - 2}}{{x + m - 3}}$ . Tìm m để hs luôn nghịch biến trong miền xác định của nó.
    Đáp số: 1 < m < 2

    Câu 6: Cho $y = \frac{{m{x^2} - (m + 2)x + {m^2} - 2m + 2}}{{x - 1}}$. Tìm m để hs luôn đồng biến trên TXĐ của nó.
    Đáp số: 0 < m < 2

    Câu 7: Tìm m để hàm số luôn đồng biến trong (0; ∞): $y = \frac{{{x^2} + 2(m + 1)x + 2}}{{x + 1}}$
    ĐS m ≥ 0

    Câu 8: Tìm m hàm số sau đồng biến trong (0; + ∞): $y = \frac{{{x^2} - 2mx + m + 2}}{{x - m}}$
    ĐS: $m \le \frac{{3 - \sqrt {17} }}{4}$ hoặc $m \ge \frac{{3 + \sqrt {17} }}{4}$

    Câu 9. Chứng minh với mọi x > 0 ta có: ${e^x} > 1 + x + \frac{{{x^2}}}{2}$
    HD:xét hàm số : $f(x) = {e^x} - 1 - x - \frac{{{x^2}}}{2}$ (đồng biến mọi x > 0)

    Câu 10 Chứng minh với: 0 < x < π/2 chứng minh tanx > x
    HD:xét hàm số :f(x) = tan(x) – x; f’(x) = tan$^2$x
     
  3. khanh2511

    khanh2511 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    22/9/17
    Bài viết:
    3
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nữ
    Cám ơn thầy
     
    Last edited by a moderator: 10/11/17

Chia sẻ trang này