Xác định hệ số trong khai triển $P(x) = {\left( {a{x^t} + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n}.$

Phương pháp: Xác định hệ số của số hạng chứa ${x^m}$ trong khai triển $P(x) = {\left( {a{x^t} + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n}.$
Ta làm như sau: $P(x) = {\left( {a{x^t} + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {\left( {a{x^t}} \right)^{n – k}}{\left( {b{x^p} + c{x^q}} \right)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {\sum\limits_{i = 0}^k {C_n^k} } {a^{n – k}}{x^{t(n – k)}}C_k^i{b^{k – i}}{c^i}{x^{p(k – i) + qi}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {\sum\limits_{i = 0}^k {C_n^k} } C_k^i{a^{n – k}}{b^{k – i}}{c^i}{x^{t(n – k) + p(k – i) + qi}}$ (do ${\left( {b{x^p} + c{x^q}} \right)^k}$ $ = \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {\left( {b{x^p}} \right)^{k – i}}{\left( {c{x^q}} \right)^i}$ $ = \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {b^{k – i}}{c^i}{x^{p(k – i) + qi}}$).
Suy ra số hạng tổng quát của khai triển là: $C_n^kC_i^k{a^{n – k}}{b^{k – i}}{c^i}{x^{t(n – k) + p(k – i) + qi}}.$
Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của ${x^m}.$

Bài toán 1: Hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển $P(x) = {\left( {3{x^2} + x + 1} \right)^{10}}$ là:
A. $1695.$
B. $1485.$
C. $405.$
D. $360.$

Chọn A.
Ta có số hạng tổng quát của khai triển là: $C_{10}^kC_k^i{3^{10 – k}}{1^{k – i}}{1^i}{x^{2(10 – k) + 1(k – i) + 0i}}$ $ = C_{10}^kC_k^i{3^{10 – k}}{x^{20 – k – i}}.$
Số hạng chứa ${x^4}$ tương ứng với $20 – k – i = 4$ $ \Rightarrow k = 16 – i.$
Với $0 \le k \le 10$, $0 \le i \le k$ nên ta có $(i;k) \in \{ (6;10);(7;9);(8;8)\} .$
Vậy hệ số của ${x^4}$ trong khai triển $P(x) = {\left( {3{x^2} + x + 1} \right)^{10}}$ là: $C_{10}^{10}C_{10}^6{3^0} + C_{10}^9C_9^73 + C_{10}^8C_8^8{3^2} = 1695.$
Nhận xét: Chú ý khi ra nhiều trường hợp của $(i, k)$ thì ta cộng hệ số các trường hợp với nhau để có kết quả.

Bài toán 2: Tìm số hạng chứa ${x^{13}}$ trong khai triển thành các đa thức của ${\left( {x + {x^2} + {x^3}} \right)^{10}}$ là:
A. $135.$
B. $45.$
C. $135x^{13}.$
D. $45x^{13}.$

Chọn C.
Ta có số hạng tổng quát của khai triển là: $C_{10}^kC_k^i{1^{10 – k}}{1^{k – i}}{1^i}{x^{10 – k + 2(k – i) + 3i}}$ $ = C_{10}^kC_k^i{x^{10 + k + i}}.$
Số hạng chứa ${x^{13}}$ tương ứng với $10 + k + i = 13$ $ \Rightarrow k = 3 – i.$
Với $0 \le k \le 10$, $0 \le i \le k$ nên ta có $(i;k) \in \{ (0;3);(1;2)\} .$
Vậy hệ số của ${x^{13}}$ trong khai triển $P(x) = {\left( {x + {x^2} + {x^3}} \right)^{10}}$ là: $C_{10}^3C_3^0 + C_{10}^2C_2^1 = 210.$

B. Bài tập rèn luyện.
Bài toán 1. Trong khai triển ${\left( {8{a^2} – \frac{1}{2}b} \right)^6}$, hệ số của số hạng chứa ${a^9}{b^3}$ là:
A. $ – 80{a^9}{b^3}.$
B. $ – 64{a^9}{b^3}.$
C. $ – 1280{a^9}{b^3}.$
D. $60{a^6}{b^4}.$

Chọn C.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${T_{k + 1}} = {( – 1)^k}C_6^k{8^{6 – k}}{a^{12 – 2k}}{2^{ – k}}{b^k}.$
Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k = 3.$
Khi đó hệ số của số hạng chứa ${a^9}{b^3}$ là: $ – 1280{a^9}{b^3}.$

Bài toán 2: Hệ số của ${x^3}{y^3}$ trong khai triển ${(1 + x)^6}{(1 + y)^6}$ là:
A. $20.$
B. $800.$
C. $36.$
D. $400.$

Chọn D.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${T_{k + 1}} = C_6^k{x^k}.C_6^m{y^m}.$
Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k = m = 3.$
Khi đó hệ số của số hạng chứa ${x^3}{y^3}$ là $C_6^3C_6^3 = 400.$

Bài toán 3: Xác định hệ số của ${x^8}$ trong các khai triển sau: $f(x) = 8{(1 + 8x)^8}$ $ – 9{(1 + 9x)^9} + 10{(1 + 10x)^{10}}.$
A. $8.C_8^0{.8^8} – C_9^1{.9^8} + 10.C_{10}^8{.10^8}.$
B. $C_8^0{.8^8} – C_{9.}^1{.9^8} + C_{10}^8{.10^8}.$
C. $C_8^0{.8^8} – 9.C_9^1{.9^8} + 10.C_{10}^8{.10^8}.$
D. $8.C_8^0{.8^8} – 9.C_9^1{9^8} + 10.C_{10}^8{.10^8}.$

Chọn D.
Ta có:
${(1 + 8x)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} {8^{8 – k}}{x^{8 – k}}.$
${(1 + 9x)^9} = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {9^{9 – k}}{x^{9 – k}}.$
${(1 + 10x)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {10^{10 – k}}{x^{10 – k}}.$
Nên hệ số chứa ${x^8}$ là: $8.C_8^0{.8^8} – 9.C_9^1{.9^8} + 10.C_{10}^8{.10^8}.$

Bài toán 4: Tìm hệ số của ${x^7}$ trong khai triển thành đa thức của ${(2 – 3x)^{2n}}$, biết $n$ là số nguyên dương thỏa mãn: $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = 1024.$
A. $2099529.$
B. $-2099520.$
C. $-2099529.$
D. $2099520.$

Chọn B.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sum\limits_{k = 0}^{2n + 1} {C_{2n + 1}^k} = {2^{2n + 1}}}\\
{\sum\limits_{i = 0}^n {C_{2n + 1}^{2i + 1}} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_{2n + 1}^{2i}} }
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \sum\limits_{i = 0}^n {C_{2n + 1}^{2i + 1}} = {2^{2n}} = 1024$ $ \Rightarrow n = 5.$
Suy ra ${(2 – 3x)^{2n}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{( – 3)^k}{x^k}.$
Hệ số của ${x^7}$ là $C_{10}^7{.2^3}.{( – 3)^7} = – 2099520.$

Bài toán 5: Tìm hệ số của ${x^5}$ trong khai triển đa thức của: $x{(1 – 2x)^5} + {x^2}{(1 + 3x)^{10}}.$
A. $3320.$
B. $2130.$
C. $3210.$
D. $1313.$

Chọn A.
Đặt $f(x) = x{(1 – 2x)^5} + {x^2}{(1 + 3x)^{10}}.$
Ta có: $f(x) = x\sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {( – 2)^k}{x^k} + {x^2}\sum\limits_{i = 0}^{10} {C_{10}^i} {(3x)^i}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {( – 2)^k}{x^{k + 1}} + \sum\limits_{i = 0}^{10} {C_{10}^i} {3^i}{x^{i + 2}}.$
Vậy hệ số của ${x^5}$ trong khai triển đa thức của $f(x)$ ứng với $k = 4$ và $i = 3$ là: $C_5^4{( – 2)^4} + C_{10}^3{3^3} = 3320.$

Bài toán 6: Với $n$ là số nguyên dương, gọi ${a_{3n – 3}}$ là hệ số của ${x^{3n – 3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left( {{x^2} + 1} \right)^n}{(x + 2)^n}$. Tìm $n$ để ${a_{3n – 3}} = 26n.$
A. $n=3.$
B. $n=4.$
C. $n=5.$
D. $n=2.$

Chọn C.
Cách 1: Ta có:
${\left( {{x^2} + 1} \right)^n}$ $ = C_n^0{x^{2n}} + C_n^1{x^{2n – 2}} + C_n^2{x^{2n – 4}} + \ldots + C_n^n.$
${(x + 2)^n}$ $ = C_n^0{x^n} + 2C_n^1{x^{n – 1}} + {2^2}C_n^2{x^{n – 2}} + \ldots + {2^n}C_n^n.$
Dễ dàng kiểm tra $n = 1$, $n = 2$ không thoả mãn điều kiện bài toán.
Với $n ≥ 3$ thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích ${x^{3n – 3}}$ $ = {x^{2n}}{x^{n – 3}}$ $ = {x^{2n – 2}}{x^{n – 1}}.$
Do đó hệ số của ${x^{3n – 3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left( {{x^2} + 1} \right)^n}{(x + 2)^n}$ là: ${a_{3n – 3}} = {2^3}C_n^0C_n^3 + 2C_n^1C_n^1.$
Suy ra ${a_{3n – 3}} = 26n$ $ \Leftrightarrow \frac{{2n\left( {2{n^2} – 3n + 4} \right)}}{3} = 26n$ $ \Leftrightarrow n = – \frac{7}{2}$ hoặc $n = 5.$
Vậy $n = 5$ là giá trị cần tìm.
Cách 2:
Ta có: ${\left( {{x^2} + 1} \right)^n}{(x + 2)^n}$ $ = {x^{3n}}{\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^n}{\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)^n}$ $ = {x^{3n}}\sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i} {\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^i}\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {\left( {\frac{2}{x}} \right)^k}$ $ = {x^{3n}}\left[ {\sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i} {x^{ – 2i}}\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {2^k}{x^{ – k}}} \right].$
Trong khai triển trên, luỹ thừa của $x$ là $3n – 3$ khi $ – 2i – k = – 3$ $ \Leftrightarrow 2i + k = 3.$
Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là $i = 0$, $k = 3$ hoặc $i = 1$, $k = 1$ (vì $i,k$ nguyên).
Hệ số của ${x^{3n – 3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left( {{x^2} + 1} \right)^n}{(x + 2)^n}$ là: ${a_{3n – 3}} = C_n^0C_n^3{2^3} + C_n^1C_n^12.$
Do đó: ${a_{3n – 3}} = 26n$ $ \Leftrightarrow \frac{{2n\left( {2{n^2} – 3n + 4} \right)}}{3} = 26n$ $ \Leftrightarrow n = – \frac{7}{2}$ hoặc $n = 5.$
Vậy $n = 5$ là giá trị cần tìm.

Bài toán 7: Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^{26}}$ trong khai triển nhị thức Newton của ${\left( {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^n}$, biết $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ = {2^{20}} – 1.$
A. $210.$
B. $213.$
C. $414.$
D. $213.$

Chọn A.
Do $C_{2n + 1}^k = C_{2n + 1}^{2n + 1 – k}$, $\forall k = 0,1,2, \ldots ,2n + 1.$
$ \Rightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ = C_{2n + 1}^{n + 1} + C_{2n + 1}^{n + 2} + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}.$
Mặc khác: $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}.$
$ \Rightarrow 2\left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n} \right) = {2^{2n + 1}}.$
$ \Rightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ = {2^{2n}} – C_{2n + 1}^0$ $ = {2^{2n}} – 1.$
$ \Rightarrow {2^{2n}} – 1 = {2^{20}} – 1$ $ \Rightarrow n = 10.$
Khi đó: ${\left( {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^{10}}$ $ = {\left( {{x^{ – 4}} + {x^7}} \right)^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {{x^{ – 4}}} \right)^{10 – k}}{x^{7k}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11k – 40}}.$
Hệ số chứa ${x^{26}}$ ứng với giá trị $k$ thỏa mãn: $11k – 40 = 26$ $ \Rightarrow k = 6.$
Vậy hệ số chứa ${x^{26}}$ là: $C_{10}^6 = 210.$

Bài toán 8: Trong khai triển của ${\left( {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right)^{10}}$ thành đa thức ${a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_9}{x^9} + {a_{10}}{x^{10}}$, hãy tìm hệ số ${a_k}$ lớn nhất $(0 \le k \le 10).$
A. ${a_{10}} = 3003\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$
B. ${a_5} = 3003\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$
C. ${a_4} = 3003\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$
D. ${a_9} = 3003\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$

Chọn A.
Ta có: ${\left( {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right)^{15}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{15 – k}}{\left( {\frac{2}{3}x} \right)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} \frac{{{2^k}}}{{{3^{15}}}}{x^k}.$
Hệ số của ${x^k}$ trong khai triển ${a_k} = \frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^k{2^k}.$
Ta có: ${a_{k – 1}} < {a_k}$ $ \Leftrightarrow C_{15}^{k – 1}{2^{k – 1}} < C_{15}^k{2^k}$ $ \Leftrightarrow C_{15}^{k – 1} < 2C_{15}^k$ $ \Leftrightarrow k < \frac{{32}}{3}$ $ \Rightarrow k \le 10.$
Từ đó: ${a_0} < {a_1} < \ldots < {a_{10}}.$
Đảo dấu bất đẳng thức trên, ta được:
${a_{k – 1}} < {a_k}$ $ \Leftrightarrow k > \frac{{32}}{3}$ $ \Rightarrow {a_{10}} > {a_{11}} > \ldots > {a_{15}}.$
Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là: ${a_{10}} = \frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}C_{15}^{10} = 3003\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$

Bài toán 9: Cho khai triển ${(1 + 2x)^n}$ $ = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_n}{x^n}$, trong đó $n \in {N^*}$. Tìm số lớn nhất trong các số ${a_0},{a_1}, \ldots ,{a_n}$ biết các hệ số ${a_0},{a_1}, \ldots ,{a_n}$ thỏa mãn hệ thức: ${a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} + \ldots + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = 4096.$
A. $324512.$
B. $126720.$
C. $130272.$
D. $130127.$

Chọn B.
Đặt $f(x) = {(1 + 2x)^n}$ $ = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_n}{x^n}.$
$ \Rightarrow {a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} + \ldots + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}}$ $ = f\left( {\frac{1}{2}} \right) = {2^n}$ $ \Rightarrow {2^n} = 4096$ $ \Leftrightarrow n = 12.$
Với mọi $k \in \{ 0,1,2, \ldots ,11\} $ ta có: ${a_k} = {2^k}C_{12}^k$, ${a_{k + 1}} = {2^{k + 1}}C_{12}^{k + 1}.$
$ \Leftrightarrow \frac{{{a_k}}}{{{a_{k + 1}}}} < 1$ $ \Leftrightarrow \frac{{{2^k}C_{12}^k}}{{{2^{k + 1}}C_{12}^{k + 1}}} < 1$ $ \Leftrightarrow \frac{{k + 1}}{{2(12 – k)}} < 1$ $ \Leftrightarrow k < \frac{{23}}{3}.$
Mà $k \in Z$ $ \Rightarrow k \le 7.$ Do đó ${a_0} < {a_1} < \ldots < {a_8}.$
Tương tự: $\frac{{{a_k}}}{{{a_{k + 1}}}} > 1$ $ \Leftrightarrow k > 7$ $ \Rightarrow {a_8} > {a_9} > \ldots > {a_{12}}.$
Số lớn nhất trong các số ${a_0},{a_1}, \ldots ,{a_{12}}$ là ${a_8} = {2^8}C_{12}^8 = 126720.$