Phương pháp: Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: + Xác định trục $d$ của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy ($d$ là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy). + Xác định mặt phẳng trung trực $\left( P \right)$ của một cạnh bên (hoặc trục $\Delta $ của của đường tròn ngoại tiếp một đa giác của mặt bên). + Giao điểm $I$ của $\left( P \right)$ và $d$ (hoặc của $\Delta $ và $d$) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. + Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là độ dài đoạn thẳng nối tâm $I$ với một đỉnh của hình chóp. Nhận xét: Hình chóp có đáy hoặc các mặt bên là các đa giác không nội tiếp được đường tròn thì hình chóp đó không nội tiếp được mặt cầu. Ta xét một số dạng hình chóp thường gặp và cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. Dạng 1. Hình chóp có các điểm cùng nhìn một đoạn thẳng $AB$ dưới một góc vuông. Phương pháp: + Tâm: Trung điểm của đoạn thẳng $AB$. + Bán kính: $R=\frac{AB}{2}$. Ví dụ: • Hình chóp $S.ABC$ có đường cao $SA$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B.$ Ta có $\widehat {SAC} = \widehat {SBC} = {90^o}$, suy ra $A,B$ cùng nhìn $SC$ dưới một góc vuông. Khi đó, mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ có: + Tâm $I$ là trung điểm của $SC.$ + Bán kính: $R = \frac{{SC}}{2}.$ • Hình chóp $S.ABCD$ có đường cao $SA$, đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Ta có $\widehat {SAC} = \widehat {SBC} = \widehat {SDC} = {90^o}$, suy ra $A,B,D$ cùng nhìn $SC$ dưới một góc vuông. Khi đó, mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ có: + Tâm $I$ là trung điểm của $SC.$ + Bán kính: $R = \frac{{SC}}{2}.$ Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $SC=2a$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} BC \bot AB\\ BC \bot SA \left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right) \end{array} \right.$ $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$ $ \Rightarrow BC \bot SB.$ $SA \bot \left( {ABC} \right)$ $ \Rightarrow SA \bot AC.$ Suy ra: Hai điểm $A$, $B$ cùng nhìn $SC$ dưới một góc vuông. Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là: $R = \frac{{SC}}{2} = a.$ Ví dụ 2: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$là hình vuông tại, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và $SC=2a$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} BC \bot AB\\ BC \bot SA \end{array} \right.$ $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$ $ \Rightarrow BC \bot SB.$ Chứng minh tương tự ta được: $CD \bot SD.$ $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ $ \Rightarrow SA \bot AC.$ Suy ra: Ba điểm $A$, $B$, $D$ cùng nhìn $SC$ dưới một góc vuông. Vậy bán kính mặt cầu là $R=\frac{SC}{2}=a.$
