Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Thảo luận trong 'Chủ đề 4. GIỚI HẠN' bắt đầu bởi moon, 5/12/18.

  1. moon

    moon Thành viên cấp 2 Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    2/10/14
    Bài viết:
    160
    Đã được thích:
    46
    Điểm thành tích:
    28
    Phương pháp: Để xét tính liên tục của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x = x_0$, ta thực hiện theo các bước sau:
    Cách 1:
    + Tính $f\left( {{x_0}} \right).$
    + Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right).$
    + Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$ thì hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_0 .$
    Cách 2:
    + Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right).$
    + Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right).$
    + Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$ thì hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0}.$


    Ví dụ minh họa:
    Ví dụ 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm $x = – 2.$
    a) $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}}.$
    b) $g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}}\:với\:x \ne – 2\\
    – 4\:với\:x = – 2
    \end{array} \right.$

    a) Vì $f\left( { – 2} \right)$ không xác định, suy ra hàm số không liên tục tại $x = – 2.$
    b) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} g\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x – 2} \right)}}{{x + 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \left( {x – 2} \right)$ $ = – 4 = f\left( { – 2} \right).$
    Do đó hàm số liên tục tại $x = – 2.$

    Ví dụ 2. Cho hàm số: $y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{3 – \sqrt {{x^2} + 5} }}{{{x^2} – 4}} \: với \:x \ne \pm 2\\
    – \frac{1}{6}\:với\:x = 2
    \end{array} \right.$
    a) Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right).$
    b) Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right)$ tại $x = 2$; $x = – 2.$

    a) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{3 – \sqrt {{x^2} + 5} }}{{{x^2} – 4}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{9 – {x^2} – 5}}{{\left( {{x^2} – 4} \right)\left( {3 + \sqrt {{x^2} + 5} } \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ – 1}}{{3 + \sqrt {{x^2} + 5} }}$ $ = – \frac{1}{6}.$
    b) Từ câu a suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right).$ Vậy hàm số đã cho liên tục tại $x = 2.$ Hàm số đã cho không xác định tại $x = – 2.$ do đó hàm số không liên tục tại $x = – 2.$

    Ví dụ 3. Xét tính liên tục tại giá trị ${x_0}$ của các hàm số sau:
    a) $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 2}}\:với\:x \ne 2\\
    1\:với\:x = 2
    \end{array} \right.$ tại ${x_0} = 2$ và tại ${x_0} = 4.$
    b) $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{\sqrt {x + 3} – 2}}{{x – 1}}\:với\:x \ne 1\\
    \frac{1}{4}\:với\:x = 1
    \end{array} \right.$ tại ${x_0} = 1.$
    c) $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{1 – \sqrt {\cos x} }}{{{x^2}}}\:với\:x \ne 0\\
    \frac{1}{4}\:với\:x = 0
    \end{array} \right.$ tại ${x_0} = 0$ và tại ${x_0} = \frac{\pi }{3}.$
    d) $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{2 – 7x + 5{x^2} – {x^3}}}{{{x^2} – 3x + 2}}\:với\:x \ne 2\\
    1\:với\:x = 2
    \end{array} \right.$ tại ${x_0} = 2$ và tại ${x_0} = 5.$
    e) $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{x – 5}}{{\sqrt {2x – 1} – 3}}\:với\:x > 5\\
    {\left( {x – 5} \right)^2} + 3\:với\:x \le 5
    \end{array} \right.$ tại ${x_0} = 5$, tại ${x_0} = 6$ và tại ${x_0} = 4.$
    f) $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{\sqrt {2x + 3} – 1}}{{x + 1}}\:với\:x > – 1\\
    \frac{{\sqrt {3 – x} }}{2}\:với\:x \le – 1
    \end{array} \right.$ tại ${x_0} = – 1.$
    g) $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{{x^2} – 1}}\:với\:x > 1\\
    \frac{1}{2}\:với\:x = 1\\
    x – \frac{3}{2}\:với\:x < 1
    \end{array} \right.$ tại ${x_0} = 1.$

    a)
    • Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 2:$
    Ta có:
    $f\left( {{x_0}} \right) = f\left( 2 \right) = 1.$
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 1} \right)}}{{x – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x – 1) = 1.$
    Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$ suy ra hàm số liên tục tại ${x_0} = 2.$
    • Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 4:$
    Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 2}}$ $ = \frac{{{4^2} – 3.4 + 2}}{{4 – 2}}$ $ = 3 = f\left( 4 \right)$, suy ra hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 4.$
    b) Ta có:
    $f\left( {{x_0}} \right) = f\left( 1 \right) = \frac{1}{4}.$
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} – 2}}{{x – 1}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 3 – 4}}{{\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)\left( {x – 1} \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x – 1}}{{\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)\left( {x – 1} \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}}$ $ = \frac{1}{4}.$
    Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$ suy ra hàm số liên tục tại $x = 1.$
    c)
    • Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 0:$
    Ta có:
    $f\left( {{x_0}} \right) = f\left( 0 \right) = \frac{1}{4}.$
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \sqrt {\cos x} }}{{{x^2}}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}\left( {1 + \sqrt {\cos x} } \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{{x^2}\left( {1 + \sqrt {\cos x} } \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{2}{\left( {\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}}} \right)^2}\frac{1}{{1 + \sqrt {\cos x} }}$ $ = \frac{1}{4}.$
    Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$ suy ra hàm số liên tục tại ${x_0} = 0.$
    • Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = \frac{\pi }{3}:$
    Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{3}} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{3}} \frac{{1 – \sqrt {\cos x} }}{{{x^2}}}$ $ = \frac{{1 – \sqrt {\cos \frac{\pi }{3}} }}{{{{\left( {\frac{\pi }{3}} \right)}^2}}}$ $ = f\left( {\frac{\pi }{3}} \right)$, suy ra hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = \frac{\pi }{3}.$
    d)
    • Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 2:$
    Ta có:
    $f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 1.$
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2 – 7x + 5{x^2} – {x^3}}}{{{x^2} – 3x + 2}}$ $ = \frac{{\left( {x – 2} \right)\left( { – {x^2} + 3x – 1} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 1} \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ – {x^2} + 3x – 1}}{{x – 1}}$ $ = 1.$
    Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$ suy ra hàm số liên tục tại ${x_0} = 2.$
    • Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 5:$
    Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f\left( x \right)$ $ = \frac{{2 – 7.5 + {{5.5}^2} – {5^3}}}{{{5^2} – 3.5 + 2}}$ $ = f\left( 5 \right)$, suy ra hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 5.$
    e)
    • Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 5:$
    Ta có:
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \frac{{x – 5}}{{\sqrt {2x – 1} – 3}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \frac{{\left( {x – 5} \right)\left( {\sqrt {2x – 1} + 3} \right)}}{{2x – 1 – 9}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \frac{{\left( {x – 5} \right)\left( {\sqrt {2x – 1} + 3} \right)}}{{2x – 10}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \frac{{\left( {x – 5} \right)\left( {\sqrt {2x – 1} + 3} \right)}}{{2\left( {x – 5} \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \frac{{\left( {\sqrt {2x – 1} + 3} \right)}}{2}$ $ = \frac{{\sqrt {2.5 – 1} + 3}}{2}$ $ = 3.$
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ – }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ – }} \left[ {{{\left( {x – 5} \right)}^2} + 3} \right]$ $ = 0 + 3 = 3$ $ = f\left( 5 \right).$
    Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ – }} f\left( x \right)$ $ = f\left( 5 \right)$, suy ra hàm số liên tục tại ${x_0} = 5.$
    • Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 6.$
    Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 6} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{x – 5}}{{\sqrt {2x – 1} – 3}}$ $ = \frac{{6 – 5}}{{\sqrt {2.6 – 1} – 3}}$ $ = \frac{1}{{\sqrt {11} – 3}}$ $ = f\left( 6 \right).$
    Vậy hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 6.$
    • Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 4.$
    Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left[ {{{\left( {x – 5} \right)}^2} + 3} \right]$ $ = {\left( {4 – 5} \right)^2} + 3$ $ = 4 = f\left( 4 \right)$, suy ra hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 4.$
    f) Ta có:
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} \frac{{\sqrt {2x + 3} – 1}}{{x + 1}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} \frac{{2x + 3 – 1}}{{\left( {\sqrt {2x + 3} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {2x + 3} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} \frac{2}{{\sqrt {2x + 3} + 1}}$ $ = \frac{2}{{\sqrt {2.\left( { – 1} \right) + 3} + 1}}$ $ = 1.$
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} \frac{{\sqrt {3 – x} }}{2}$ $ = \frac{{\sqrt {3 – \left( { – 1} \right)} }}{2}$ $ = 1.$
    $f\left( { – 1} \right) = \frac{{\sqrt {3 – ( – 1)} }}{2} = 1.$
    Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} f\left( x \right)$ $ = f\left( { – 1} \right)$, suy ra hàm số liên tục tại ${x_0} = – 1.$
    g) Ta có:
    $f\left( {{x_0}} \right) = f\left( 1 \right) = \frac{1}{2}.$
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{{x^2} – 1}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x – 2}}{{x + 1}}$ $ = \frac{{1 – 2}}{{1 + 1}}$ $ = – \frac{1}{2}.$
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( {x – \frac{3}{2}} \right)$ $ = 1 – \frac{3}{2}$ $ = – \frac{1}{2}.$
    Vì $f\left( 1 \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} f\left( x \right)$, suy ra hàm số không liên tục tại ${x_0} = 1.$

    Ví dụ 4. Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 2}}\:với\:x \ne 2\\
    a\:với\:x = 2
    \end{array} \right.$. Với giá trị nào của $a$ thì hàm số đã cho liên tục tại điểm $x = 2?$

    Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)}}{{x – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x – 1} \right)$ $ = 1.$
    Hàm số liên tục tại $x = 2$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$ $ \Leftrightarrow a = 1.$
    Vậy hàm số đã cho liên tục tại $x = 2$ khi $a = 1.$

    Ví dụ 5. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{\left| {2{x^2} – 7x + 6} \right|}}{{x – 2}}\:khi \:x < 2\\
    {\rm{a + }}\frac{{1 – x}}{{2 + x}}\:khi\:x \ge 2
    \end{array} \right. .$ Xác định $a$ để hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 2.$

    Ta có:
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right)$ $ = \frac{{\left| {2{x^2} – 7x + 6} \right|}}{{x – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{\left| {\left( {x – 2} \right)\left( {2x – 3} \right)} \right|}}{{x – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{\left( {2 – x} \right)\left( {2x – 3} \right)}}{{x – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {3 – 2x} \right)$ $ = – 1.$
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{\rm{a + }}\frac{{1 – x}}{{2 + x}}} \right)$ $ = a – \frac{1}{4} = f\left( 2 \right).$
    Hàm số liên tục tại ${x_0} = 2$ $ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)$ $ = f\left( 2 \right)$ $ \Leftrightarrow a – \frac{1}{4}$ $ = – 1$ $ \Leftrightarrow a = – \frac{3}{4}.$

    Ví dụ 6. Cho các hàm số $f(x)$ sau đây. Có thể định nghĩa $f\left( 0 \right)$ để hàm số $f\left( x \right)$ trở thành hàm liên tục tại $x = 0$ được không?
    a) $f\left( x \right) = \frac{{7{x^2} – 5x}}{{12x}}$ với $x \ne 0.$
    b) $f\left( x \right) = \frac{{3x}}{{\sqrt {x + 4} – 2}}$ với $x \ne 0.$
    c) $f\left( x \right) = \frac{3}{{2x}}$ với $x \ne 0.$
    d) $f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {x + 2} – \sqrt {2 – x} }}{{3x}}$ với $x \ne 0.$

    a) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( {7x – 5} \right)}}{{12x}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{7x – 5}}{{12}}$ $ = – \frac{5}{{12}}.$
    Hàm số liên tục tại $x = 0$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right).$
    Vậy nếu bổ sung $f\left( 0 \right) = – \frac{5}{{12}}$ thì hàm số liên tục tại $x = 0.$
    b) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x}}{{\sqrt {x + 4} – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}}{{x + 4 – 4}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 3\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)$ $ = 12.$
    Hàm số liên tục tại $x = 0$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right).$
    Vậy nếu bổ sung $f\left( 0 \right) = 12$ thì hàm số liên tục tại $x = 0.$
    c) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{3}{{2x}} = + \infty .$
    Hàm số không có giới hạn hữu hạn tại $x = 0$, do đó hàm không thể liên tục tại $x = 0.$
    d) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + 2 – 2 + x}}{{3x\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {2 – x} } \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{3\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {2 – x} } \right)}}$ $ = \frac{2}{{6\sqrt 2 }}$ $ = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}.$
    Hàm số liên tục tại $x = 0$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right).$
    Vậy nếu bổ sung $f\left( 0 \right) = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}$ thì hàm số liên tục tại $x = 0.$
     

    Bình Luận Bằng Facebook

Chia sẻ trang này