Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số

\(y' = 3{x^2} + 5\\ y' = 0\,(VN)\)
y(-5) = -143
y(0) = 7
Vậy GTLN của hàm số là 7.

 

Chọn A.

 

\(y = f(x) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 6\)
Đây là một câu hỏi dễ lấy điểm. Để tìm được GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) ta giải phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\).
Ta lần lượt so sánh \(f\left( { - 4} \right),f\left( 4 \right),f\left( { - 1} \right),f\left( 3 \right)\) thì thấy \(f\left( { - 4} \right) = - 70\) là nhỏ nhất.
Vậy đáp án đúng là D.

 

Xét phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = \max \left\{ {y\left( { - 1} \right);y\left( 1 \right);y\left( 4 \right)} \right\} = y\left( 4 \right) = 51\)
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = \min \left\{ {y\left( { - 1} \right);y\left( 1 \right);y\left( 4 \right)} \right\} = y\left( 1 \right) = - 3\)

 

Phân tích: A sai do hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất là 0.
B sai do hàm số đạt GTLN bằng 1.
C sai do có tồn tại GTLN của hàm số.

 

Xét m=0 thì y=0 là hàm hằng, không thỏa yêu cầu bài toán.
Với \(m \ne 0\), ta có:
\(\begin{array}{l} y = \frac{{mx}}{{{x^2} + 1}}\\ y' = \frac{{m\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \end{array}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{m\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x=1 trên đoạn [-2;2] khi:
\(\left\{ \begin{array}{l} y\left( 1 \right) > y\left( { - 2} \right)\\ y\left( 1 \right) > y\left( { - 1} \right)\\ y\left( 1 \right) > y\left( 2 \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{m}{2} > - \frac{{2m}}{5}\\ \frac{m}{2} > - \frac{m}{2}\\ \frac{m}{2} > \frac{{2m}}{5} \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)

 

Ta có \(v = s'\) hay \(v = 12t - 3{t^2}\)
Xét hàm số
\(f\left( t \right) = 12t - 3{t^2}\) với \(t > 0\)
\(f'(t) = 12 - 6t\)
Lập bảng biến thiên ta tìm được hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=2.
Nên vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t = 2

 

Thực chất đây là bài toán tìm GTNN của hàm số một đoạn cho trước.
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{1}{4}{t^4} - \frac{3}{2}{t^2} + 2t + 20\) với t>0.
\(f'\left( t \right) = {t^3} - 3t + 2\)
\(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1}\\ {t = - 2\left( l \right)} \end{array}} \right.\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại t=1.

 

Ta có: \(f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^2} + 4;f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]\)
\(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 8x\)
Với \(x \in \left[ { - \frac{1}{2};2} \right],f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = \sqrt 2\)
Ta có: \(f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 3.\frac{1}{{16}},f\left( 0 \right) = 4,f\left( {\sqrt 2 } \right) = 0,f\left( 2 \right) = 4\)
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]\) lần lượt là 4 và 0.

 

\(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\\ y( - 2) = - 19;\,y(0) = 1;\,y(2) = - 3;\,y(4) = 17\\ \Rightarrow M = 17;\,m = - 19 \Rightarrow M + m = - 2 \end{array}\)

 

Với m=1 ta có y=1, nên GTLN của hàm số trên [2;3] bằng 1.
Ta có: \(y' = \frac{{{m^3} - 1}}{{{{(x + {m^2})}^2}}}\)
Với m>1 ta có hàm ta có hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định, do đó hàm số đạt GTLN trên [2;3] tại x=3.
Ta có: \(\frac{{3m + 1}}{{3 + {m^2}}} = \frac{5}{6} \Leftrightarrow 5{m^2} - 18m + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 3 > 1\\ m = \frac{3}{5} < 1 \end{array} \right.\)
Vậy m=3 thỏa yêu cầu bài toán.
Với m<1 ta có hàm ta có hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, do đó hàm số đạt GTLN trên [2;3] tại x=2.
Ta có: \(\frac{{2m + 1}}{{2 + {m^2}}} = \frac{5}{6} \Leftrightarrow 5{m^2} - 12m + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2 > 1\\ m = \frac{2}{5} < 1 \end{array} \right.\)
Vậy\(m = \frac{2}{5}\) thỏa yêu cầu bài toán.

 

Đặt \({\mathop{\rm sinx}\nolimits} = t;t \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Xét hàm số \(y = f\left( t \right) = {t^4} - {t^3}\) trên \(\left[ { - 1;1} \right].\)
Khi đó \(y' = f'\left( t \right) = 4{t^3} - 3{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = \frac{3}{4} \end{array} \right.\)
Ta có \(\mathop {Max}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = Max\left\{ {f\left( { - 1} \right);f\left( 1 \right);f\left( 0 \right);f\left( {\frac{3}{4}} \right)} \right\} = f\left( { - 1} \right) = 2\).
Cảm ơn đã đọc

 

\(f'\left( x \right) = \cos x + \sqrt 3 \sin x,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in } \right)\)
Vì \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \(x \in \left( {0;\pi } \right)\)

Vậy, Hàm số đạt giá trị lớn nhất của hàm số là \(f\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = 2.\)

 

Ta có: \(y = {\cos ^2}x + \sin x + 3 = - {\sin ^2}x + \sin x + 4\)
Đặt \(t = \sin x,t \in \left[ { - 1;1} \right]\) Ta có hàm số: \(g(t) = - {t^2} + t + 4\)
Xét hàm số g(t) trên \([-1;1]\) ta có:
\(\begin{array}{l} g'(t) = - 2t + 1\\ g'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} g( - 1) = 2\\ g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{17}}{4}\\ g(1) = 4 \end{array}\)
Vậy \(M=\frac{17}{4}\)

 

\(f'(x) = 3 - \frac{3}{{{{(x + 1)}^2}}}\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 3\\ x = - 1 \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số không có gí trị lớn nhất trong khoảng \(D=(-2;1]\)

 

\(y' = 2 - \frac{2}{{1 - 2x}};\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Ta có: \(y\left( 0 \right) = 0;\,\,y\left( { - 1} \right) = - 2 + \ln 3\)
Suy ra giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1; 0] là \(m = y\left( { - 1} \right) = - 2 + \ln 3.\)

 

\({x^3} + {x^2} + x = m{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} \Rightarrow m = \frac{{{x^3} + {x^2} + x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \ge 0\)
Xét hàm số \(y = \frac{{{x^3} + {x^2} + x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\) liên tục trên đoaạn [0;1].
\(\begin{array}{l} y' = \frac{{ - {x^4} - 2{x^3} + 2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}} = \frac{{ - (x - 1){{(x + 1)}^3}}}{{{{({x^2} + 1)}^3}}}\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\,\, \in \left[ {0;1} \right]\\ x = - 1\,\, \notin \left[ {0;1} \right] \end{array} \right.. \end{array}\)
Ta có: \(f(0) = 1;\,\,f(1) = \frac{3}{4}.\)
Kết luận: Để phương trình có nghiệm thuộc [0;1] thì \(0\leq m \leq \frac{3}{4}\)

 

\(y = \cos 2x + 4\cos x + 1 = 2{\cos ^2}x + 4\cos x\)
Đặt \(t = \cos x,\,\,1 - \le t \le 1\)
Khi đó ta có hàm số: \(f(t) = 2{t^2} + 4t,\, - 1 \le t \le t\)
\(\begin{array}{l} f'(t) = 4t + 4\\ f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \end{array}\)
Ta có: \(f(1) = 6;\,\,f( - 1) = - 2\)
Suy ra hàm số có giá trị lớn nhất là M=6.

 

Ta có: \(y' = 3{x^2} + 5 > 0;\forall x \in \left[ { - 5;\;0} \right]\)
\(y( - 5) = - 143;y(0) = 7\)\(\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 5;\;0} \right]} y = y\left( 0 \right) = 7\)