Động năng. Thế năng. Sự chuyển hoá năng lượng trong dao động điều hoà

[Tăng Giáp]

Trong dao động điều hòa, năng lượng không đứng yên mà liên tục biến đổi giữa động năng và thế năng. Hiểu rõ cách các dạng năng lượng này thay đổi theo vị trí và trạng thái chuyển động giúp học sinh nắm chắc bản chất của dao động cũng như áp dụng chính xác vào bài tập. Bài học “Động năng – Thế năng – Sự chuyển hóa năng lượng trong dao động điều hòa” ở chương trình Vật lí 11 cung cấp cái nhìn trực quan về từng dạng năng lượng và quy luật bảo toàn cơ năng trong cả con lắc lò xo lẫn con lắc đơn. Bài viết dưới đây hệ thống hoá đầy đủ nội dung cốt lõi, giúp bạn học nhanh – nhớ lâu – dễ áp dụng vào thực hành.

I. ĐỘNG NĂNG TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA​

1. Biểu thức động năng​

Khi một vật dao động điều hòa, vận tốc của nó thay đổi liên tục theo thời gian. Vì vận tốc thay đổi nên động năng cũng biến thiên theo. Động năng của vật dao động điều hòa được xác định bởi công thức: $W_d=\frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x^2)$

Trong đó:

• $m$: khối lượng của vật
• $\omega$: tần số góc
• $A$: biên độ của dao động
• $x$: li độ của vật tại thời điểm đang xét

Công thức cho thấy động năng phụ thuộc vào phần “chênh lệch” giữa biên độ và vị trí hiện tại của vật. Khi vật càng gần vị trí cân bằng, $x$ càng nhỏ → $W_d$ càng lớn. Khi vật tiến ra xa vị trí cân bằng, li độ $x$ tiến gần đến $A$ → động năng giảm dần.

2. Sự biến thiên động năng theo vị trí​

Từ công thức, ta có thể rút ra hai nhận xét cốt lõi của bài học:

a. Khi vật đi từ vị trí cân bằng (VTCB) đến vị trí biên

• Tại VTCB: $x = 0 \Rightarrow W_d = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$ → động năng cực đại.
• Khi tiến ra biên: $x \rightarrow A$ → $W_d \rightarrow 0$ Nghĩa là động năng giảm dần từ cực đại về 0.

Điều này đúng với trực quan: ra biên thì vận tốc bằng 0 → động năng bằng 0.

b. Khi vật đi từ vị trí biên về VTCB

• Tại biên: $W_d = 0$
• Khi vật quay về VTCB, li độ giảm dần → động năng tăng dần
• Tại VTCB: động năng đạt cực đại như lúc đầu.

Như vậy, động năng luôn biến thiên dạng “nhấp nhô”, đạt cực đại ở VTCB và bằng 0 tại biên.

II. THẾ NĂNG TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA​

1. Công thức thế năng của dao động điều hòa​

Theo định luật bảo toàn năng lượng, trong dao động điều hòa (bỏ qua ma sát), động năng không mất đi mà chuyển hoá thành thế năng và ngược lại. Thế năng của vật dao động điều hòa được cho bởi: $W_t=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2$

Công thức cho thấy:

• Thế năng phụ thuộc trực tiếp vào bình phương li độ $x$
• Khi vật càng xa vị trí cân bằng, thế năng càng lớn

2. Đồ thị và giá trị cực đại của thế năng​

Đồ thị thế năng theo li độ $x$ là một đường parabol bề lõm hướng lên. Điều này đúng vì biểu thức chứa $x^2$.

Giá trị cực đại của thế năng xảy ra khi $x = \pm A$: $W_{t \max} = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$

Đáng chú ý: $W_{t \max} = W_{d \max}$

Nghĩa là cả động năng cực đại và thế năng cực đại đều có cùng giá trị bằng: $\frac{1}{2}m\omega^2 A^2$

III. CƠ NĂNG TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA​

1. Công thức cơ năng​

Cơ năng là tổng của động năng và thế năng: $W = W_d + W_t = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$

Điểm quan trọng nhất trong toàn bài là:

→ Cơ năng là hằng số, không đổi theo thời gian.

​

Điều này đúng vì trong dao động điều hòa lý tưởng, không có lực ma sát hay lực cản nào làm tiêu hao năng lượng.

2. Ý nghĩa​

• Cho biết toàn bộ năng lượng mà hệ dao động “mang theo”
• Không phụ thuộc vào thời điểm hay vị trí
• Chỉ phụ thuộc vào biên độ và đặc tính của hệ (khối lượng, độ cứng hoặc chiều dài dây phong qua tần số góc)

IV. CƠ NĂNG CỦA CON LẮC LÒ XO VÀ CON LẮC ĐƠN​

Phần này cho thấy cách áp dụng khái niệm cơ năng vào hai hệ dao động quen thuộc trong vật lí phổ thông.

1. Con lắc lò xo​

a. Đặc điểm dao động​

Nếu bỏ qua ma sát, con lắc lò xo dao động điều hòa. Đây là hệ cơ điển hình được dùng để minh hoạ tính điều hòa “chuẩn”.

b. Thế năng của con lắc lò xo​

Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng (VTCB), ta có: $W_t = \frac{1}{2}k x^2$

Trong đó:

• $k$: độ cứng lò xo
• $x$: li độ

So sánh với thế năng chung: $W_t=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2$

Ta thấy: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

c. Chu kì dao động​

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Chu kì không phụ thuộc vào biên độ, đây là tính chất quan trọng giúp con lắc lò xo dùng được trong đo thời gian.

d. Cơ năng của con lắc lò xo​

$W = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$

Vì $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ nên cơ năng cũng có thể viết: $W=\frac{1}{2}kA^2$

Cơ năng của con lắc lò xo là hằng số trong suốt quá trình dao động.

2. Con lắc đơn​

a. Đặc điểm vị trí​

Vị trí của con lắc đơn có thể mô tả bằng:

• Li độ dài $s$
• Li độ góc $\alpha$

b. Thế năng của con lắc đơn​

Chọn mốc thế năng tại VTCB, ta có: $W_t = mgl \frac{\alpha^2}{2} = \frac{1}{2}m\frac{g}{l}s^2$

Trong đó:

• $g$: gia tốc trọng trường
• $l$: chiều dài dây treo
• $s = l\alpha$: li độ dài

c. Tần số góc​

$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$

(Công thức đúng trong trường hợp dao động nhỏ – đúng trong nội dung sách giáo khoa ở cấp THPT.)

d. Cơ năng của con lắc đơn​

Tương tự con lắc lò xo: $W = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 = \text{hằng số}$

Cơ năng chỉ phụ thuộc vào biên độ và chiều dài dây qua $\omega$.

V. Sự chuyển hóa năng lượng trong dao động điều hòa​

Một trong những nội dung quan trọng nhất của bài là sự chuyển hóa qua lại giữa động năng và thế năng.

1. Khi vật đi từ VTCB → Biên​

• Động năng giảm
• Thế năng tăng
• Tổng hai dạng năng lượng vẫn giữ nguyên

2. Khi vật đi từ Biên → VTCB​

• Động năng tăng (do vận tốc tăng)
• Thế năng giảm
• Cơ năng vẫn được bảo toàn

3. Ý nghĩa tổng quát​

Quy luật chuyển hóa năng lượng giúp ta dễ dàng “theo dõi” trạng thái dao động của vật chỉ bằng cách xét li độ hoặc vận tốc – bởi hai yếu tố này quyết định sự phân bố động năng và thế năng.

VI. Tổng kết kiến thức trọng tâm​

• Động năng trong dao động điều hòa: $W_d=\frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x^2)$ → cực đại ở VTCB, bằng 0 ở biên
• Thế năng: $W_t=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2$ → bằng 0 ở VTCB, cực đại ở biên
• Cơ năng: $W = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 = \text{hằng số}$
• Con lắc lò xo: $W_t = \frac{1}{2}k x^2,\quad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}},\quad T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$
• Con lắc đơn: $W_t = mgl\frac{\alpha^2}{2},\quad \omega=\sqrt{\frac{g}{l}}$
• Trong dao động điều hòa, động năng và thế năng luôn chuyển hóa qua lại, còn cơ năng được bảo toàn.

 

[Tăng Giáp]

Một con lắc lò xo có vật nặng khối lượng 0,4 kg, dao động điều hòa. Đồ thị vận tốc v theo thời gian t như hình.

Tính:​

a) Vận tốc cực đại của vật.
b) Động năng cực đại của vật.
c) Thế năng cực đại của con lắc.
d) Độ cứng k của lò xo.
2. Một con lắc lò xo có độ cứng k = 100 N/m, vật nặng có khối lượng m = 200 g, dao động điều hòa với biên độ A = 5 cm.
a) Xác định li độ của vật tại thời điểm động năng của vật bằng 3 lần thế năng của con lắc.
b) Xác định tốc độ của vật khi qua vị trí cân bằng.
c) Xác định thế năng của con lắc khi vật có li độ x = -2,5 cm

Lời giải chi tiết​

1.
Từ đồ thị ta có T = 1,2s → \(\omega = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{5}{3}\pi \) (rad/s)
a) Vận tốc cực đại của vật v$_{max}$ = 0,3 cm/s= 0,003 m/s = ωA → A = 0.0006 (m)
b) Động năng cực đại của vật là W$_{đmax}$ = = 2.10$^{−6}$ (J)
c) Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có W$_{tmax}$ = W$_{đmax}$ = 2.10$^{−6}$ (J)
d) Độ cứng k của lò xo tính theo công thức: T = \(2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} \) → k≈11N/m

2.
Ta có:
Độ cứng k = 100 N/m
Khối lượng m = 200 g = 0,2 kg
Biên độ A = 5 cm = 0,05 m
a) W$_{đ}$ = 3 W$_{t}$
Theo định luật bảo toàn cơ năng W = W$_{đ}$ + W$_{t}$ = 4W$_{t}$
\( \to \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = 4\frac{1}{2}m{\omega ^2}{x^2} \to x = \pm 2,5(cm)\)
b) Tần số góc ω = \(\sqrt {\frac{k}{m}} = 10\sqrt 5 \) (rad/s)
Khi vật đi qua vị trí cân bằng vật có tốc độ lớn nhất
V = ωA = 0,05. \(10\sqrt 5 \) = \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}\) (m/s)
c) W$_{t1}$ = \(\frac{1}{2}m{\omega ^2}{x^2}\) = 1562,5 (s).

 

[Tăng Giáp]

Ở lớp 10, khi học về chuyển động của vật, ta đã biết có sự chuyển hoá giữa động năng và thế năng của vật. Vậy trong dao động điều hoà có sự chuyển hoá tương tự không?

Lời giải chi tiết
Trong dao động điều hòa cũng có sự chuyển đổi giữa động năng và thế năng vì có sự thay đổi về vận tốc đồng thời cũng có sự thay đổi về li độ trong quá trình dao động.

 

[Tăng Giáp]

Hình vẽ là đồ thị động năng và thế năng của một vật dao động điều hòa li độ. Hãy phân tích sự chuyển hóa giữa động năng và thế năng bằng đồ thị

Lời giải:
Khi vật di chuyển từ biên âm đến vị trí cân bằng thì thế năng giảm động năng tăng và ngược lại.

Khi vật đi chuyển từ vị trí cân bằng đến biên dương thì thế năng tăng động năng giảm và ngược lại.

Vật đạt động năng cực đại khi ở vị trí cân bằng và cực tiểu khi ở vị trí biên còn thế năng thì ngược lại.

 

[Tăng Giáp]

Hình vẽ là đồ thị động năng và thế năng của một vật dao động điều hòa theo thời gian.

a) Động năng và thế năng của vật thay đổi như thế nào trong các khoảng thời gian: từ 0 đến \(\frac{T}{4}\), từ \(\frac{T}{4}\)đến \(\frac{T}{2}\), từ \(\frac{T}{2}\)đến \(\frac{{3T}}{4}\), từ \(\frac{{3T}}{4}\)đến T.

b) Tại các thời điểm: t = 0; t = \(\frac{T}{8}\); t =\(\frac{T}{4}\); t = \(\frac{{3T}}{8}\), động năng và thế năng của vật có giá trị như thế nào (tính theo W). Nghiệm lại để thấy ở mỗi thời điểm đó W$_{đ}$ + W$_{t}$ = W.

Lời giải​

a) Từ 0 đến \(\frac{T}{4}\): W$_{đ}$ tăng từ 0 đến giá trị lớn nhất tại \(\frac{T}{4}\), W$_{t}$ giảm từ giá trị lớn nhất về 0 tại \(\frac{T}{4}\).

Từ \(\frac{T}{4}\)đến \(\frac{T}{2}\): W$_{đ}$ giảm từ giá trị lớn nhất về 0 tại \(\frac{T}{2}\), W$_{t}$ tăng từ 0 đến giá trị lớn nhất tại \(\frac{T}{2}\).

Từ \(\frac{T}{2}\)đến \(\frac{{3T}}{4}\): W$_{đ}$ tăng từ 0 đạt giá trị lớn nhất tại \(\frac{{3T}}{4}\),W$_{t}$ giảm từ giá trị lớn nhất về 0 tại \(\frac{{3T}}{4}\).

Từ \(\frac{{3T}}{4}\)đến T: W$_{đ}$ giảm từ giá trị lớn nhất về 0 tại T, W$_{t}$ tăng từ 0 đến giá trị lớn nhất tại T.

b) Tại thời điểm t = 0: W$_{đ}$ = 0, W$_{t}$ = W.

Tại thời điểm t = \(\frac{T}{8}\): W$_{đ}$ = W$_{t}$ = \(\frac{{\rm{W}}}{2}\).

Tại thời điểm t = \(\frac{T}{4}\): W$_{đ}$ = W, W$_{t}$ = 0.

Tại thời điểm t = \(\frac{{3T}}{8}\): W$_{đ}$ = W$_{t}$ = \(\frac{{\rm{W}}}{2}\).

→ ở mỗi thời điểm trên ta đều có: Wđ + Wt = W.

 

[Tăng Giáp]

Làm thí nghiệm để xác nhận rằng khi góc lệch α$_0$ ≤ 10$^o$ thì chu kì của con lắc đơn gần như không phụ thuộc vào biên độ dao động.

Vị trí của con lắc đơn được xác định bằng li độ dài s hay li độ góc α

Lời giải​

Thế năng của con lắc đơn là thế năng trọng trường.

Chọn mốc tính thế năng ở vị trí cân bằng thì thế năng của con lắc ở li độ góc α là: W$_{t }$= mgl(1-cosα)

mà (1-cosα)=2\({\sin ^2}\frac{\alpha }{2}\) với α$_{0}$ ≤ 10$^o$ thì\(\sin \frac{\alpha }{2} \approx \frac{\alpha }{2}\) (α tính theo rad)

Khi đó W$_{t}$ = mgl\(\frac{{{\alpha ^2}}}{2}\) với α =\(\frac{s}{l}\) suy ra: W$_{t }$= mgl \(\frac{{{s^2}}}{{2{l^2}}}\)=\(\frac{1}{2}\)m\(\frac{g}{l}\)s$^2$

Tại vị trí biên độ có W$_{t}$ = W nên ta có \(\frac{1}{2}m\frac{g}{l}{s^2} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}\)

\( \to \omega = \sqrt {\frac{g}{l}} \to T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \)

vậy với góc lệch α$_{0 }$≤ 10° thì chu kì của con lắc đơn gần như không phụ thuộc vào biên độ dao động