Ví dụ 15. Cho hai đường thẳng song song ${d_1},{d_2}$. Trên đường thẳng ${d_1}$ lấy $10$ điểm phân biệt, trên ${d_2}$ lấy $15$ điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ $25$ vừa nói trên.
Số tam giác lập được thuộc vào một trong hai loại sau:
• Loại 1: Gồm hai đỉnh thuộc vào ${d_1}$ và một đỉnh thuộc vào ${d_2}.$
Số cách chọn bộ hai điểm trong $10$ thuộc ${d_1}$: $C_{10}^{2}$ cách.
Số cách chọn một điểm trong $15$ điểm thuộc ${d_2}$: $C_{15}^{1}$ cách.
Suy ra loại này có: $C_{10}^{2}.C_{15}^{1}=$ tam giác.
• Loại 2: Gồm một đỉnh thuộc vào ${d_1}$ và hai đỉnh thuộc vào ${d_2}.$
Số cách chọn một điểm trong $10$ thuộc ${d_1}$: $C_{10}^{1}$ cách.
Số cách chọn bộ hai điểm trong $15$ điểm thuộc ${d_2}$: $C_{15}^{2}$ cách.
Suy ra loại này có: $C_{10}^{1}.C_{15}^{2}=$ tam giác.
Vậy có tất cả: $C_{10}^{2}C_{15}^{1}+C_{10}^{1}C_{15}^{2}$ tam giác thỏa yêu cầu bài toán.
Số tam giác lập được thuộc vào một trong hai loại sau:
• Loại 1: Gồm hai đỉnh thuộc vào ${d_1}$ và một đỉnh thuộc vào ${d_2}.$
Số cách chọn bộ hai điểm trong $10$ thuộc ${d_1}$: $C_{10}^{2}$ cách.
Số cách chọn một điểm trong $15$ điểm thuộc ${d_2}$: $C_{15}^{1}$ cách.
Suy ra loại này có: $C_{10}^{2}.C_{15}^{1}=$ tam giác.
• Loại 2: Gồm một đỉnh thuộc vào ${d_1}$ và hai đỉnh thuộc vào ${d_2}.$
Số cách chọn một điểm trong $10$ thuộc ${d_1}$: $C_{10}^{1}$ cách.
Số cách chọn bộ hai điểm trong $15$ điểm thuộc ${d_2}$: $C_{15}^{2}$ cách.
Suy ra loại này có: $C_{10}^{1}.C_{15}^{2}=$ tam giác.
Vậy có tất cả: $C_{10}^{2}C_{15}^{1}+C_{10}^{1}C_{15}^{2}$ tam giác thỏa yêu cầu bài toán.
