KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
1. Định nghĩa véctơ chỉ phương, véctơ pháp tuyến của đường thẳng
a) Véctơ chỉ phương của đường thẳng
Véctơ $\overrightarrow u $ được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng $d$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\vec u \ne \vec 0}\\
{\vec u{\rm{//}}d}
\end{array}} \right.$
Nhận xét: Nếu $\overrightarrow u $ là một véctơ chi phương (vtcp) của đường thẳng $d$ thì mọi véctơ $k\overrightarrow u $, với $k ≠ 0$ đều là véctơ chỉ phương của đường thẳng đó.
b) Véctơ pháp tuyến của đường thẳng
Một véctơ $\vec n$ được gọi là véctơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\vec n \ne \vec 0}\\
{\vec n \bot d}
\end{array}} \right.$
Nhận xét:
+ Nếu $\vec n$ là một véctơ pháp tuyến (vtpt) của đường thẳng $d$ thì mọi véctơ $k\overrightarrow n $, với $k ≠ 0$ đều là véctơ pháp tuyến của đường thẳng đó.
+ Nếu đường thẳng $d$ có véctơ pháp tuyến $\vec n = (a;b)$ thì nó có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow u = ( – b;a)$.
+ Ngược lại nếu đường thẳng $d$ có véctơ chỉ phương $\vec u = (a;b)$ thì nó có véctơ pháp tuyến là $\vec n = ( – b;a).$
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Đường thẳng trong mặt phẳng có dạng tổng quát $d:$ $ax + by + c = 0$ $\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)$, trong đó $a$, $b$, $c$ là các hệ số thực.
+ Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} + c = 0.$
+ Véctơ pháp tuyến vuông góc với $d$ là $\vec n = (a;b).$
+ Véctơ chỉ phương song song với $d$ là $\overrightarrow u = ( – b;a).$
+ Phương trình tham số của đường thẳng: $d:$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_0} – bt}\\
{y = {y_0} + at}
\end{array}} \right.$ $(t \in R).$
+ Phương trình chính tắc của đường thẳng $d:\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b}.$
3. Các dạng phương trình đường thẳng đặc biệt
+ Trục hoành $Ox$: $y = 0.$
+ Trục tung $Oy$: $x = 0.$
+ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(a;0)$ và $B(0;b)$ (phương trình đoạn chắn) có phương trình là $d$: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ (áp dụng khi đường thẳng cắt hai trục tọa độ).
+ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt $M\left( {{x_1};{y_1}} \right)$, $N\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ là $MN$: $\frac{{x – {x_1}}}{{{x_2} – {x_1}}} = \frac{{y – {y_1}}}{{{y_2} – {y_1}}}$ (áp dụng khi đường thẳng đi qua hai điểm xác định cho trước).
+ Phương trình đường thẳng đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và có hệ số góc $k$ là $d$: $y = k\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$ (áp dụng khi chỉ biết đường thẳng đi qua một điểm và thỏa mãn một điều kiện khác).
+ Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và có véctơ pháp tuyến $\vec n = (a;b)$ là $d$: $a\left( {x – {x_0}} \right) + b\left( {y – {y_0}} \right) = 0$, $\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)$ (có thể sử dụng thay thế cho dạng đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc).
4. Vị trí tương đối của điểm so với đường thẳng
Xét đường thẳng $d$: $ax + by + c = 0$ $\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)$ và hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$, $B\left( {{x_B};{y_B}} \right).$
Xét tích $T = \left( {a{x_A} + b{y_B} + c} \right)\left( {a{x_B} + b{y_B} + c} \right).$
+ Nếu $T>0$ thì $A$, $B$ nằm về hai phía so với $d.$
+ Nếu $T<0$ thì $A$, $B$ nằm về cùng một phía so với $d.$
+ Nếu $T= 0$ thì hoặc $A$ hoặc $B$ nằm trên $d.$
5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Xét đường thẳng $d$: $ax + by + c = 0$ $\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)$ và điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right).$
Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $d$ được ký hiệu là $d(M;d)$ và được xác định theo công thức: $d(M;d) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$
Ứng dụng: Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng.
Xét hai đường thẳng: ${d_1}$: ${a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ $\left( {a_1^2 + b_1^2 > 0} \right)$ và ${d_2}$: ${a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$ $\left( {a_2^2 + b_2^2 > 0} \right).$
Nếu điểm $M(x;y)$ nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi $d_1$ và $d_2$ thì $d\left( {M;{d_1}} \right) = d\left( {M;{d_2}} \right)$. Suy ra phương trình đường phân giác của góc tạo bởi ${d_1}$, ${d_2}$ có phương trình là: $\Delta :\frac{{\left| {{a_1}x + {b_1}y + {c_1}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} }} = \frac{{\left| {{a_2}x + {b_2}y + {c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}$ $ \Leftrightarrow \Delta :\frac{{{a_1}x + {b_1}y + {c_1}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} }} = \pm \frac{{{a_2}x + {b_2}y + {c_2}}}{{\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}.$
6. Góc giữa hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng ${d_1}$: ${a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ $\left( {a_1^2 + b_1^2 > 0} \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{a_1};{b_1}} \right)$ và đường thẳng ${d_2}$: ${a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$ $\left( {a_2^2 + b_2^2 > 0} \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{a_2};{b_2}} \right)$.
Khi đó góc $\alpha $ $\left( {0 \le \alpha \le {{90}^0}} \right)$ giữa hai đường thẳng được xác định theo công thức: $\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}.$
7. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng ${d_1}$: ${a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ $\left( {a_1^2 + b_1^2 > 0} \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{a_1};{b_1}} \right)$ và đường thẳng ${d_2}$: ${a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$ $\left( {a_2^2 + b_2^2 > 0} \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{a_2};{b_2}} \right).$
+ ${d_1}$ cắt ${d_2}$ $ \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}.$
+ ${d_1}{\rm{//}}{d_2} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}.$
+ ${d_1} \equiv {d_2} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}.$
Đặc biệt: ${d_1} \bot {d_2}$ $ \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 0.$
Các bài toán được áp dụng là xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phụ thuộc tham số.
1. Định nghĩa véctơ chỉ phương, véctơ pháp tuyến của đường thẳng
a) Véctơ chỉ phương của đường thẳng
Véctơ $\overrightarrow u $ được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng $d$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\vec u \ne \vec 0}\\
{\vec u{\rm{//}}d}
\end{array}} \right.$
Nhận xét: Nếu $\overrightarrow u $ là một véctơ chi phương (vtcp) của đường thẳng $d$ thì mọi véctơ $k\overrightarrow u $, với $k ≠ 0$ đều là véctơ chỉ phương của đường thẳng đó.
b) Véctơ pháp tuyến của đường thẳng
Một véctơ $\vec n$ được gọi là véctơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\vec n \ne \vec 0}\\
{\vec n \bot d}
\end{array}} \right.$
Nhận xét:
+ Nếu $\vec n$ là một véctơ pháp tuyến (vtpt) của đường thẳng $d$ thì mọi véctơ $k\overrightarrow n $, với $k ≠ 0$ đều là véctơ pháp tuyến của đường thẳng đó.
+ Nếu đường thẳng $d$ có véctơ pháp tuyến $\vec n = (a;b)$ thì nó có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow u = ( – b;a)$.
+ Ngược lại nếu đường thẳng $d$ có véctơ chỉ phương $\vec u = (a;b)$ thì nó có véctơ pháp tuyến là $\vec n = ( – b;a).$
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Đường thẳng trong mặt phẳng có dạng tổng quát $d:$ $ax + by + c = 0$ $\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)$, trong đó $a$, $b$, $c$ là các hệ số thực.
+ Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} + c = 0.$
+ Véctơ pháp tuyến vuông góc với $d$ là $\vec n = (a;b).$
+ Véctơ chỉ phương song song với $d$ là $\overrightarrow u = ( – b;a).$
+ Phương trình tham số của đường thẳng: $d:$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_0} – bt}\\
{y = {y_0} + at}
\end{array}} \right.$ $(t \in R).$
+ Phương trình chính tắc của đường thẳng $d:\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b}.$
3. Các dạng phương trình đường thẳng đặc biệt
+ Trục hoành $Ox$: $y = 0.$
+ Trục tung $Oy$: $x = 0.$
+ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(a;0)$ và $B(0;b)$ (phương trình đoạn chắn) có phương trình là $d$: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ (áp dụng khi đường thẳng cắt hai trục tọa độ).
+ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt $M\left( {{x_1};{y_1}} \right)$, $N\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ là $MN$: $\frac{{x – {x_1}}}{{{x_2} – {x_1}}} = \frac{{y – {y_1}}}{{{y_2} – {y_1}}}$ (áp dụng khi đường thẳng đi qua hai điểm xác định cho trước).
+ Phương trình đường thẳng đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và có hệ số góc $k$ là $d$: $y = k\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$ (áp dụng khi chỉ biết đường thẳng đi qua một điểm và thỏa mãn một điều kiện khác).
+ Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và có véctơ pháp tuyến $\vec n = (a;b)$ là $d$: $a\left( {x – {x_0}} \right) + b\left( {y – {y_0}} \right) = 0$, $\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)$ (có thể sử dụng thay thế cho dạng đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc).
4. Vị trí tương đối của điểm so với đường thẳng
Xét đường thẳng $d$: $ax + by + c = 0$ $\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)$ và hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$, $B\left( {{x_B};{y_B}} \right).$
Xét tích $T = \left( {a{x_A} + b{y_B} + c} \right)\left( {a{x_B} + b{y_B} + c} \right).$
+ Nếu $T>0$ thì $A$, $B$ nằm về hai phía so với $d.$
+ Nếu $T<0$ thì $A$, $B$ nằm về cùng một phía so với $d.$
+ Nếu $T= 0$ thì hoặc $A$ hoặc $B$ nằm trên $d.$
5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Xét đường thẳng $d$: $ax + by + c = 0$ $\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)$ và điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right).$
Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $d$ được ký hiệu là $d(M;d)$ và được xác định theo công thức: $d(M;d) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$
Ứng dụng: Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng.
Xét hai đường thẳng: ${d_1}$: ${a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ $\left( {a_1^2 + b_1^2 > 0} \right)$ và ${d_2}$: ${a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$ $\left( {a_2^2 + b_2^2 > 0} \right).$
Nếu điểm $M(x;y)$ nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi $d_1$ và $d_2$ thì $d\left( {M;{d_1}} \right) = d\left( {M;{d_2}} \right)$. Suy ra phương trình đường phân giác của góc tạo bởi ${d_1}$, ${d_2}$ có phương trình là: $\Delta :\frac{{\left| {{a_1}x + {b_1}y + {c_1}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} }} = \frac{{\left| {{a_2}x + {b_2}y + {c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}$ $ \Leftrightarrow \Delta :\frac{{{a_1}x + {b_1}y + {c_1}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} }} = \pm \frac{{{a_2}x + {b_2}y + {c_2}}}{{\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}.$
6. Góc giữa hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng ${d_1}$: ${a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ $\left( {a_1^2 + b_1^2 > 0} \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{a_1};{b_1}} \right)$ và đường thẳng ${d_2}$: ${a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$ $\left( {a_2^2 + b_2^2 > 0} \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{a_2};{b_2}} \right)$.
Khi đó góc $\alpha $ $\left( {0 \le \alpha \le {{90}^0}} \right)$ giữa hai đường thẳng được xác định theo công thức: $\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}.$
7. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng ${d_1}$: ${a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ $\left( {a_1^2 + b_1^2 > 0} \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{a_1};{b_1}} \right)$ và đường thẳng ${d_2}$: ${a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$ $\left( {a_2^2 + b_2^2 > 0} \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{a_2};{b_2}} \right).$
+ ${d_1}$ cắt ${d_2}$ $ \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}.$
+ ${d_1}{\rm{//}}{d_2} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}.$
+ ${d_1} \equiv {d_2} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}.$
Đặc biệt: ${d_1} \bot {d_2}$ $ \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 0.$
Các bài toán được áp dụng là xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phụ thuộc tham số.
