I. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và không gian:
1 Trong mặt phẳng:
Cho các vec-tơ $\overrightarrow a ({x_1},{y_1}),\overrightarrow b ({x_2},{y_2})$ và các điểm $A({x_1},{y_1}),B({x_2},{y_2})$:
$\overrightarrow a .\overrightarrow b = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}$
$|\overrightarrow a | = \sqrt {x_1^2 + y_1^2} $
$d = AB = \sqrt {({x_2} - {x_1})_{}^2 + ({y_2} - {y_1})_{}^2} $
$\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2} + \sqrt {x_2^2 + y_2^2} }}$
$\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0$
2 Trong không gian:
Cho các vec-tơ $\overrightarrow a ({x_1},{y_1},{z_1}),\overrightarrow b ({x_2},{y_2},{z_2})$ và các điểm $A({x_1},{y_1},{z_1}),B({x_2},{y_2},{z_2})$:
$\overrightarrow a .\overrightarrow b = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}$
$|\overrightarrow a | = \sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} $
$d = AB = \sqrt {({x_2} - {x_1})_{}^2 + ({y_2} - {y_1})_{}^2 + ({z_2} - {z_1})_{}^2} $
$\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}$
$\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2} = 0$
II. Đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian:
1 Đường thẳng trong mặt phẳng:
a. Khoảng cách:
+ Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đương thẳng (d) : Ax + By + C = 0
$MH = \frac{{|{\rm{A}}{{\rm{x}}_0} + B{y_0} + C|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: Ax + By + C1 = 0 và Ax + By + C2 = 0
$\frac{{|{C_1} - {C_2}|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$
b. Vị trí tương đối 2 đường thẳng:
(d1) : A1 x + B1 y + C1 = 0
(d2) : A2 x + B2 y + C2 = 0
$\begin{array}{l}
*({d_1}) \cap ({d_2}) \ne \phi \Leftrightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} \ne \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}}\\
*({d_1})//({d_2}) \Leftrightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} \ne \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}\\
*({d_1}) \equiv ({d_2}) \Leftrightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}\\
*({d_1}) \bot ({d_2}) \Leftrightarrow {A_1}{A_2} + {B_1}{B_2}
\end{array}$
c. Góc giữa 2 đường thẳng:
(d1) : A1 x + B1 y + C1 = 0
(d2) : A2 x + B2 y + C2 = 0
$\alpha = ({d_1},{d_2})$
$\cos \alpha = \frac{{|{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2}|}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2} \sqrt {A_2^2 + B_2^2} }}$
d. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng (d1)và (d2):
$\frac{{{A_1}x + {B_1}y + {C_1}}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2} }} = \pm \frac{{{A_2}x + {B_2}y + {C_2}}}{{\sqrt {A_2^2 + B_2^2} }}$ (góc nhọn lấy dấu – , góc tù lấy dấu + )
e. Phương trình chùm đường thẳng có tâm là giao của 2 đường thẳng (d1)và (d2):
$\alpha ({A_1}x + {B_1}y + {C_1}) + \beta ({A_2}x + {B_2}y + {C_2}) = 0$ với ${\alpha ^2} + {\beta ^2} > 0$
2 Đường thẳng trong không gian:
Góc giữa 2 đường thẳng:
(d1) có vector chỉ phương $\overrightarrow u = ({a_1},{b_1},{c_1})$
(d2) có vector chỉ phương $\overrightarrow v = ({a_2},{b_2},{c_2})$
là góc giữa (d1) và (d2)
$\cos \alpha = \frac{{|{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}$
$({d_1}) \bot ({d_2}) \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0$
III. Mặt phẳng:
a. Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là:
$MH = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {A_{}^2 + B_{}^2 + C_{}^2} }}$
b. Chùm mặt phẳng đi qua giao tuyến của 2 mặt phẳng:
$\begin{array}{l}
(P):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\\
(Q):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0
\end{array}$ là phương trình mặt phẳng có dạng:
$\alpha ({A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1}) + \beta ({A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2}) = 0$
1 Trong mặt phẳng:
Cho các vec-tơ $\overrightarrow a ({x_1},{y_1}),\overrightarrow b ({x_2},{y_2})$ và các điểm $A({x_1},{y_1}),B({x_2},{y_2})$:
$\overrightarrow a .\overrightarrow b = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}$
$|\overrightarrow a | = \sqrt {x_1^2 + y_1^2} $
$d = AB = \sqrt {({x_2} - {x_1})_{}^2 + ({y_2} - {y_1})_{}^2} $
$\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2} + \sqrt {x_2^2 + y_2^2} }}$
$\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0$
2 Trong không gian:
Cho các vec-tơ $\overrightarrow a ({x_1},{y_1},{z_1}),\overrightarrow b ({x_2},{y_2},{z_2})$ và các điểm $A({x_1},{y_1},{z_1}),B({x_2},{y_2},{z_2})$:
$\overrightarrow a .\overrightarrow b = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}$
$|\overrightarrow a | = \sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} $
$d = AB = \sqrt {({x_2} - {x_1})_{}^2 + ({y_2} - {y_1})_{}^2 + ({z_2} - {z_1})_{}^2} $
$\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}$
$\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2} = 0$
II. Đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian:
1 Đường thẳng trong mặt phẳng:
a. Khoảng cách:
+ Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đương thẳng (d) : Ax + By + C = 0
$MH = \frac{{|{\rm{A}}{{\rm{x}}_0} + B{y_0} + C|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: Ax + By + C1 = 0 và Ax + By + C2 = 0
$\frac{{|{C_1} - {C_2}|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$
b. Vị trí tương đối 2 đường thẳng:
(d1) : A1 x + B1 y + C1 = 0
(d2) : A2 x + B2 y + C2 = 0
$\begin{array}{l}
*({d_1}) \cap ({d_2}) \ne \phi \Leftrightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} \ne \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}}\\
*({d_1})//({d_2}) \Leftrightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} \ne \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}\\
*({d_1}) \equiv ({d_2}) \Leftrightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}\\
*({d_1}) \bot ({d_2}) \Leftrightarrow {A_1}{A_2} + {B_1}{B_2}
\end{array}$
c. Góc giữa 2 đường thẳng:
(d1) : A1 x + B1 y + C1 = 0
(d2) : A2 x + B2 y + C2 = 0
$\alpha = ({d_1},{d_2})$
$\cos \alpha = \frac{{|{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2}|}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2} \sqrt {A_2^2 + B_2^2} }}$
d. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng (d1)và (d2):
$\frac{{{A_1}x + {B_1}y + {C_1}}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2} }} = \pm \frac{{{A_2}x + {B_2}y + {C_2}}}{{\sqrt {A_2^2 + B_2^2} }}$ (góc nhọn lấy dấu – , góc tù lấy dấu + )
e. Phương trình chùm đường thẳng có tâm là giao của 2 đường thẳng (d1)và (d2):
$\alpha ({A_1}x + {B_1}y + {C_1}) + \beta ({A_2}x + {B_2}y + {C_2}) = 0$ với ${\alpha ^2} + {\beta ^2} > 0$
2 Đường thẳng trong không gian:
Góc giữa 2 đường thẳng:
(d1) có vector chỉ phương $\overrightarrow u = ({a_1},{b_1},{c_1})$
(d2) có vector chỉ phương $\overrightarrow v = ({a_2},{b_2},{c_2})$
là góc giữa (d1) và (d2)
$\cos \alpha = \frac{{|{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}$
$({d_1}) \bot ({d_2}) \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0$
III. Mặt phẳng:
a. Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là:
$MH = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {A_{}^2 + B_{}^2 + C_{}^2} }}$
b. Chùm mặt phẳng đi qua giao tuyến của 2 mặt phẳng:
$\begin{array}{l}
(P):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\\
(Q):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0
\end{array}$ là phương trình mặt phẳng có dạng:
$\alpha ({A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1}) + \beta ({A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2}) = 0$
