Ngoài những phương pháp thường gặp ở trên, đôi khi ta cũng có những lời giải khác lạ đối với một số phương trình vô tỷ. Cũng có thể ta sử dụng kết hợp các phương pháp ở trên để giải một phương trình.
1. Dùng tọa độ của véc tơ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: $\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1}} \right),{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2}} \right)$ khi đó ta có
$\left| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow v } \right| \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} + {y_2}} \right)}^2}} \le \sqrt {{x_1}^2 + y_1^2} + \sqrt {x_2^2 + y_2^2} $
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ $\overrightarrow u ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \overrightarrow v {\kern 1pt} {\kern 1pt} $ cùng hướng $ \Leftrightarrow \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_1}}}{{{y_2}}} = k \ge 0$, chú ý tỉ số phải dương
$\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \alpha \le \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|$, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi $\cos \alpha = 1 \Leftrightarrow \overrightarrow u $ cùng hướng $\overrightarrow v$
Ví dụ 1. Giải phương trình: $\sqrt {{x^2} - 4x + 20} + \sqrt {{x^2} + 4x + 29} = \sqrt {97}$.
Khi đó ta được $\overrightarrow a + \overrightarrow b = ( - 4;9)$, suy ra $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {97}$ và ta cũng có $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{x^2} - 4x + 20}$,
$\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{x^2} + 4x + 29}$. Phương trình trở thành $\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|$, đẳng thức đó xảy ra khi $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b$ cùng chiều $\Leftrightarrow \frac{{x - 2}}{4} = \frac{{ - x - 2}}{5}$. Từ đó ta được phương trình có một nghiệm là x =2/9.
2. Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác
Nếu tam giác ABC là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có MB + MB + MC ≥ OA + OB + OC với O là tâm của đường tròn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi M ≡ O.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc 120$^0$
Ví dụ 2. Giải phương trình $\sqrt {{x^2} - 3\sqrt 2 .x + 9} + \sqrt {{x^2} - 4\sqrt 2 .x + 16} = 5$
Nếu x > 0 thì ta xét tam giác vuông ABC với A = 90$^0$, AB = 4; AC = 3.
Gọi AD là phân giác của góc A, lấy M thuộc tia AD.
Đặt AM = x, xét $\Delta ACM \Rightarrow C{M^2} = {x^2} + 9 - 3\sqrt 2 .x$ và xét $\Delta ABM \Rightarrow B{M^2} = {x^2} + 16 - 4\sqrt 2 .x$.
Từ đó suy ra VT = CM + BM ≥ BC = 5. Dấu đẳng thức xảy ra khi M ≡ D, hay
$\begin{array}{l}\frac{{CM}}{{BM}} = \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow 16C{M^2} = 9B{M^2}\\
\Leftrightarrow 16{x^2} + 16.9 - 48\sqrt 2 .x = 9{x^2} + 16.9 - 36\sqrt 2 .x\\ \Leftrightarrow 7x - 12\sqrt 2 .x = 0\\ \Leftrightarrow x = \frac{{12\sqrt 2 }}{7}\end{array}$
Vậy phương trình có nghiệm là $x = \frac{{12\sqrt 2 }}{7}$.
3. Phương pháp sử dụng tính liên tục hàm số để chứng minh số nghiệm phương trình
Ví dụ 3. CMR phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-7,9): $2x + 6\sqrt[3]{{1 - x}} = 3$
Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc ( -7,9).
4. Phương pháp sử dụng đạo hàm bậc 2
Tìm tập xác định của phương trình
Xét hàm số f trên miền D ,tồn tại đạo hàm bậc 2 suy ra hàm số lồi hoặc lõm trên miền. Suy ra phương trình không có quá 2 nghiệm nhẩm 2 nghiệm thuộc miền D
Ví dụ 4. Giải phương trình: $3\sqrt {x + 1} = 3{x^2} - 8x + 3$
PT tương đương $3\sqrt {x + 1} - 3{x^2} + 8x - 3 = 0$ xét hàm số $f\left( x \right) = 3\sqrt {x + 1} - 3{x^2} + 8x – 3$ trên tập x/đ x ≥ -1, ${f^,}(x) = \frac{3}{{2\sqrt {x + 1} }} - 6x + 8 \Rightarrow {f^{,,}}(x) = - \frac{3}{{4\sqrt {{{(x + 1)}^2}} }} - 6 < 0$ vậy hàm số đó có đồ thịlồi trên txđ. Do đó phương trình nếu có nghiệm thì không quá 2 nghiệm ta dễ thấy x = 0, x = 3 là nghiệm
Ví dụ 5. Giải phương trình: $\sqrt x + \sqrt {3x + 1} = {x^2} + x + 1$
tập xác định x ≥ 0
${f^,}(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{3}{{2\sqrt {3x + 1} }} - 2x - 1 \Rightarrow {f^{,,}}(x) = - \frac{1}{{4\sqrt {{x^2}} }} - \frac{9}{{4\sqrt {{{(3x + 1)}^2}} }} - 2 < 0$ đồ thị hàm số lồi trên tạp xác định vì vậy phương trình không có quá 2 nghiệm ,dễ thấy x = 0 ,x = 1 là nghiệm
5. Một số phương trình không mẫu mực
Ví dụ 6. Giải phương trình: $\sqrt {\frac{6}{{2 - t}}} + \sqrt {\frac{{10}}{{3 - t}}} = 4$
đặt $t = \sqrt {\frac{6}{{2 - x}}} > 0 \Rightarrow 2 - x = \frac{6}{{{t^2}}} \Leftrightarrow 3 - x = 1 + \frac{6}{{{t^2}}}$
Pt thành $t + \sqrt {\frac{{10{t^2}}}{{{t^2} + 6}}} = 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t \le 4\\\frac{{10{t^2}}}{{{t^2} + 6}} = {(4 - t)^2}\end{array} \right.$
khi đócó PT: t$^4$-8t$^3$ + 12t$^2$ - 48t + 96 = 0 suy ra
(t-2)(t$^3$ - 6t$^2$ - 48)=0
Có nghiệm t = 2 suy ra x = 1/2 cònphương trình:
t$^3$ - 6t$^2$ - 48= t$^2$(t - 6) - 48 < 0 với o < t ≤ 4 vô nghiệm, vậy pt đã cho có 1 nghiệm x = 1/2
Ví dụ 7. Giải phương trình: $\sqrt {3{x^2} - 7x + 3} - \sqrt {{x^2} - 2} = \sqrt {3{x^2} - 5x - 1} - \sqrt {{x^2} - 3x + 4} $
$\frac{{ - 2x + 4}}{{\sqrt {3{x^2} - 7x + 3} + \sqrt {3{x^2} - 5x - 1} }} = \frac{{3x - 6}}{{\sqrt {{x^2} - 2} + \sqrt {{x^2} - 3x + 4} }}$
*) với mọi x > 2 không thể là nghiệm vì vế trái < 0,vế phải > 0
*) với mọi x < 0 cũng không thể là nghiệm
*) với x = 2 là nghiệm vậy phương trình chỉ có nghiệm x = 2
Bài tập
1) $\sqrt {2{x^2} - 2x + 1} + \sqrt {2{x^2} - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x + 1} + \sqrt {2{x^2} + \left( {\sqrt 3 + 1} \right)x + 1} = 3$
2) $\left| {\sqrt {{x^2} - 4x + 5} - \sqrt {{x^2} - 10x + 50} } \right| = 5$
1. Dùng tọa độ của véc tơ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: $\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1}} \right),{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2}} \right)$ khi đó ta có
$\left| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow v } \right| \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} + {y_2}} \right)}^2}} \le \sqrt {{x_1}^2 + y_1^2} + \sqrt {x_2^2 + y_2^2} $
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ $\overrightarrow u ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \overrightarrow v {\kern 1pt} {\kern 1pt} $ cùng hướng $ \Leftrightarrow \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_1}}}{{{y_2}}} = k \ge 0$, chú ý tỉ số phải dương
$\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \alpha \le \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|$, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi $\cos \alpha = 1 \Leftrightarrow \overrightarrow u $ cùng hướng $\overrightarrow v$
Ví dụ 1. Giải phương trình: $\sqrt {{x^2} - 4x + 20} + \sqrt {{x^2} + 4x + 29} = \sqrt {97}$.
giải
Trong mặt phẳng tọa độ xét hai véc tơ $\overrightarrow a = (x - 2;4)$ và $\overrightarrow b = ( - x - 2;5)$.Khi đó ta được $\overrightarrow a + \overrightarrow b = ( - 4;9)$, suy ra $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {97}$ và ta cũng có $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{x^2} - 4x + 20}$,
$\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{x^2} + 4x + 29}$. Phương trình trở thành $\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|$, đẳng thức đó xảy ra khi $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b$ cùng chiều $\Leftrightarrow \frac{{x - 2}}{4} = \frac{{ - x - 2}}{5}$. Từ đó ta được phương trình có một nghiệm là x =2/9.
2. Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác
Nếu tam giác ABC là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có MB + MB + MC ≥ OA + OB + OC với O là tâm của đường tròn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi M ≡ O.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc 120$^0$
Ví dụ 2. Giải phương trình $\sqrt {{x^2} - 3\sqrt 2 .x + 9} + \sqrt {{x^2} - 4\sqrt 2 .x + 16} = 5$
giải
Nếu x ≤ 0 thì VT ≥ 3 + 4 = 7 > 5 = VP (phương trình không có nghiệm).Nếu x > 0 thì ta xét tam giác vuông ABC với A = 90$^0$, AB = 4; AC = 3.
Gọi AD là phân giác của góc A, lấy M thuộc tia AD.
Đặt AM = x, xét $\Delta ACM \Rightarrow C{M^2} = {x^2} + 9 - 3\sqrt 2 .x$ và xét $\Delta ABM \Rightarrow B{M^2} = {x^2} + 16 - 4\sqrt 2 .x$.
Từ đó suy ra VT = CM + BM ≥ BC = 5. Dấu đẳng thức xảy ra khi M ≡ D, hay
$\begin{array}{l}\frac{{CM}}{{BM}} = \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow 16C{M^2} = 9B{M^2}\\
\Leftrightarrow 16{x^2} + 16.9 - 48\sqrt 2 .x = 9{x^2} + 16.9 - 36\sqrt 2 .x\\ \Leftrightarrow 7x - 12\sqrt 2 .x = 0\\ \Leftrightarrow x = \frac{{12\sqrt 2 }}{7}\end{array}$
Vậy phương trình có nghiệm là $x = \frac{{12\sqrt 2 }}{7}$.
3. Phương pháp sử dụng tính liên tục hàm số để chứng minh số nghiệm phương trình
Ví dụ 3. CMR phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-7,9): $2x + 6\sqrt[3]{{1 - x}} = 3$
Giải
Đặt $t = \sqrt[3]{{1 - x}}$ có pt 2t3 – 6t + 1 =0 hàm số này liên tục trên R ,có f(-2)f(0)<0 có 1ng t ∈ (-2,0) suy ra có 1 ng x∈ (1,9) , f(0)f(1)<0 có 1ng t∈ (0,1) suy ra có 1ng x∈ (0,1) , f(1)f(2)< 0 có 1ng t ∈ (1,2) suy ra có 1 ng x ∈ (-7,0)Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc ( -7,9).
4. Phương pháp sử dụng đạo hàm bậc 2
Tìm tập xác định của phương trình
Xét hàm số f trên miền D ,tồn tại đạo hàm bậc 2 suy ra hàm số lồi hoặc lõm trên miền. Suy ra phương trình không có quá 2 nghiệm nhẩm 2 nghiệm thuộc miền D
Ví dụ 4. Giải phương trình: $3\sqrt {x + 1} = 3{x^2} - 8x + 3$
Giải
Điều kiện x ≥ - 1PT tương đương $3\sqrt {x + 1} - 3{x^2} + 8x - 3 = 0$ xét hàm số $f\left( x \right) = 3\sqrt {x + 1} - 3{x^2} + 8x – 3$ trên tập x/đ x ≥ -1, ${f^,}(x) = \frac{3}{{2\sqrt {x + 1} }} - 6x + 8 \Rightarrow {f^{,,}}(x) = - \frac{3}{{4\sqrt {{{(x + 1)}^2}} }} - 6 < 0$ vậy hàm số đó có đồ thịlồi trên txđ. Do đó phương trình nếu có nghiệm thì không quá 2 nghiệm ta dễ thấy x = 0, x = 3 là nghiệm
Ví dụ 5. Giải phương trình: $\sqrt x + \sqrt {3x + 1} = {x^2} + x + 1$
Giải
Điều kiện x ≥ 0 phưong trình tương đương với $\sqrt x + \sqrt {3x + 1} - {x^2} - x - 1 = 0$ xét hàm số $f\left( x \right) = \sqrt x + \sqrt {3x + 1} - {x^2} - x – 1$tập xác định x ≥ 0
${f^,}(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{3}{{2\sqrt {3x + 1} }} - 2x - 1 \Rightarrow {f^{,,}}(x) = - \frac{1}{{4\sqrt {{x^2}} }} - \frac{9}{{4\sqrt {{{(3x + 1)}^2}} }} - 2 < 0$ đồ thị hàm số lồi trên tạp xác định vì vậy phương trình không có quá 2 nghiệm ,dễ thấy x = 0 ,x = 1 là nghiệm
5. Một số phương trình không mẫu mực
Ví dụ 6. Giải phương trình: $\sqrt {\frac{6}{{2 - t}}} + \sqrt {\frac{{10}}{{3 - t}}} = 4$
giải
Điểu kiện: x < 2 đặt $t = \sqrt {\frac{6}{{2 - x}}} > 0 \Rightarrow 2 - x = \frac{6}{{{t^2}}} \Leftrightarrow 3 - x = 1 + \frac{6}{{{t^2}}}$
Pt thành $t + \sqrt {\frac{{10{t^2}}}{{{t^2} + 6}}} = 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t \le 4\\\frac{{10{t^2}}}{{{t^2} + 6}} = {(4 - t)^2}\end{array} \right.$
khi đócó PT: t$^4$-8t$^3$ + 12t$^2$ - 48t + 96 = 0 suy ra
(t-2)(t$^3$ - 6t$^2$ - 48)=0
Có nghiệm t = 2 suy ra x = 1/2 cònphương trình:
t$^3$ - 6t$^2$ - 48= t$^2$(t - 6) - 48 < 0 với o < t ≤ 4 vô nghiệm, vậy pt đã cho có 1 nghiệm x = 1/2
Ví dụ 7. Giải phương trình: $\sqrt {3{x^2} - 7x + 3} - \sqrt {{x^2} - 2} = \sqrt {3{x^2} - 5x - 1} - \sqrt {{x^2} - 3x + 4} $
giải
$\sqrt {3{x^2} - 7x + 3} - \sqrt {{x^2} - 2} = \sqrt {3{x^2} - 5x - 1} - \sqrt {{x^2} - 3x + 4} $ tưong đương với $\sqrt {3{x^2} - 7x + 3} - \sqrt {3{x^2} - 5x - 1} = \sqrt {{x^2} - 2} - \sqrt {{x^2} - 3x + 4} $ tương đương với$\frac{{ - 2x + 4}}{{\sqrt {3{x^2} - 7x + 3} + \sqrt {3{x^2} - 5x - 1} }} = \frac{{3x - 6}}{{\sqrt {{x^2} - 2} + \sqrt {{x^2} - 3x + 4} }}$
*) với mọi x > 2 không thể là nghiệm vì vế trái < 0,vế phải > 0
*) với mọi x < 0 cũng không thể là nghiệm
*) với x = 2 là nghiệm vậy phương trình chỉ có nghiệm x = 2
Bài tập
1) $\sqrt {2{x^2} - 2x + 1} + \sqrt {2{x^2} - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x + 1} + \sqrt {2{x^2} + \left( {\sqrt 3 + 1} \right)x + 1} = 3$
2) $\left| {\sqrt {{x^2} - 4x + 5} - \sqrt {{x^2} - 10x + 50} } \right| = 5$
