1. Một số lưu ý
Khi giải phương trình vô tỷ (chẳng hạn f(x) = g(x) ) bằng phương pháp đánh giá, thường là để ta chỉ ra phương trình chỉ có một nghiệm (nghiệm duy nhất).Ta thường sử dụng các bất đẳng thức cổ điển Cô si, Bunhiacopxki, đưa vế trái về tổng bình phương các biểu thức, đồng thời vế phải bằng 0. Ta cũng có thể sử dụng tính đơn điệu của hàm số (có thể thấy ngay hoặc sử dụng đạo hàm xét sự biến thiên của hàm số) để đánh giá một cách hợp lý.
Thường ta đánh giá như sau: $\left\{ \begin{array}{l}f(x) = g(x)\\f(x) \ge C( \le C)\\g(x) \le C( \ge C)\end{array} \right. \Leftrightarrow f(x) = g(x) = C$, hoặc đánh giá f(x) ≥ g(x) cũng như là f(x) ≤ g(x) …
Ngoài ra đối với bài cụ thể nào đó ta sẽ có cách đánh giá khác.
Cũng có một số phương trình vô tỷ có nhiều hơn một ẩn mà ta giải bằng phương pháp đánh giá.
2. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình sau: $\frac{3}{{\left| {x + 1} \right|}} + \frac{{\left| {x + 1} \right|}}{3} = 2$.
Ví dụ 2. Giải phương trình: $\sqrt {3{x^2} + 6x + 7} + \sqrt {5{x^2} + 10x + 14} = 4 - 2x - {x^2}$.
Ví dụ 3. Giải phương trình $\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {x + 1} }} + \sqrt x = \sqrt {x + 9} $.
Theo BĐT Bunhiacopxki, ta được
$V{T^2} = {\left( {2\sqrt 2 \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }} + \sqrt {x + 1} \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {x + 1} }}} \right)^2} \le (x + 9)\left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{x}{{x + 1}}} \right) = V{P^2}$
Phương trình có nghiệm khi dấu đẳng thức xảy ra hay $\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {x + 1} }} = \frac{{\frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}}}{{\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {x + 1} }}}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{7}$.Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1/7.
Ví dụ 4. Giải phương trình $x\sqrt {y - 1} + 2y\sqrt {x - 1} = \frac{3}{2}xy$.
Ta có
$x\sqrt {y - 1} + 2y\sqrt {x - 1} = - y(x - 2\sqrt {x - 1} ) - \frac{1}{2}x(y - 2\sqrt {y - 1} ) + \frac{3}{2}xy = - y{(\sqrt {x - 1} - 1)^2} - \frac{1}{2}x{(\sqrt {y - 1} - 1)^2} + \frac{3}{2}xy$
.
Khi đó phương trình đã cho tương đương với $\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1;y \ge 1\\y{(\sqrt {x - 1} - 1)^2} + \frac{1}{2}x{(\sqrt {y - 1} - 1)^2} = 0\end{array} \right.$.
Từ đó ta được phương trình có nghiệm là (x, y) = (2, 2).
Bài tập đề nghị
1. $\sqrt {4x - 1} + \sqrt {4{x^2} - 1} = 1$
2. $\sqrt {{x^2} - x + 19} + \sqrt {7{x^2} + 8x + 13} + \sqrt {13{x^2} + 17x + 7} = 3\sqrt 3 (x + 2)$
3. $2\sqrt[4]{{27{x^2} + 24x + \frac{{28}}{3}}} = 1 + \sqrt {\frac{{27}}{2}x + 6} $
4. $\frac{{x - 3{x^2}}}{2} + \sqrt {2{x^4} - {x^3} + 7{x^2} - 3x + 3} = 2$
5. $\sqrt {2 - {x^2}} + \sqrt {2 - \frac{1}{{{x^2}}}} = 4 - \left( {x + \frac{1}{x}} \right) $
6. $13\sqrt {{x^2} - {x^4}} + 9\sqrt {{x^2} + {x^4}} = 16$
7. $\sqrt[3]{{{x^2} - 2}} = \sqrt {2 - {x^3}} $
8. $\sqrt {(x + 2)(2x - 1)} - 3\sqrt {x + 6} = 4 - \sqrt {(x + 6)(2x - 1)} + 3\sqrt {x + 2} $
9. $\sqrt {2{x^2} - 1} + \sqrt {{x^2} - 3x + 2} = \sqrt {2{x^2} + 2x + 3} + \sqrt {{x^2} - x + 6} $
10. $\frac{{16}}{{\sqrt {x - 1996} }} + \frac{1}{{\sqrt {y - 2008} }} = 10 - (\sqrt {x - 1996} + \sqrt {y - 2008} )$
Khi giải phương trình vô tỷ (chẳng hạn f(x) = g(x) ) bằng phương pháp đánh giá, thường là để ta chỉ ra phương trình chỉ có một nghiệm (nghiệm duy nhất).Ta thường sử dụng các bất đẳng thức cổ điển Cô si, Bunhiacopxki, đưa vế trái về tổng bình phương các biểu thức, đồng thời vế phải bằng 0. Ta cũng có thể sử dụng tính đơn điệu của hàm số (có thể thấy ngay hoặc sử dụng đạo hàm xét sự biến thiên của hàm số) để đánh giá một cách hợp lý.
Thường ta đánh giá như sau: $\left\{ \begin{array}{l}f(x) = g(x)\\f(x) \ge C( \le C)\\g(x) \le C( \ge C)\end{array} \right. \Leftrightarrow f(x) = g(x) = C$, hoặc đánh giá f(x) ≥ g(x) cũng như là f(x) ≤ g(x) …
Ngoài ra đối với bài cụ thể nào đó ta sẽ có cách đánh giá khác.
Cũng có một số phương trình vô tỷ có nhiều hơn một ẩn mà ta giải bằng phương pháp đánh giá.
2. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình sau: $\frac{3}{{\left| {x + 1} \right|}} + \frac{{\left| {x + 1} \right|}}{3} = 2$.
Giải
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho vế trái phương trình ta có $\frac{3}{{\left| {x + 1} \right|}} + \frac{{\left| {x + 1} \right|}}{3} \ge 2\sqrt {\frac{3}{{\left| {x + 1} \right|}}\frac{{\left| {x + 1} \right|}}{3}} = 2$ bằng vế phải dấu bằng xẩy ra khi $\frac{3}{{\left| {x + 1} \right|}} = \frac{{\left| {x + 1} \right|}}{3}$ khi x = 2, x = 4 vậy phương trình có 2 nghiệm x =2, x = 4Ví dụ 2. Giải phương trình: $\sqrt {3{x^2} + 6x + 7} + \sqrt {5{x^2} + 10x + 14} = 4 - 2x - {x^2}$.
Giải
Bài này quá đơn giản, đánh giá VT ≥ 5 còn VP ≤ 5, do đó hai vế cùng bằng 5. Ta được phương trình có nghiệm duy nhất là x = - 1.Ví dụ 3. Giải phương trình $\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {x + 1} }} + \sqrt x = \sqrt {x + 9} $.
Giải
Điều kiện x ≥ 0. Theo BĐT Bunhiacopxki, ta được
$V{T^2} = {\left( {2\sqrt 2 \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }} + \sqrt {x + 1} \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {x + 1} }}} \right)^2} \le (x + 9)\left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{x}{{x + 1}}} \right) = V{P^2}$
Phương trình có nghiệm khi dấu đẳng thức xảy ra hay $\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {x + 1} }} = \frac{{\frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}}}{{\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {x + 1} }}}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{7}$.Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1/7.
Ví dụ 4. Giải phương trình $x\sqrt {y - 1} + 2y\sqrt {x - 1} = \frac{3}{2}xy$.
Giải
Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ 1.Ta có
$x\sqrt {y - 1} + 2y\sqrt {x - 1} = - y(x - 2\sqrt {x - 1} ) - \frac{1}{2}x(y - 2\sqrt {y - 1} ) + \frac{3}{2}xy = - y{(\sqrt {x - 1} - 1)^2} - \frac{1}{2}x{(\sqrt {y - 1} - 1)^2} + \frac{3}{2}xy$
.
Khi đó phương trình đã cho tương đương với $\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1;y \ge 1\\y{(\sqrt {x - 1} - 1)^2} + \frac{1}{2}x{(\sqrt {y - 1} - 1)^2} = 0\end{array} \right.$.
Từ đó ta được phương trình có nghiệm là (x, y) = (2, 2).
Bài tập đề nghị
1. $\sqrt {4x - 1} + \sqrt {4{x^2} - 1} = 1$
2. $\sqrt {{x^2} - x + 19} + \sqrt {7{x^2} + 8x + 13} + \sqrt {13{x^2} + 17x + 7} = 3\sqrt 3 (x + 2)$
3. $2\sqrt[4]{{27{x^2} + 24x + \frac{{28}}{3}}} = 1 + \sqrt {\frac{{27}}{2}x + 6} $
4. $\frac{{x - 3{x^2}}}{2} + \sqrt {2{x^4} - {x^3} + 7{x^2} - 3x + 3} = 2$
5. $\sqrt {2 - {x^2}} + \sqrt {2 - \frac{1}{{{x^2}}}} = 4 - \left( {x + \frac{1}{x}} \right) $
6. $13\sqrt {{x^2} - {x^4}} + 9\sqrt {{x^2} + {x^4}} = 16$
7. $\sqrt[3]{{{x^2} - 2}} = \sqrt {2 - {x^3}} $
8. $\sqrt {(x + 2)(2x - 1)} - 3\sqrt {x + 6} = 4 - \sqrt {(x + 6)(2x - 1)} + 3\sqrt {x + 2} $
9. $\sqrt {2{x^2} - 1} + \sqrt {{x^2} - 3x + 2} = \sqrt {2{x^2} + 2x + 3} + \sqrt {{x^2} - x + 6} $
10. $\frac{{16}}{{\sqrt {x - 1996} }} + \frac{1}{{\sqrt {y - 2008} }} = 10 - (\sqrt {x - 1996} + \sqrt {y - 2008} )$
