Phương pháp: Dựa vào quy tắc cộng, quy tắc nhân và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
Một số dấu hiệu giúp chúng ta nhận biết được hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp.
1. Hoán vị: Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của $n$ phần tử là:
• Tất cả $n$ phần tử đều phải có mặt.
• Mỗi phần tử xuất hiện một lần.
• Có thứ tự giữa các phần tử.
2. Chỉnh hợp: Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi:
• Cần chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần.
• $k$ phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự.
3. Tổ hợp: Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi:
• Cần chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần.
• Không quan tâm đến thứ tự $k$ phần tử đã chọn.
Bài toán đếm số
Ví dụ 1. Từ các chữ số $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có $5$ chữ số khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và $2$ chữ số lẻ đứng cạnh nhau?
Gọi$A$ là số tự nhiên có hai chữ số lẻ khác nhau lấy từ các số $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.$
Số cách chọn được $A$ là $A_{3}^{2}=6$.
Số chẵn có $5$ chữ số khác nhau, trong đó có đúng hai chữ số lẻ và $2$ chữ số lẻ đứng cạnh nhau phải chứa $A$ và ba trong $4$ chữ số $0, 2, 4, 6.$
Gọi $\overline{abcd}$ $(a, b, c, d \in \{ A,0,2,4,6\})$ là số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
• Trường hợp 1: Nếu $a=A$ thì có $1$ cách chọn $a$ và $A_{4}^{3}$ cách chọn $b, c, d$.
• Trường hợp 2: Nếu $a \ne A$ thi có $3$ cách chọn $a.$
+ Nếu $b=A$ có $1$ cách chọn $b$ và $A_{3}^{2}$ cách chọn $c,d$.
+ Nếu $c=A$ có $1$ cách chọn $c$ và $A_{3}^{2}$ cách chọn $b,d$.
Vậy có $A_{3}^{2}\left( A_{4}^{3}+3\left( 1.A_{3}^{2}+1.A_{3}^{2} \right) \right)=360$ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2. Từ các số $1, 2, 3, 4, 5, 6$ lập được bao nhiêu số tự nhiên:
1. Gồm $4$ chữ số.
2. Gồm $3$ chữ số đôi một khác nhau.
3. Gồm $4$ chữ số đôi một khác nhau và là chữ số tự nhiên chẵn.
4. Gồm $4$ chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng chữ số $1$.
5. Gồm $6$ chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số $1$ và $2$ không đứng cạnh nhau.
1. Gọi số cần lập là: $x = \overline {abcd} .$ Ta có: $a$ có $6$ cách chọn, $b$ có $6$ cách chọn, $c$ có $6$ cách chọn, $d$ có $6$ cách chọn. Vậy có ${6^4} = 1296$ số.
2. Mỗi số cần lập ứng với một chỉnh hợp chập $3$ của $6$ phần tử $1, 2, 3, 4, 5, 6.$ Nên số các số cần lập là $A_6^3 = 120$ số.
3. Gọi số cần lập là: $x = \overline {abcd} .$ Vì $x$ chẵn nên có $3$ cách chọn $d$. Ứng với mỗi cách chọn $d$ sẽ có $A_{5}^{3}$ cách chọn $a, b, c$. Vậy có $3.A_{5}^{3}=180$ số.
4. Gọi số cần lập là: $x=\overline{abcd}.$ Vì $a\ne 1$ nên $a$ có $5$ cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn $a$ ta có $A_{5}^{3}$ cách chọn $b, c, d$. Vậy có $5.A_{5}^{3}=300$ số.
5. Gọi $x$ là số có $6$ chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số $1$ và $2$ luôn đứng cạnh nhau.
Đặt $y=12$ khi đó $x$ có dạng $\overline{abcde}$ với $a,b,c,d,e$ đôi một khác nhau và thuộc tập $\left\{ y,3,4,5,6 \right\}$ nên có ${{P}_{5}}=5!=120$ số.
Khi hoán vị hai số $1, 2$ ta được một số khác nên có $120.2=240$ số $x.$
Vậy số thỏa yêu cầu bài toán là: ${{P}_{6}}-240=480$ số.
Ví dụ 3. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $7$ chữ số, biết rằng chữ số $2$ có mặt hai lần, chữ số $3$ có mặt ba lần và các chữ số còn lại có mặt nhiều nhất một lần?
Ta đếm các số có $7$ chữ số được chọn từ các số $\left\{ 2, 2, 3, 3, 3, a, b \right\}$ với $a, b \in \left\{0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \right\}$, kể cả số $0$ đứng đầu.
Ta có được $7!$ số như vậy. Tuy nhiên khi hoán vị hai số $2$ cho nhau hoặc các số $3$ cho nhau thì ta được số không đổi do đó có tất cả $\frac{7!}{2!.3!}=420$ số.
Vì có $A_{8}^{2}$ cách chọn $a,b$ nên ta có: $480.A_{8}^{2}=26880$ số.
Ta đếm các số có $6$ chữ số được chọn từ các số $\left\{ 2,2,3,3,3,x \right\}$ với $x\in \left\{ 1,4,5,6,7,8,9 \right\}$.
Tương tự như trên ta tìm được $\frac{6!}{2!.3!}A_{7}^{1}=420$ số.
Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán: $26880 – 420 = 26460$.
Ví dụ 4. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số hàng ngàn lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn hàng đơn vị.
Gọi $x = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} $ với $9 \ge {a_1} > {a_2} > {a_3} > {a_4} \ge 0$ là số cần lập.
$X = \left\{ {0;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}…;{\rm{ }}8;{\rm{ }}9} \right\}.$
Từ $10$ phần tử của $X$ ta chọn ra $4$ phần tử bất kỳ thì chỉ lập được $1$ số $A$, nghĩa là một tổ hợp chập $4$ của $10.$
Vậy có $C_{10}^4 = 210$ số.
Ví dụ 5. Từ các số $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau và tổng các chữ số ở hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng $8.$
Gọi $n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} $ là một số thỏa yêu cầu bài toán thì ${a_3} + {a_4} + {a_5} = 8.$
Có hai bộ $3$ số có tổng bằng $8$ trong các số $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ là: $\left\{ {1;2;5} \right\}$ và $\left\{ {1;3;4} \right\}.$
Nếu ${a_3};{a_4};{a_5} \in \left\{ {1;2;5} \right\}$ thì ${a_3},{a_4},{a_5}$ có $3!$ cách chọn và ${a_1},{a_2},{a_6}$ có $A_6^3$ cách chọn suy ra có $3!A_6^3 = 720$ số thỏa yêu cầu.
Nếu ${a_3};{a_4};{a_5} \in \left\{ {1;2;5} \right\}$ thì cũng có $720$ số thỏa yêu cầu.
Vậy có $720 + 720 = 1400$ số thỏa yêu cầu.
Một số dấu hiệu giúp chúng ta nhận biết được hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp.
1. Hoán vị: Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của $n$ phần tử là:
• Tất cả $n$ phần tử đều phải có mặt.
• Mỗi phần tử xuất hiện một lần.
• Có thứ tự giữa các phần tử.
2. Chỉnh hợp: Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi:
• Cần chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần.
• $k$ phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự.
3. Tổ hợp: Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi:
• Cần chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần.
• Không quan tâm đến thứ tự $k$ phần tử đã chọn.
Bài toán đếm số
Ví dụ 1. Từ các chữ số $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có $5$ chữ số khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và $2$ chữ số lẻ đứng cạnh nhau?
Gọi$A$ là số tự nhiên có hai chữ số lẻ khác nhau lấy từ các số $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.$
Số cách chọn được $A$ là $A_{3}^{2}=6$.
Số chẵn có $5$ chữ số khác nhau, trong đó có đúng hai chữ số lẻ và $2$ chữ số lẻ đứng cạnh nhau phải chứa $A$ và ba trong $4$ chữ số $0, 2, 4, 6.$
Gọi $\overline{abcd}$ $(a, b, c, d \in \{ A,0,2,4,6\})$ là số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
• Trường hợp 1: Nếu $a=A$ thì có $1$ cách chọn $a$ và $A_{4}^{3}$ cách chọn $b, c, d$.
• Trường hợp 2: Nếu $a \ne A$ thi có $3$ cách chọn $a.$
+ Nếu $b=A$ có $1$ cách chọn $b$ và $A_{3}^{2}$ cách chọn $c,d$.
+ Nếu $c=A$ có $1$ cách chọn $c$ và $A_{3}^{2}$ cách chọn $b,d$.
Vậy có $A_{3}^{2}\left( A_{4}^{3}+3\left( 1.A_{3}^{2}+1.A_{3}^{2} \right) \right)=360$ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2. Từ các số $1, 2, 3, 4, 5, 6$ lập được bao nhiêu số tự nhiên:
1. Gồm $4$ chữ số.
2. Gồm $3$ chữ số đôi một khác nhau.
3. Gồm $4$ chữ số đôi một khác nhau và là chữ số tự nhiên chẵn.
4. Gồm $4$ chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng chữ số $1$.
5. Gồm $6$ chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số $1$ và $2$ không đứng cạnh nhau.
1. Gọi số cần lập là: $x = \overline {abcd} .$ Ta có: $a$ có $6$ cách chọn, $b$ có $6$ cách chọn, $c$ có $6$ cách chọn, $d$ có $6$ cách chọn. Vậy có ${6^4} = 1296$ số.
2. Mỗi số cần lập ứng với một chỉnh hợp chập $3$ của $6$ phần tử $1, 2, 3, 4, 5, 6.$ Nên số các số cần lập là $A_6^3 = 120$ số.
3. Gọi số cần lập là: $x = \overline {abcd} .$ Vì $x$ chẵn nên có $3$ cách chọn $d$. Ứng với mỗi cách chọn $d$ sẽ có $A_{5}^{3}$ cách chọn $a, b, c$. Vậy có $3.A_{5}^{3}=180$ số.
4. Gọi số cần lập là: $x=\overline{abcd}.$ Vì $a\ne 1$ nên $a$ có $5$ cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn $a$ ta có $A_{5}^{3}$ cách chọn $b, c, d$. Vậy có $5.A_{5}^{3}=300$ số.
5. Gọi $x$ là số có $6$ chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số $1$ và $2$ luôn đứng cạnh nhau.
Đặt $y=12$ khi đó $x$ có dạng $\overline{abcde}$ với $a,b,c,d,e$ đôi một khác nhau và thuộc tập $\left\{ y,3,4,5,6 \right\}$ nên có ${{P}_{5}}=5!=120$ số.
Khi hoán vị hai số $1, 2$ ta được một số khác nên có $120.2=240$ số $x.$
Vậy số thỏa yêu cầu bài toán là: ${{P}_{6}}-240=480$ số.
Ví dụ 3. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $7$ chữ số, biết rằng chữ số $2$ có mặt hai lần, chữ số $3$ có mặt ba lần và các chữ số còn lại có mặt nhiều nhất một lần?
Ta đếm các số có $7$ chữ số được chọn từ các số $\left\{ 2, 2, 3, 3, 3, a, b \right\}$ với $a, b \in \left\{0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \right\}$, kể cả số $0$ đứng đầu.
Ta có được $7!$ số như vậy. Tuy nhiên khi hoán vị hai số $2$ cho nhau hoặc các số $3$ cho nhau thì ta được số không đổi do đó có tất cả $\frac{7!}{2!.3!}=420$ số.
Vì có $A_{8}^{2}$ cách chọn $a,b$ nên ta có: $480.A_{8}^{2}=26880$ số.
Ta đếm các số có $6$ chữ số được chọn từ các số $\left\{ 2,2,3,3,3,x \right\}$ với $x\in \left\{ 1,4,5,6,7,8,9 \right\}$.
Tương tự như trên ta tìm được $\frac{6!}{2!.3!}A_{7}^{1}=420$ số.
Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán: $26880 – 420 = 26460$.
Ví dụ 4. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số hàng ngàn lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn hàng đơn vị.
Gọi $x = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} $ với $9 \ge {a_1} > {a_2} > {a_3} > {a_4} \ge 0$ là số cần lập.
$X = \left\{ {0;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}…;{\rm{ }}8;{\rm{ }}9} \right\}.$
Từ $10$ phần tử của $X$ ta chọn ra $4$ phần tử bất kỳ thì chỉ lập được $1$ số $A$, nghĩa là một tổ hợp chập $4$ của $10.$
Vậy có $C_{10}^4 = 210$ số.
Ví dụ 5. Từ các số $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau và tổng các chữ số ở hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng $8.$
Gọi $n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} $ là một số thỏa yêu cầu bài toán thì ${a_3} + {a_4} + {a_5} = 8.$
Có hai bộ $3$ số có tổng bằng $8$ trong các số $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ là: $\left\{ {1;2;5} \right\}$ và $\left\{ {1;3;4} \right\}.$
Nếu ${a_3};{a_4};{a_5} \in \left\{ {1;2;5} \right\}$ thì ${a_3},{a_4},{a_5}$ có $3!$ cách chọn và ${a_1},{a_2},{a_6}$ có $A_6^3$ cách chọn suy ra có $3!A_6^3 = 720$ số thỏa yêu cầu.
Nếu ${a_3};{a_4};{a_5} \in \left\{ {1;2;5} \right\}$ thì cũng có $720$ số thỏa yêu cầu.
Vậy có $720 + 720 = 1400$ số thỏa yêu cầu.
