1. Một số lưu ý
Nếu |x| ≤ 1 thì có một số t với t ∈ [- π/2, π/2] sao cho: sin t = x và một số y với y ∈ [0, π] sao cho x = cosy
Nếu 0 ≤ x ≤ 1 thì có một số t với t ∈ [0, π/2] sao cho: sin t = x và một số y với y ∈ [0, π/2] sao cho x = cosy
Với mỗi số thực x có t ∈ (- π/2, π/2) sao cho: x = tan(t)
Nếu: x, y là hai số thực thỏa: ${x^2} + {y^2} = 1$, thì có một số t với 0 ≤ t ≤ 2π, sao cho x = sin(t), y = cos(t)
2. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = 2\sqrt 2 $.
$\frac{1}{{\cos y}} + \frac{1}{{\sin y}} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \sin y + \cos y = \sqrt 2 .\sin 2y$. Đặt $\sin y + \cos y = z, - \sqrt 2 \le z \le \sqrt 2 $.
suy ra $\sin 2y = 2\sin y\cos y = {z^2} – 1$, ta được $z = \sqrt 2$ và $z = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
Với $z = \sqrt 2$ thì y = π/4, do đó $x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
Với $z = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ thì y = 11π/12, do đó $x = - \frac{{1 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}$.
Vậy phương trình có nghiệm là $x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ và $x = - \frac{{1 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}$.
Ví dụ 2. Giải phương trình ${x^3} + \sqrt {{{(1 - {x^2})}^3}} = x\sqrt {2(1 - {x^2})} $.
Đặt x = siny, y ∈ [- π/2, π/2] suy ra cosy ≥ 0.
Khi đó phương trình trở thành ${\sin ^3}y + {\cos ^3}y = \sqrt 2 \sin y\cos y$.
Đặt $\sin y + \cos y = z,z \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$ (chính xác là $z \in \left[ { - 1;\sqrt 2 } \right]$), biến đổi phương trình ta được
$\begin{array}{l}{z^3} + \sqrt 2 .{z^2} - 3z - \sqrt 2 = 0\\ \Leftrightarrow (z - \sqrt 2 )(z + \sqrt 2 - 1)(z + \sqrt 2 + 1) = 0\\ \Leftrightarrow z = \sqrt 2 \vee z = 1 - \sqrt 2 \end{array}$
Nếu $z = \sqrt 2 $ thì thì y = π/4, do đó $x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
Nếu $z = 1 - \sqrt 2 $ thì
$\begin{array}{l}
\sin y + \cos y = 1 - \sqrt 2 \Leftrightarrow x + \sqrt {1 - {x^2}} = 1 - \sqrt 2 \\
\Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}} = 1 - \sqrt 2 - x \ge 0\\
\Leftrightarrow x = \frac{{1 - \sqrt 2 - \sqrt {2\sqrt 2 - 1} }}{2}
\end{array}$
Vậy phương trình có 2 nghiệm trên.
Ví dụ 3. Giải phương trình ${x^2}\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}} \right) = 1$
Khi đó ptt: $\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\left( {1 + \cot t} \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos t = 0\\
\sin 2t = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.$
Phương trình có nghiệm : $x = - \sqrt 2 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)$
Bài tập đề nghị
1. $4{x^3} - 3x = \sqrt {1 - {x^2}} $
2. $\sqrt {4x - 1} + \sqrt {4{x^2} - 1} = 1$
3. $5 + 3\sqrt {1 - {x^2}} = 8\left( {{x^6} + {{(1 - {x^2})}^3}} \right)$
4. $(\sqrt 3 - 2x)\sqrt {1 - {x^2}} = \sqrt 3 x - 2{x^2}$
5. $\frac{{x(1 + {x^2})}}{{1 - {x^2}}} = 3\sqrt {1 - {x^2}} $
6. $\frac{{{{(1 + {x^2})}^3}}}{{6{x^5} - 20{x^3} + 6x}} = \sqrt {1 + {x^2}} $
7. $2{x^2} + \sqrt {1 - x} + 2x\sqrt {1 - {x^2}} = 1$
8. $\sqrt {{x^2} + 1} = \frac{{{x^2} + 1}}{{2x}} + \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}{{2x\left( {1 - {x^2}} \right)}}$
Nếu |x| ≤ 1 thì có một số t với t ∈ [- π/2, π/2] sao cho: sin t = x và một số y với y ∈ [0, π] sao cho x = cosy
Nếu 0 ≤ x ≤ 1 thì có một số t với t ∈ [0, π/2] sao cho: sin t = x và một số y với y ∈ [0, π/2] sao cho x = cosy
Với mỗi số thực x có t ∈ (- π/2, π/2) sao cho: x = tan(t)
Nếu: x, y là hai số thực thỏa: ${x^2} + {y^2} = 1$, thì có một số t với 0 ≤ t ≤ 2π, sao cho x = sin(t), y = cos(t)
2. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = 2\sqrt 2 $.
Giải
Đặt x = cosy, y ∈ (0; π), y ≠ π/2. Phương trình đã cho trở thành $\frac{1}{{\cos y}} + \frac{1}{{\sin y}} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \sin y + \cos y = \sqrt 2 .\sin 2y$. Đặt $\sin y + \cos y = z, - \sqrt 2 \le z \le \sqrt 2 $.
suy ra $\sin 2y = 2\sin y\cos y = {z^2} – 1$, ta được $z = \sqrt 2$ và $z = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
Với $z = \sqrt 2$ thì y = π/4, do đó $x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
Với $z = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ thì y = 11π/12, do đó $x = - \frac{{1 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}$.
Vậy phương trình có nghiệm là $x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ và $x = - \frac{{1 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}$.
Ví dụ 2. Giải phương trình ${x^3} + \sqrt {{{(1 - {x^2})}^3}} = x\sqrt {2(1 - {x^2})} $.
Giải
Đk: - 1 ≤ x ≤ 1.Đặt x = siny, y ∈ [- π/2, π/2] suy ra cosy ≥ 0.
Khi đó phương trình trở thành ${\sin ^3}y + {\cos ^3}y = \sqrt 2 \sin y\cos y$.
Đặt $\sin y + \cos y = z,z \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$ (chính xác là $z \in \left[ { - 1;\sqrt 2 } \right]$), biến đổi phương trình ta được
$\begin{array}{l}{z^3} + \sqrt 2 .{z^2} - 3z - \sqrt 2 = 0\\ \Leftrightarrow (z - \sqrt 2 )(z + \sqrt 2 - 1)(z + \sqrt 2 + 1) = 0\\ \Leftrightarrow z = \sqrt 2 \vee z = 1 - \sqrt 2 \end{array}$
Nếu $z = \sqrt 2 $ thì thì y = π/4, do đó $x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
Nếu $z = 1 - \sqrt 2 $ thì
$\begin{array}{l}
\sin y + \cos y = 1 - \sqrt 2 \Leftrightarrow x + \sqrt {1 - {x^2}} = 1 - \sqrt 2 \\
\Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}} = 1 - \sqrt 2 - x \ge 0\\
\Leftrightarrow x = \frac{{1 - \sqrt 2 - \sqrt {2\sqrt 2 - 1} }}{2}
\end{array}$
Vậy phương trình có 2 nghiệm trên.
Ví dụ 3. Giải phương trình ${x^2}\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}} \right) = 1$
Giải
đk: |x| > 1, ta có thể đặt $x = \frac{1}{{\sin t}},{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} t \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$Khi đó ptt: $\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\left( {1 + \cot t} \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos t = 0\\
\sin 2t = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.$
Phương trình có nghiệm : $x = - \sqrt 2 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)$
Bài tập đề nghị
1. $4{x^3} - 3x = \sqrt {1 - {x^2}} $
2. $\sqrt {4x - 1} + \sqrt {4{x^2} - 1} = 1$
3. $5 + 3\sqrt {1 - {x^2}} = 8\left( {{x^6} + {{(1 - {x^2})}^3}} \right)$
4. $(\sqrt 3 - 2x)\sqrt {1 - {x^2}} = \sqrt 3 x - 2{x^2}$
5. $\frac{{x(1 + {x^2})}}{{1 - {x^2}}} = 3\sqrt {1 - {x^2}} $
6. $\frac{{{{(1 + {x^2})}^3}}}{{6{x^5} - 20{x^3} + 6x}} = \sqrt {1 + {x^2}} $
7. $2{x^2} + \sqrt {1 - x} + 2x\sqrt {1 - {x^2}} = 1$
8. $\sqrt {{x^2} + 1} = \frac{{{x^2} + 1}}{{2x}} + \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}{{2x\left( {1 - {x^2}} \right)}}$
