1. Một số dạng cơ bản
a. Phương trình f(x) = k. Nếu f(x) đơn điệu thì phương trình f(x) = k có nghiệm duy nhất x = x$_0$ (Để tìm được x$_0$ ta nhẩm nghiệm).
b. Phương trình f(x) = g(x). Nếu f(x) đồng biến và f(x) nghịch biến thì phương trình f(x) = g(x). có nghiệm duy nhất x = x$_0$ (Để tìm được x$_0$ ta nhẩm nghiệm).
c. Phương trình f(u) = g(v). Nếu f(x) đơn điệu thì phương trình f(u) = g(v) → u = v.
2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình: $\sqrt {4x - 1} + \sqrt {4{x^2} - 1} = 1;\,\,DK:\,x \ge ½$
Có đạo hàm ${y^,} = \frac{2}{{\sqrt {4x - 1} }} + \frac{{4x}}{{\sqrt {4{x^2} - 1} }} > 0\forall x \ge ½$ hàm số luôn đồng biến trên txđ vậy pt không có quá một nghiệm nhẩm nghiệm ta thấy x=1/2 là nghiệm duy nhất
Ví dụ 2. Giải phương trình: ${x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - 3x} + 4 = 0$.
Ví dụ 3.Giải phương trình: $\sqrt {3 - x + {x^2}} - \sqrt {2 + x - {x^2}} = 1$
điều kiện: -3 ≤ t ≤ 2
Hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {3 + t} $ với tập xác định: x ∈ [-3; 2]
$f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {3 + t} }} > o$ hàm số tăng.
${\rm{g(t) }} = 1 + \sqrt {2 - t} \Rightarrow g{(t)^,} = - \frac{1}{{2\sqrt {2 - t} }} < 0$ hàm số nghịch biến vậy chúng chỉ có thể giao nhau tại một điểm duy nhất , thấy t =1 là nghiệm do đó t=1 suy ra pt x2- x =1 có nghiệm $x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}$
Ví dụ 4. Giải phương trình : $\left( {2x + 1} \right)\left( {2 + \sqrt {4{x^2} + 4x + 4} } \right) + 3x\left( {2 + \sqrt {9{x^2} + 3} } \right) = 0$
Xét hàm số $f\left( t \right) = t\left( {2 + \sqrt {{t^2} + 3} } \right)$, là hàm đồng biến trên R, ta có x = - 1/5
Ví dụ 5. Giải phương trình ${x^3} - 4{x^2} - 5x + 6 = \sqrt[3]{{7{x^2} + 9x - 4}}$
Xét hàm số :
$f\left( y \right) = f\left[ {\left( {x + 1} \right)} \right] \Leftrightarrow y = x + 1 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right) = \sqrt[3]{{7{x^2} + 9x - 4}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 5\\
x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}
\end{array} \right.$
Bài tập đề nghị
1. $\sqrt {1 - x} - \sqrt {1 + x} = 2{x^3} + 6x$
2. $\sqrt[3]{{6x + 1}} = 8{x^3} - 4x - 1$
a. Phương trình f(x) = k. Nếu f(x) đơn điệu thì phương trình f(x) = k có nghiệm duy nhất x = x$_0$ (Để tìm được x$_0$ ta nhẩm nghiệm).
b. Phương trình f(x) = g(x). Nếu f(x) đồng biến và f(x) nghịch biến thì phương trình f(x) = g(x). có nghiệm duy nhất x = x$_0$ (Để tìm được x$_0$ ta nhẩm nghiệm).
c. Phương trình f(u) = g(v). Nếu f(x) đơn điệu thì phương trình f(u) = g(v) → u = v.
2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình: $\sqrt {4x - 1} + \sqrt {4{x^2} - 1} = 1;\,\,DK:\,x \ge ½$
Giải
Xét hàm số $y = \sqrt {4x - 1} + \sqrt {4{x^2} - 1} ;\,\,DK:\,\,\,x \ge ½$Có đạo hàm ${y^,} = \frac{2}{{\sqrt {4x - 1} }} + \frac{{4x}}{{\sqrt {4{x^2} - 1} }} > 0\forall x \ge ½$ hàm số luôn đồng biến trên txđ vậy pt không có quá một nghiệm nhẩm nghiệm ta thấy x=1/2 là nghiệm duy nhất
Ví dụ 2. Giải phương trình: ${x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - 3x} + 4 = 0$.
Giải
Xét hàm số $y = {x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - 3x} + 4$ txđ x ≤ 1/3 có đạo hàm $y{'^`} = 5{x^4} + 3{x^2} + \frac{3}{{2\sqrt {1 - 3x} }} > 0$ h/s đồng biến trên txđ vậy phương trình không có quá một nghiệmTa thấy x= -1 là nghiệm duy nhất của bài toán.Ví dụ 3.Giải phương trình: $\sqrt {3 - x + {x^2}} - \sqrt {2 + x - {x^2}} = 1$
Giải
$\sqrt {3 - x + {x^2}} - \sqrt {2 + x - {x^2}} = 1 \Leftrightarrow \sqrt {3 - x + {x^2}} = \sqrt {2 + x - {x^2}} + 1$ đặt t = x$^2$- xđiều kiện: -3 ≤ t ≤ 2
Hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {3 + t} $ với tập xác định: x ∈ [-3; 2]
$f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {3 + t} }} > o$ hàm số tăng.
${\rm{g(t) }} = 1 + \sqrt {2 - t} \Rightarrow g{(t)^,} = - \frac{1}{{2\sqrt {2 - t} }} < 0$ hàm số nghịch biến vậy chúng chỉ có thể giao nhau tại một điểm duy nhất , thấy t =1 là nghiệm do đó t=1 suy ra pt x2- x =1 có nghiệm $x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}$
Ví dụ 4. Giải phương trình : $\left( {2x + 1} \right)\left( {2 + \sqrt {4{x^2} + 4x + 4} } \right) + 3x\left( {2 + \sqrt {9{x^2} + 3} } \right) = 0$
Giải
$\begin{array}{l}\left( {2x + 1} \right)\left( {2 + \sqrt {4{x^2} + 4x + 4} } \right) + 3x\left( {2 + \sqrt {9{x^2} + 3} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {2 + \sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^2} + 3} } \right) = \left( { - 3x} \right)\left( {2 + \sqrt {{{\left( { - 3x} \right)}^2} + 3} } \right) \Leftrightarrow f\left( {2x + 1} \right) = f\left( { - 3x} \right)\end{array}$Xét hàm số $f\left( t \right) = t\left( {2 + \sqrt {{t^2} + 3} } \right)$, là hàm đồng biến trên R, ta có x = - 1/5
Ví dụ 5. Giải phương trình ${x^3} - 4{x^2} - 5x + 6 = \sqrt[3]{{7{x^2} + 9x - 4}}$
Giải
Đặt $y = \sqrt[3]{{7{x^2} + 9x - 4}}$, ta có hệ : $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 4{x^2} - 5x + 6 = y\\7{x^2} + 9x - 4 = {y^3}\end{array} \right. \Rightarrow {y^3} + y = {\left( {x + 1} \right)^3} + \left( {x + 1} \right)$Xét hàm số :
$f\left( y \right) = f\left[ {\left( {x + 1} \right)} \right] \Leftrightarrow y = x + 1 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right) = \sqrt[3]{{7{x^2} + 9x - 4}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 5\\
x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}
\end{array} \right.$
Bài tập đề nghị
1. $\sqrt {1 - x} - \sqrt {1 + x} = 2{x^3} + 6x$
2. $\sqrt[3]{{6x + 1}} = 8{x^3} - 4x - 1$
