1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung
a. Phương pháp
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x$_0$ như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích (x – x$_0$)A(x) = 0 ta có thể giải phương trình A(x) = 0 hoặc chứng minh A(x) = 0 vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía A(x) = 0 vô nghiệm
b. Ví dụ
Ví dụ 1 . Giải phương trình sau : $\sqrt {3{x^2} - 5x + 1} - \sqrt {{x^2} - 2} = \sqrt {3\left( {{x^2} - x - 1} \right)} - \sqrt {{x^2} - 3x + 4} $
Ta có thể trục căn thức 2 vế : $\frac{{ - 2x + 4}}{{\sqrt {3{x^2} - 5x + 1} + \sqrt {3\left( {{x^2} - x + 1} \right)} }} = \frac{{3x - 6}}{{\sqrt {{x^2} - 2} + \sqrt {{x^2} - 3x + 4} }}$
Dể dàng nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : $\sqrt {{x^2} + 12} + 5 = 3x + \sqrt {{x^2} + 5} $
Ta nhận thấy: x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng
(x – 2)A(x) = 0 , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau
$\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 12} - 4 = 3x - 6 + \sqrt {{x^2} + 5} - 3 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 4}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} = 3\left( {x - 2} \right) + \frac{{{x^2} - 4}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}}\\
\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {\frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} - \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\end{array}$
Dễ dàng chứng minh được : $\frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} - \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} - 3 < 0,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \forall x > \frac{5}{3}$
Ví dụ 3. Giải phương trình: $\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + x = \sqrt {{x^3} - 1} $
Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình
$\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} - 2 + x - 3 = \sqrt {{x^3} - 2} - 5 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left[ {1 + \frac{{x + 3}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 4}}} \right] = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)}}{{\sqrt {{x^3} - 2} + 5}}$
Ta chứng minh: $1 + \frac{{x + 3}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 4}} = 1 + \frac{{x + 3}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 1} \right)}^2} + 3}} < 2 < \frac{{{x^2} + 3x + 9}}{{\sqrt {{x^3} - 2} + 5}}$
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3
2. Nhân liên hợp
Ví dụ 4. Giải phương trình: $\sqrt {10{x^2} - 31x + 35} - \sqrt {7{x^2} - 13x + 8} = x - 3$ (1)
Ta biến đổi phương trình như sau:
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^2} - 18x + 27 = (x - 3)(\sqrt {10{x^2} - 31x + 35} + \sqrt {7{x^2} - 13x + 8} )\\ \Leftrightarrow 3{(x - 3)^2} = (x - 3)(\sqrt {10{x^2} - 31x + 35} + \sqrt {7{x^2} - 13x + 8} )\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\\sqrt {10{x^2} - 31x + 35} + \sqrt {7{x^2} - 13x + 8} = 3(x - 3)\quad \quad (2)\end{array} \right.\end{array}$
Từ (1) và (2) suy ra $\sqrt {7{x^2} - 13x + 8} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 3 \ge 0\\7{x^2} - 13x + 8 = {(x - 3)^2}\end{array} \right.$ (Hệ này vô nghiệm)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=3.
Ví dụ 5. Cho các số thực x, y thoả mãn $(x + \sqrt {{x^2} + 1} )(y + \sqrt {{y^2} + 1} ) = 1$ (1). Chứng minh rằng x + y = 0.
Từ (1) và (2) suy ra
$\begin{array}{l}(x + \sqrt {{x^2} + 1} )(y + \sqrt {{y^2} + 1} ) = (x - \sqrt {{x^2} + 1} )(y - \sqrt {{y^2} + 1} )\\ \Leftrightarrow x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} = - x\sqrt {{y^2} + 1} - y\sqrt {{x^2} + 1} \\
\Leftrightarrow x\sqrt {{y^2} + 1} = - y\sqrt {{x^2} + 1} (*)\end{array}$
+) Nếu x = 0 thì từ(*) suy ra y = 0 do đó x + y = 0.
+) Nếu x ≠ 0 thì từ (*) suy ra x và y trái dấu nhau. Bình phương hai vế của (*) ta được
${x^2}(1 + {y^2}) = {y^2}(1 + {x^2}) \Leftrightarrow x = - y \Leftrightarrow x + y = 0.$ (Đpcm)
a. Phương pháp
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x$_0$ như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích (x – x$_0$)A(x) = 0 ta có thể giải phương trình A(x) = 0 hoặc chứng minh A(x) = 0 vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía A(x) = 0 vô nghiệm
b. Ví dụ
Ví dụ 1 . Giải phương trình sau : $\sqrt {3{x^2} - 5x + 1} - \sqrt {{x^2} - 2} = \sqrt {3\left( {{x^2} - x - 1} \right)} - \sqrt {{x^2} - 3x + 4} $
Giải
Ta nhận thấy : $\left( {3{x^2} - 5x + 1} \right) - \left( {3{x^2} - 3x - 3} \right) = - 2\left( {x - 2} \right)\,\,\,va\,\,\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {{x^2} - 3x + 4} \right) = 3\left( {x - 2} \right)$Ta có thể trục căn thức 2 vế : $\frac{{ - 2x + 4}}{{\sqrt {3{x^2} - 5x + 1} + \sqrt {3\left( {{x^2} - x + 1} \right)} }} = \frac{{3x - 6}}{{\sqrt {{x^2} - 2} + \sqrt {{x^2} - 3x + 4} }}$
Dể dàng nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : $\sqrt {{x^2} + 12} + 5 = 3x + \sqrt {{x^2} + 5} $
Giải
Để phương trình có nghiệm thì : $\sqrt {{x^2} + 12} - \sqrt {{x^2} + 5} = 3x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{5}{3}$Ta nhận thấy: x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng
(x – 2)A(x) = 0 , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau
$\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 12} - 4 = 3x - 6 + \sqrt {{x^2} + 5} - 3 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 4}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} = 3\left( {x - 2} \right) + \frac{{{x^2} - 4}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}}\\
\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {\frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} - \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\end{array}$
Dễ dàng chứng minh được : $\frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} - \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} - 3 < 0,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \forall x > \frac{5}{3}$
Ví dụ 3. Giải phương trình: $\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + x = \sqrt {{x^3} - 1} $
Giải
Điều kiện $x \ge \sqrt[3]{2}$
Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình
$\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} - 2 + x - 3 = \sqrt {{x^3} - 2} - 5 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left[ {1 + \frac{{x + 3}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 4}}} \right] = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)}}{{\sqrt {{x^3} - 2} + 5}}$
Ta chứng minh: $1 + \frac{{x + 3}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 4}} = 1 + \frac{{x + 3}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 1} \right)}^2} + 3}} < 2 < \frac{{{x^2} + 3x + 9}}{{\sqrt {{x^3} - 2} + 5}}$
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3
2. Nhân liên hợp
Ví dụ 4. Giải phương trình: $\sqrt {10{x^2} - 31x + 35} - \sqrt {7{x^2} - 13x + 8} = x - 3$ (1)
Giải
Điều kiện x ≥ - 5/4Ta biến đổi phương trình như sau:
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^2} - 18x + 27 = (x - 3)(\sqrt {10{x^2} - 31x + 35} + \sqrt {7{x^2} - 13x + 8} )\\ \Leftrightarrow 3{(x - 3)^2} = (x - 3)(\sqrt {10{x^2} - 31x + 35} + \sqrt {7{x^2} - 13x + 8} )\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\\sqrt {10{x^2} - 31x + 35} + \sqrt {7{x^2} - 13x + 8} = 3(x - 3)\quad \quad (2)\end{array} \right.\end{array}$
Từ (1) và (2) suy ra $\sqrt {7{x^2} - 13x + 8} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 3 \ge 0\\7{x^2} - 13x + 8 = {(x - 3)^2}\end{array} \right.$ (Hệ này vô nghiệm)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=3.
Ví dụ 5. Cho các số thực x, y thoả mãn $(x + \sqrt {{x^2} + 1} )(y + \sqrt {{y^2} + 1} ) = 1$ (1). Chứng minh rằng x + y = 0.
Giải
Nhận thấy $(x + \sqrt {{x^2} + 1} )(y + \sqrt {{y^2} + 1} )(x - \sqrt {{x^2} + 1} )(y - \sqrt {{y^2} + 1} ) = 1$ nên nếu kết hợp với phương trình (1) ta suy ra $(x - \sqrt {{x^2} + 1} )(y - \sqrt {{y^2} + 1} ) = 1 \Leftrightarrow (\sqrt {{x^2} + 1} - x)(\sqrt {{y^2} + 1} - y) = 1$ (2).Từ (1) và (2) suy ra
$\begin{array}{l}(x + \sqrt {{x^2} + 1} )(y + \sqrt {{y^2} + 1} ) = (x - \sqrt {{x^2} + 1} )(y - \sqrt {{y^2} + 1} )\\ \Leftrightarrow x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} = - x\sqrt {{y^2} + 1} - y\sqrt {{x^2} + 1} \\
\Leftrightarrow x\sqrt {{y^2} + 1} = - y\sqrt {{x^2} + 1} (*)\end{array}$
+) Nếu x = 0 thì từ(*) suy ra y = 0 do đó x + y = 0.
+) Nếu x ≠ 0 thì từ (*) suy ra x và y trái dấu nhau. Bình phương hai vế của (*) ta được
${x^2}(1 + {y^2}) = {y^2}(1 + {x^2}) \Leftrightarrow x = - y \Leftrightarrow x + y = 0.$ (Đpcm)
