Phương trình tham số của đường thẳng
Để viết phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ ta cần xác định:
+ Điểm $A({x_0};{y_0}) \in \Delta.$
+ Một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u \left( {a;b} \right)$ của $Δ.$
Khi đó phương trình tham số của $Δ$ là $\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + at\\
y = {y_0} + bt
\end{array} \right.$ với $t ∈ R.$
Phương trình chính tắc của đường thẳng
Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng $Δ$ ta cần xác định:
+ Điểm $A({x_0};{y_0}) \in \Delta. $
+ Một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u \left( {a;b} \right), ab \ne 0$ của $Δ.$
Phương trình chính tắc của đường thẳng $Δ$ là $\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b}.$ (trường hợp $ab = 0$ thì đường thẳng không có phương trình chính tắc).
Chú ý:
+ Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT.
+ Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại.
+ Nếu $Δ$ có VTCP $\overrightarrow u = \left( {a;b} \right)$ thì $\overrightarrow n = \left( { – b;a} \right)$ là một VTPT của $Δ.$
Ví dụ 1: Cho điểm $A\left( {1; – 3} \right)$ và $B( – 2;3).$ Viết phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ trong mỗi trường hợp sau:
a. $Δ$ đi qua $A$ và nhận vectơ $\overrightarrow n \left( {1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.
b. $Δ$ đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng $AB.$
c. $Δ$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB.$
a. Vì $Δ$ nhận vectơ $\overrightarrow n \left( {1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của $Δ$ là $\overrightarrow u \left( { – 2;1} \right).$
Vậy phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ là $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 – 2t\\
y = – 3 + t
\end{array} \right.$
b. Ta có $\overrightarrow {AB} \left( { – 3;6} \right)$ mà $Δ$ song song với đường thẳng $AB$ nên nhận $\overrightarrow u \left( { – 1;2} \right)$ làm VTCP.
Vậy phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ là $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = – t\\
y = 2t
\end{array} \right.$
c. Vì $Δ$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ nên nhận $\overrightarrow {AB} \left( { – 3;6} \right)$ làm VTPT và đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB.$
Ta có $I\left( { – \frac{1}{2};0} \right)$ và $Δ$ nhận $\overrightarrow u \left( { – 1;2} \right)$ làm VTCP nên phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ là $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = – \frac{1}{2} – t\\
y = 2t
\end{array} \right.$
Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng $Δ$ trong mỗi trường hợp sau:
a. $Δ$ đi qua điểm $A\left( {3;0} \right)$ và $B\left( {1;3} \right).$
b. $Δ$ đi qua $N\left( {3;4} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $d’:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 – 3t\\
y = 4 + 5t
\end{array} \right.$
a. Đường thẳng $Δ$ đi qua hai điểm $A$ và $B$ nên nhận $\overrightarrow {AB} = \left( { – 2;3} \right)$ làm vectơ chỉ phương do đó phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3 – 2t}\\
{y = 3t}
\end{array}} \right.;$ phương trình chính tắc là $\frac{{x – 3}}{{ – 2}} = \frac{y}{3};$ phương trình tổng quát là $3\left( {x – 3} \right) = – 2y$ hay $3x + 2y – 9 = 0.$
b. $\Delta \bot d’$ nên VTCP của $d’$ cũng là VTPT của $Δ$ nên đường thẳng $Δ$ nhận $\overrightarrow u \left( { – 3;5} \right)$ làm VTPT và $\overrightarrow v \left( { – 5; – 3} \right)$ làm VTCP do đó đó phương trình tổng quát là $ – 3\left( {x – 3} \right) + 5\left( {y – 4} \right) = 0$ hay $3x – 5y + 11 = 0;$ phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3 – 5t}\\
{y = 4 – 3t}
\end{array}} \right.;$ phương trình chính tắc là $\frac{{x – 3}}{{ – 5}} = \frac{{y – 4}}{{ – 3}}.$
Ví dụ 3: Cho tam giác $ABC$ có $A\left( { – 2;1} \right), B\left( {2;3} \right)$ và $C\left( {1; – 5} \right).$
a. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC$ của tam giác.
b. Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến $AM.$
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $D$, $G$ với $D$ là chân đường phân giác trong góc $A$ và $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC.$
a. Ta có $\overrightarrow {BC} \left( { – 1; – 8} \right)$ suy ra đường thẳng chứa cạnh $BC$ có phương trình là:
$\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 – t\\
y = 3 – 8t
\end{array} \right.$
b. $M$ là trung điểm của $BC$ nên $M\left( {\frac{3}{2}; – 1} \right)$ do đó đường thẳng chứa đường trung tuyến $AM$ nhận $\overrightarrow {AM} \left( {\frac{7}{2}; – 2} \right)$ làm VTCP nên có phương trình là:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 2 + \frac{7}{2}t}\\
{y = 1 – 2t}
\end{array}} \right.$
c. Gọi $D({x_D};{y_D})$ là chân đường phân giác hạ từ $A$ của tam giác $ABC.$
Ta có $\overrightarrow {BD} = \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {DC}.$
Mà $AB = \sqrt {{{( – 2 – 2)}^2} + {{(3 – 1)}^2}} $ $ = 2\sqrt 5 $ và $AC = \sqrt {{{(1 + 2)}^2} + {{( – 5 – 1)}^2}} $ $ = 3\sqrt 5 $ suy ra:
$\overrightarrow {BD} = \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {DC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {DC} $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_D} – 2 = \frac{2}{3}(1 – {x_D})\\
{y_D} – 3 = \frac{2}{3}( – 5 – {y_D})
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_D} = \frac{8}{5}\\
{y_D} = \frac{{ – 1}}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow D(\frac{8}{5}; – \frac{1}{5}).$
$G\left( {\frac{1}{3}; – \frac{1}{3}} \right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$
Ta có $\overrightarrow {DG} \left( { – \frac{{19}}{{15}}; – \frac{2}{{15}}} \right)$ suy ra đường thẳng $DG$ nhận $\overrightarrow u (19;2)$ làm VTCP nên có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{3} + 19t\\
y = \frac{{ – 1}}{3} + 2t
\end{array} \right.$
Ví dụ 4: Cho tam giác $ABC$ biết $AB:x + y – 1 = 0,$ $AC:x – y + 3 = 0$ và trọng tâm $G\left( {1;2} \right).$ Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC.$
Ta có tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ:
$\left\{ \begin{array}{l}
x + y – 1 = 0\\
x – y + 3 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = – 1\\
y = 2
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow A( – 1;2).$
Gọi $M(x;y)$ là trung điểm của $BC.$
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GM} $, $\overrightarrow {AG} \left( {2;0} \right)$, $\overrightarrow {GM} \left( {x – 1;y – 2} \right)$ suy ra:
$\left\{ \begin{array}{l}
2 = 2.(x – 1)\\
0 = 2.(y – 2)
\end{array} \right. \Rightarrow M(2;2).$
$B\left( {{x_B};{y_B}} \right) \in AB$ $ \Rightarrow {x_B} + {y_B} – 1 = 0$ $ \Rightarrow {y_B} = 1 – {x_B}$ do đó $B\left( {{x_B};1 – {x_B}} \right).$
$C\left( {{x_C};{y_C}} \right) \in AC$ $ \Rightarrow {x_C} – {y_C} + 3 = 0$ $ \Rightarrow {y_C} = {x_C} + 3$ do đó $C\left( {{x_C};{x_C} + 3} \right).$
Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\
{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_B} + {x_C} = 4\\
{x_C} – {x_B} = 0
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_B} = 2\\
{x_C} = 2
\end{array} \right.$
Vậy $B\left( {2; – 1} \right), C(2;5) \Rightarrow \overrightarrow {BC} \left( {0;6} \right)$ suy ra phương trình đường thẳng $BC$ là $\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = – 1 + 6t
\end{array} \right.$
Để viết phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ ta cần xác định:
+ Điểm $A({x_0};{y_0}) \in \Delta.$
+ Một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u \left( {a;b} \right)$ của $Δ.$
Khi đó phương trình tham số của $Δ$ là $\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + at\\
y = {y_0} + bt
\end{array} \right.$ với $t ∈ R.$
Phương trình chính tắc của đường thẳng
Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng $Δ$ ta cần xác định:
+ Điểm $A({x_0};{y_0}) \in \Delta. $
+ Một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u \left( {a;b} \right), ab \ne 0$ của $Δ.$
Phương trình chính tắc của đường thẳng $Δ$ là $\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b}.$ (trường hợp $ab = 0$ thì đường thẳng không có phương trình chính tắc).
Chú ý:
+ Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT.
+ Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại.
+ Nếu $Δ$ có VTCP $\overrightarrow u = \left( {a;b} \right)$ thì $\overrightarrow n = \left( { – b;a} \right)$ là một VTPT của $Δ.$
Ví dụ 1: Cho điểm $A\left( {1; – 3} \right)$ và $B( – 2;3).$ Viết phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ trong mỗi trường hợp sau:
a. $Δ$ đi qua $A$ và nhận vectơ $\overrightarrow n \left( {1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.
b. $Δ$ đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng $AB.$
c. $Δ$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB.$
a. Vì $Δ$ nhận vectơ $\overrightarrow n \left( {1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của $Δ$ là $\overrightarrow u \left( { – 2;1} \right).$
Vậy phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ là $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 – 2t\\
y = – 3 + t
\end{array} \right.$
b. Ta có $\overrightarrow {AB} \left( { – 3;6} \right)$ mà $Δ$ song song với đường thẳng $AB$ nên nhận $\overrightarrow u \left( { – 1;2} \right)$ làm VTCP.
Vậy phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ là $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = – t\\
y = 2t
\end{array} \right.$
c. Vì $Δ$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ nên nhận $\overrightarrow {AB} \left( { – 3;6} \right)$ làm VTPT và đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB.$
Ta có $I\left( { – \frac{1}{2};0} \right)$ và $Δ$ nhận $\overrightarrow u \left( { – 1;2} \right)$ làm VTCP nên phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ là $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = – \frac{1}{2} – t\\
y = 2t
\end{array} \right.$
Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng $Δ$ trong mỗi trường hợp sau:
a. $Δ$ đi qua điểm $A\left( {3;0} \right)$ và $B\left( {1;3} \right).$
b. $Δ$ đi qua $N\left( {3;4} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $d’:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 – 3t\\
y = 4 + 5t
\end{array} \right.$
a. Đường thẳng $Δ$ đi qua hai điểm $A$ và $B$ nên nhận $\overrightarrow {AB} = \left( { – 2;3} \right)$ làm vectơ chỉ phương do đó phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3 – 2t}\\
{y = 3t}
\end{array}} \right.;$ phương trình chính tắc là $\frac{{x – 3}}{{ – 2}} = \frac{y}{3};$ phương trình tổng quát là $3\left( {x – 3} \right) = – 2y$ hay $3x + 2y – 9 = 0.$
b. $\Delta \bot d’$ nên VTCP của $d’$ cũng là VTPT của $Δ$ nên đường thẳng $Δ$ nhận $\overrightarrow u \left( { – 3;5} \right)$ làm VTPT và $\overrightarrow v \left( { – 5; – 3} \right)$ làm VTCP do đó đó phương trình tổng quát là $ – 3\left( {x – 3} \right) + 5\left( {y – 4} \right) = 0$ hay $3x – 5y + 11 = 0;$ phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3 – 5t}\\
{y = 4 – 3t}
\end{array}} \right.;$ phương trình chính tắc là $\frac{{x – 3}}{{ – 5}} = \frac{{y – 4}}{{ – 3}}.$
Ví dụ 3: Cho tam giác $ABC$ có $A\left( { – 2;1} \right), B\left( {2;3} \right)$ và $C\left( {1; – 5} \right).$
a. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC$ của tam giác.
b. Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến $AM.$
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $D$, $G$ với $D$ là chân đường phân giác trong góc $A$ và $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC.$
a. Ta có $\overrightarrow {BC} \left( { – 1; – 8} \right)$ suy ra đường thẳng chứa cạnh $BC$ có phương trình là:
$\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 – t\\
y = 3 – 8t
\end{array} \right.$
b. $M$ là trung điểm của $BC$ nên $M\left( {\frac{3}{2}; – 1} \right)$ do đó đường thẳng chứa đường trung tuyến $AM$ nhận $\overrightarrow {AM} \left( {\frac{7}{2}; – 2} \right)$ làm VTCP nên có phương trình là:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 2 + \frac{7}{2}t}\\
{y = 1 – 2t}
\end{array}} \right.$
c. Gọi $D({x_D};{y_D})$ là chân đường phân giác hạ từ $A$ của tam giác $ABC.$
Ta có $\overrightarrow {BD} = \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {DC}.$
Mà $AB = \sqrt {{{( – 2 – 2)}^2} + {{(3 – 1)}^2}} $ $ = 2\sqrt 5 $ và $AC = \sqrt {{{(1 + 2)}^2} + {{( – 5 – 1)}^2}} $ $ = 3\sqrt 5 $ suy ra:
$\overrightarrow {BD} = \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {DC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {DC} $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_D} – 2 = \frac{2}{3}(1 – {x_D})\\
{y_D} – 3 = \frac{2}{3}( – 5 – {y_D})
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_D} = \frac{8}{5}\\
{y_D} = \frac{{ – 1}}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow D(\frac{8}{5}; – \frac{1}{5}).$
$G\left( {\frac{1}{3}; – \frac{1}{3}} \right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$
Ta có $\overrightarrow {DG} \left( { – \frac{{19}}{{15}}; – \frac{2}{{15}}} \right)$ suy ra đường thẳng $DG$ nhận $\overrightarrow u (19;2)$ làm VTCP nên có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{3} + 19t\\
y = \frac{{ – 1}}{3} + 2t
\end{array} \right.$
Ví dụ 4: Cho tam giác $ABC$ biết $AB:x + y – 1 = 0,$ $AC:x – y + 3 = 0$ và trọng tâm $G\left( {1;2} \right).$ Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC.$
Ta có tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ:
$\left\{ \begin{array}{l}
x + y – 1 = 0\\
x – y + 3 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = – 1\\
y = 2
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow A( – 1;2).$
Gọi $M(x;y)$ là trung điểm của $BC.$
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GM} $, $\overrightarrow {AG} \left( {2;0} \right)$, $\overrightarrow {GM} \left( {x – 1;y – 2} \right)$ suy ra:
$\left\{ \begin{array}{l}
2 = 2.(x – 1)\\
0 = 2.(y – 2)
\end{array} \right. \Rightarrow M(2;2).$
$B\left( {{x_B};{y_B}} \right) \in AB$ $ \Rightarrow {x_B} + {y_B} – 1 = 0$ $ \Rightarrow {y_B} = 1 – {x_B}$ do đó $B\left( {{x_B};1 – {x_B}} \right).$
$C\left( {{x_C};{y_C}} \right) \in AC$ $ \Rightarrow {x_C} – {y_C} + 3 = 0$ $ \Rightarrow {y_C} = {x_C} + 3$ do đó $C\left( {{x_C};{x_C} + 3} \right).$
Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\
{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_B} + {x_C} = 4\\
{x_C} – {x_B} = 0
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_B} = 2\\
{x_C} = 2
\end{array} \right.$
Vậy $B\left( {2; – 1} \right), C(2;5) \Rightarrow \overrightarrow {BC} \left( {0;6} \right)$ suy ra phương trình đường thẳng $BC$ là $\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = – 1 + 6t
\end{array} \right.$
