1. Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^m}$ trong khai triển ${\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^n}.$
Phương pháp:
Cho khai triển: ${\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^n}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {\left( {a{x^p}} \right)^{n – k}}{\left( {b{x^q}} \right)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n – k}}{b^k}{x^{np – pk + qk}}.$
Số hạng chứa ${x^m}$ ứng với giá trị $k$ thỏa $np – pk + qk = m.$
Từ đó tìm $k = \frac{{m – np}}{{p – q}}.$
Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^m}$ là: $C_n^k{a^{n – k}}{b^k}$ với giá trị $k$ đã tìm được ở trên.
Nếu $k$ không nguyên hoặc $k > n$ thì trong khai triển không chứa $x^m$, hệ số phải tìm bằng $0.$
Lưu ý: Tìm số hạng không chứa $x$ thì ta đi tìm giá trị $k$ thỏa $np – pk + qk = 0.$
Bài toán 1: Trong khai triển $\left( {2\sqrt[3]{x} – \frac{3}{{\sqrt x }}} \right)$, $(x > 0)$ số hạng không chứa $x$ sau khi khai triển là?
A. $4354560.$
B. $13440.$
C. $60466176.$
D. $20736.$
Chọn A.
${\left( {2\sqrt[3]{x} – \frac{3}{{\sqrt x }}} \right)^{10}}$ $ = {\left( {2{x^{\frac{1}{3}}} – 3{x^{ – \frac{1}{2}}}} \right)^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {2{x^{\frac{1}{3}}}} \right)^{10 – k}}{\left( { – 3{x^{ – \frac{1}{2}}}} \right)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{( – 3)^k}{x^{\frac{{10 – k}}{3}}}{x^{\frac{k}{2}}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{( – 3)^k}{x^{\frac{{20 – 5k}}{6}}}.$
Theo yêu cầu đề bài ta có $20 – 5k = 0$ $ \Leftrightarrow k = 4.$
Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^4{.2^6}{.3^4} = 210.256.81 = 435460.$
Bài toán 2: Cho $n$ là số dương thỏa mãn $5C_n^{n – 1} = C_n^3.$ Số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển nhị thức Newton $P = {\left( {\frac{{n{x^2}}}{{14}} – \frac{1}{x}} \right)^n}$ với $x \ne 0$ là?
A. $ – \frac{{35}}{{16}}.$
B. $ – \frac{{16}}{{35}}.$
C. $ – \frac{{35}}{{16}}{x^5}.$
D. $ – \frac{{16}}{{35}}{x^5}.$
Chọn C.
Điều kiện $n \in N$, $n \ge 3.$
Ta có: $5C_n^{n – 1} = C_n^3$ $ \Leftrightarrow \frac{{5.n!}}{{1!.(n – 1)!}} = \frac{{n!}}{{3!.(n – 3)!}}$ $ \Leftrightarrow \frac{5}{{(n – 3)!(n – 2)(n – 1)}} = \frac{1}{{6(n – 3)!}}$ $ \Leftrightarrow {n^2} – 3n – 28 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 7\:{\rm{(thỏa\:mãn)}}}\\
{n = – 4\:{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right.$
Với $n = 7$ ta có $P = {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{x}} \right)^7}.$
$P = {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{x}} \right)^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)^{7 – k}}{\left( { – \frac{1}{x}} \right)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} \frac{1}{{{2^k}}} \cdot {( – 1)^{7 – k}}{x^{14 – 3k}}.$
Số hạng chứa ${x^5}$ tương ứng với $14 – 3k = 5$ $ \Leftrightarrow k = 3.$
Vậy số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển là $C_7^4 \cdot \frac{1}{{{2^4}}} \cdot {( – 1)^3} = – \frac{{35}}{{16}}.$
Phương pháp:
Cho khai triển: ${\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^n}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {\left( {a{x^p}} \right)^{n – k}}{\left( {b{x^q}} \right)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n – k}}{b^k}{x^{np – pk + qk}}.$
Số hạng chứa ${x^m}$ ứng với giá trị $k$ thỏa $np – pk + qk = m.$
Từ đó tìm $k = \frac{{m – np}}{{p – q}}.$
Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^m}$ là: $C_n^k{a^{n – k}}{b^k}$ với giá trị $k$ đã tìm được ở trên.
Nếu $k$ không nguyên hoặc $k > n$ thì trong khai triển không chứa $x^m$, hệ số phải tìm bằng $0.$
Lưu ý: Tìm số hạng không chứa $x$ thì ta đi tìm giá trị $k$ thỏa $np – pk + qk = 0.$
Bài toán 1: Trong khai triển $\left( {2\sqrt[3]{x} – \frac{3}{{\sqrt x }}} \right)$, $(x > 0)$ số hạng không chứa $x$ sau khi khai triển là?
A. $4354560.$
B. $13440.$
C. $60466176.$
D. $20736.$
Chọn A.
${\left( {2\sqrt[3]{x} – \frac{3}{{\sqrt x }}} \right)^{10}}$ $ = {\left( {2{x^{\frac{1}{3}}} – 3{x^{ – \frac{1}{2}}}} \right)^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {2{x^{\frac{1}{3}}}} \right)^{10 – k}}{\left( { – 3{x^{ – \frac{1}{2}}}} \right)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{( – 3)^k}{x^{\frac{{10 – k}}{3}}}{x^{\frac{k}{2}}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{( – 3)^k}{x^{\frac{{20 – 5k}}{6}}}.$
Theo yêu cầu đề bài ta có $20 – 5k = 0$ $ \Leftrightarrow k = 4.$
Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^4{.2^6}{.3^4} = 210.256.81 = 435460.$
Bài toán 2: Cho $n$ là số dương thỏa mãn $5C_n^{n – 1} = C_n^3.$ Số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển nhị thức Newton $P = {\left( {\frac{{n{x^2}}}{{14}} – \frac{1}{x}} \right)^n}$ với $x \ne 0$ là?
A. $ – \frac{{35}}{{16}}.$
B. $ – \frac{{16}}{{35}}.$
C. $ – \frac{{35}}{{16}}{x^5}.$
D. $ – \frac{{16}}{{35}}{x^5}.$
Chọn C.
Điều kiện $n \in N$, $n \ge 3.$
Ta có: $5C_n^{n – 1} = C_n^3$ $ \Leftrightarrow \frac{{5.n!}}{{1!.(n – 1)!}} = \frac{{n!}}{{3!.(n – 3)!}}$ $ \Leftrightarrow \frac{5}{{(n – 3)!(n – 2)(n – 1)}} = \frac{1}{{6(n – 3)!}}$ $ \Leftrightarrow {n^2} – 3n – 28 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 7\:{\rm{(thỏa\:mãn)}}}\\
{n = – 4\:{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right.$
Với $n = 7$ ta có $P = {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{x}} \right)^7}.$
$P = {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{x}} \right)^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)^{7 – k}}{\left( { – \frac{1}{x}} \right)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} \frac{1}{{{2^k}}} \cdot {( – 1)^{7 – k}}{x^{14 – 3k}}.$
Số hạng chứa ${x^5}$ tương ứng với $14 – 3k = 5$ $ \Leftrightarrow k = 3.$
Vậy số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển là $C_7^4 \cdot \frac{1}{{{2^4}}} \cdot {( – 1)^3} = – \frac{{35}}{{16}}.$
