Ví dụ 1. Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp .
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Phân tích V= $\frac{1}{3}$B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của SBC bằng công thức nào ?
Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60$^0$.
1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông.
2) Tính thể tích hình chóp.
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Xác định góc[SB,(ABC)] = ? Tại sao?
*) Phân tích V= $\frac{1}{3}$B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào? Tính BA?
*) Tìm h = SA qua tam giác nào bởi công thức gì?
mà $BC \bot AB \Rightarrow BC \bot SB$ ( đl 3 $ \bot $).
Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông.
2) Ta có $SA \bot (ABC) \Rightarrow AB$ là hình chiếu của SB trên (ABC).
Vậy góc[SB,(ABC)] = $\widehat {SAB} = {60^o}$.
ΔABC vuông cân nên BA = BC = $\frac{a}{{\sqrt 2 }}$
$\begin{array}{l}{S_{ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{{{a^2}}}{4}\\\Delta SAB \Rightarrow SA = AB.{\mathop{\rm t}\nolimits} a{\rm{n6}}{0^o} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\\V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}\frac{{{a^2}}}{4}\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{24}}\end{array}$
Ví dụ 3. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60$^0$. Tính thể tích hình chóp.
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Xác định góc[(SBC),(ABC)] = ? Tại sao?
*) Phân tích V= $\frac{1}{3}$B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ?
*) Tìm h = SA qua tam giác nào và công thức gì ?
AM $\bot $BC → SA$\bot $BC (đl3$\bot $) →[(SBC);(ABC)] = $\widehat {SMA} = {60^o}$.
$\begin{array}{l}V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA\\\Delta SAM \Rightarrow SA = AM\tan {60^o} = \frac{{3a}}{2}\\V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\end{array}$
Ví dụ 4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60$^0$.
1) Tính thể tích hình chóp SABCD.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Phân tích đề bài để dựng hình :
*) Dựng tứ giác ABCD và cạnh bên SA$\bot $ (ABCD) ? .
Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Xác định góc[(SCD),(ABCD)] = ? Tại sao?
*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ?
*) Tìm h = SA qua tam giác nào bởi công thức gì ?
Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = $\widehat {SDA}$ = 60$^0$.
ΔSAD vuông nên SA = AD.tan60$^0$= a√3
Vậy $V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}{a^2}a\sqrt 3 = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$
2) Ta dựng AH $\bot $ SD,vì CD$\bot $ (SAD) (do (1) ) nên CD $\bot $ AH→ AH $\bot $ (SCD)
Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD).
$\Delta SAD \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} \to AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA=BC=a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30$^0$. Tính thể tích hình chóp .
Đs: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$
Bài 2. Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30$^0$.Tính thể tích khối chóp SABC
Đs: $V = \frac{{{h^3}\sqrt 3 }}{3}$
Bài 3. Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC biết SB = a,SC hợp với (SAB) một góc 30$^0$và (SAC) hợp với (ABC) một góc 60$^0$.Chứng minh rằng SC$^2$ = SB$^2$ + AB$^2$ + AC$^2$ Tính thể tích hình chóp.
Đs: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{27}}$
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD $\bot $ (ABC) biết AC = AD = 4 cm,AB = 3 cm, BC = 5 cm.
1) Tính thể tích ABCD.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Đs: V = 8 cm$^3$
$d = \frac{{12}}{{\sqrt {34} }}$
Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , $\widehat {BAC} = {120^o}$, biết $SA \bot (ABC)$và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45$^0$. Tính thể tích khối chóp SABC.
Đs: $V = \frac{{{a^3}}}{9}$
Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông biết SA $\bot $ (ABCD),SC = a và SC hợp với đáy một góc 60$^0$Tính thể tích khối chóp.
Đs: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{48}}$
Bài 7: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng SA $\bot $ (ABCD) , SC hợp với đáy một góc 45$^0$và AB = 3a , BC = 4a. Tính thể tích khối chóp.
Đs: V = 20a$^3$
Bài 8: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 60$^0$và SA $\bot $ (ABCD). Biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.Tính thể tích khối chóp SABCD.
Đs: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$
Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB = BC = a , AD = 2a ,
SA $\bot $ (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60$^0$ Tính thể thích khối chóp SABCD.
Đs: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}$
Bài 10 :Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB = 2R biết (SBC) hợp với đáy ABCD một góc 45$^o$.Tính thể tích khối chóp SABCD.
Đs: $V = \frac{{3{R^3}}}{4}$
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Phân tích V= $\frac{1}{3}$B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của SBC bằng công thức nào ?
Lời giải
$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(ABC) \bot (SBC)}\\{(ASC) \bot (SBC)}\end{array}} \right. \Rightarrow AC \bot (SBC)\\V = \frac{1}{3}{S_{SBC}}.AC = \frac{1}{3}\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\end{array}$Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60$^0$.
1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông.
2) Tính thể tích hình chóp.
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Xác định góc[SB,(ABC)] = ? Tại sao?
*) Phân tích V= $\frac{1}{3}$B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào? Tính BA?
*) Tìm h = SA qua tam giác nào bởi công thức gì?
Lời giải
1) $SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot AB\,\,\& \,SA \bot AC$mà $BC \bot AB \Rightarrow BC \bot SB$ ( đl 3 $ \bot $).
Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông.
2) Ta có $SA \bot (ABC) \Rightarrow AB$ là hình chiếu của SB trên (ABC).
Vậy góc[SB,(ABC)] = $\widehat {SAB} = {60^o}$.
ΔABC vuông cân nên BA = BC = $\frac{a}{{\sqrt 2 }}$
$\begin{array}{l}{S_{ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{{{a^2}}}{4}\\\Delta SAB \Rightarrow SA = AB.{\mathop{\rm t}\nolimits} a{\rm{n6}}{0^o} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\\V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}\frac{{{a^2}}}{4}\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{24}}\end{array}$
Ví dụ 3. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60$^0$. Tính thể tích hình chóp.
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Xác định góc[(SBC),(ABC)] = ? Tại sao?
*) Phân tích V= $\frac{1}{3}$B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ?
*) Tìm h = SA qua tam giác nào và công thức gì ?
Lời giải
M là trung điểm của BC,vì tam giác ABC đều nên AM $\bot $BC → SA$\bot $BC (đl3$\bot $) →[(SBC);(ABC)] = $\widehat {SMA} = {60^o}$.
$\begin{array}{l}V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA\\\Delta SAM \Rightarrow SA = AM\tan {60^o} = \frac{{3a}}{2}\\V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\end{array}$
Ví dụ 4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60$^0$.
1) Tính thể tích hình chóp SABCD.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Phân tích đề bài để dựng hình :
*) Dựng tứ giác ABCD và cạnh bên SA$\bot $ (ABCD) ? .
Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Xác định góc[(SCD),(ABCD)] = ? Tại sao?
*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ?
*) Tìm h = SA qua tam giác nào bởi công thức gì ?
Lời giải
1)Ta có SA $\bot $ (ABC) và CD $\bot $ AD → CD $\bot $ SD ( đl 3 $\bot $).(1)Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = $\widehat {SDA}$ = 60$^0$.
ΔSAD vuông nên SA = AD.tan60$^0$= a√3
Vậy $V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}{a^2}a\sqrt 3 = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$
2) Ta dựng AH $\bot $ SD,vì CD$\bot $ (SAD) (do (1) ) nên CD $\bot $ AH→ AH $\bot $ (SCD)
Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD).
$\Delta SAD \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} \to AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA=BC=a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30$^0$. Tính thể tích hình chóp .
Đs: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$
Bài 2. Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30$^0$.Tính thể tích khối chóp SABC
Đs: $V = \frac{{{h^3}\sqrt 3 }}{3}$
Bài 3. Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC biết SB = a,SC hợp với (SAB) một góc 30$^0$và (SAC) hợp với (ABC) một góc 60$^0$.Chứng minh rằng SC$^2$ = SB$^2$ + AB$^2$ + AC$^2$ Tính thể tích hình chóp.
Đs: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{27}}$
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD $\bot $ (ABC) biết AC = AD = 4 cm,AB = 3 cm, BC = 5 cm.
1) Tính thể tích ABCD.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Đs: V = 8 cm$^3$
$d = \frac{{12}}{{\sqrt {34} }}$
Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , $\widehat {BAC} = {120^o}$, biết $SA \bot (ABC)$và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45$^0$. Tính thể tích khối chóp SABC.
Đs: $V = \frac{{{a^3}}}{9}$
Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông biết SA $\bot $ (ABCD),SC = a và SC hợp với đáy một góc 60$^0$Tính thể tích khối chóp.
Đs: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{48}}$
Bài 7: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng SA $\bot $ (ABCD) , SC hợp với đáy một góc 45$^0$và AB = 3a , BC = 4a. Tính thể tích khối chóp.
Đs: V = 20a$^3$
Bài 8: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 60$^0$và SA $\bot $ (ABCD). Biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.Tính thể tích khối chóp SABCD.
Đs: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$
Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB = BC = a , AD = 2a ,
SA $\bot $ (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60$^0$ Tính thể thích khối chóp SABCD.
Đs: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}$
Bài 10 :Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB = 2R biết (SBC) hợp với đáy ABCD một góc 45$^o$.Tính thể tích khối chóp SABCD.
Đs: $V = \frac{{3{R^3}}}{4}$
