Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có
cạnh BC = a$\sqrt 2$ và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.
ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng $\begin{array}{l} \to AA' \bot AB\\\Delta AA'B \to {\left( {AA'} \right)^2} = A'{B^2} - A{B^2} = 8{a^2} \to AA' = 2a\sqrt 2 \end{array}$
Vậy V = B.h = SABC .AA' = ${a^3}\sqrt 2 $
Ví dụ 2:Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này
ABCD là hình vuông $ \Rightarrow AB = \frac{{3a}}{{\sqrt 2 }}$
Suy ra B = SABCD = $\frac{{9{a^2}}}{4}$
Vậy V = B.h = S$_{ABCD}$.AA' = 9a$^3$
Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diên tích B = SABC bằng công thức nào ?
+ Từ diện tích ΔA’BC suy ra cạnh nào ? tại sao ?
+ Tìm h = AA' dùng tam giác nào và định lí gì ?
$\begin{array}{l}AI = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt {3\,} \,\& \,AI \bot BC \Rightarrow A'I \bot BC\,(dl3 \bot )\\{S_{A'BC}} = \frac{1}{2}BC.A'I \Rightarrow A'I = frac{{2{S_{A'BC}}}}{{BC}} = 4\\AA' \bot (ABC) \Rightarrow AA' \bot AI\\ \Rightarrow AA' = \sqrt {A'{I^2} - A{I^2}} = 2
\end{array}$
Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= $8\sqrt 3$
Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 60$^0$ Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp .
+ Tìm diện tích B của hình thoi ABCD bằng cách nào?
+ Tìm h = DD' trong tam giác vuông nào ? và định lí gì?
và S$_{ABCD}$ = 2S$_{ABD}$ = $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$
Theo đề bài BD' = AC = $2\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 $
$\Delta DD'B \Rightarrow DD' = \sqrt {BD{'^2} - B{D^2}} = a\sqrt 2 $
Vậy V = S$_{ABCD}$.DD' = $\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}$
Ví dụ 5: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích cái hộp này.
+ Tìm h = AA' ? Tại sao ?
+ Tìm AB ? Suy ra B = S$_{ABCD}$ = AB2 ?
và chiều cao hộp h = 12 cm
Vậy thể tích hộp là V = S$_{ABCD}$.h = 4800cm$^3$
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ.
ĐS: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$ ; S = 3a$^2$
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng $BD' = a\sqrt 6 $. Tính thể tích của lăng trụ.
Đs: V = 2a$^3$
Bài 3.Lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ.
Đs:V = 240cm$^3$ và S = 248cm$^2$
Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng diện tích các mặt bên là 480 cm$^2$ . Tính thể tích lăng trụ .
Đs: V = 1080 cm$^3$
Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a . Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V = 24a$^3$
Bài 6:Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt của lăng trụ bằng 96 cm$^2$.Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V = 64 cm$^3$
Bài 7.Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng các cạnh đáy. Tính thể tích của lăng trụ.
Đs: V = 2888
Bài 8. Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m$^2$ .Tính thể tích khối lập phương Đs: V = 8 m$^3$
Bài 9:Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ dài một đường chéo của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Đs: V = 0,4 m$^3$
Bài 10. Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là $\sqrt 5 ;\sqrt {10} ;\sqrt {13} $. Tính thể tích khối hộp này.
Đs: V = 6
cạnh BC = a$\sqrt 2$ và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải
Ta có ΔABC vuông cân tại A nên AB = AC = aABC.A'B'C' là lăng trụ đứng $\begin{array}{l} \to AA' \bot AB\\\Delta AA'B \to {\left( {AA'} \right)^2} = A'{B^2} - A{B^2} = 8{a^2} \to AA' = 2a\sqrt 2 \end{array}$
Vậy V = B.h = SABC .AA' = ${a^3}\sqrt 2 $
Ví dụ 2:Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này
giải
ABCD.A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên (BD)$^2$ = (BD')$^2$ - (DD')$^2$ = 9a$^2$ → BD = 3aABCD là hình vuông $ \Rightarrow AB = \frac{{3a}}{{\sqrt 2 }}$
Suy ra B = SABCD = $\frac{{9{a^2}}}{4}$
Vậy V = B.h = S$_{ABCD}$.AA' = 9a$^3$
Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Phân tích
+ Phân tích V= B.h để tìm B và htrong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diên tích B = SABC bằng công thức nào ?
+ Từ diện tích ΔA’BC suy ra cạnh nào ? tại sao ?
+ Tìm h = AA' dùng tam giác nào và định lí gì ?
giải
Gọi I là trung điểm BC .Ta có ΔABC đều nên$\begin{array}{l}AI = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt {3\,} \,\& \,AI \bot BC \Rightarrow A'I \bot BC\,(dl3 \bot )\\{S_{A'BC}} = \frac{1}{2}BC.A'I \Rightarrow A'I = frac{{2{S_{A'BC}}}}{{BC}} = 4\\AA' \bot (ABC) \Rightarrow AA' \bot AI\\ \Rightarrow AA' = \sqrt {A'{I^2} - A{I^2}} = 2
\end{array}$
Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= $8\sqrt 3$
Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 60$^0$ Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp .
Phân tích
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào? + Tìm diện tích B của hình thoi ABCD bằng cách nào?
+ Tìm h = DD' trong tam giác vuông nào ? và định lí gì?
giải
Ta có tam giác ABD đều nên : BD = avà S$_{ABCD}$ = 2S$_{ABD}$ = $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$
Theo đề bài BD' = AC = $2\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 $
$\Delta DD'B \Rightarrow DD' = \sqrt {BD{'^2} - B{D^2}} = a\sqrt 2 $
Vậy V = S$_{ABCD}$.DD' = $\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}$
Ví dụ 5: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích cái hộp này.
Phân tích
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm h = AA' ? Tại sao ?
+ Tìm AB ? Suy ra B = S$_{ABCD}$ = AB2 ?
Giải
Theo đề bài, ta có AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD là hình vuông có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm và chiều cao hộp h = 12 cm
Vậy thể tích hộp là V = S$_{ABCD}$.h = 4800cm$^3$
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ.
ĐS: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$ ; S = 3a$^2$
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng $BD' = a\sqrt 6 $. Tính thể tích của lăng trụ.
Đs: V = 2a$^3$
Bài 3.Lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ.
Đs:V = 240cm$^3$ và S = 248cm$^2$
Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng diện tích các mặt bên là 480 cm$^2$ . Tính thể tích lăng trụ .
Đs: V = 1080 cm$^3$
Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a . Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V = 24a$^3$
Bài 6:Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt của lăng trụ bằng 96 cm$^2$.Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V = 64 cm$^3$
Bài 7.Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng các cạnh đáy. Tính thể tích của lăng trụ.
Đs: V = 2888
Bài 8. Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m$^2$ .Tính thể tích khối lập phương Đs: V = 8 m$^3$
Bài 9:Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ dài một đường chéo của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Đs: V = 0,4 m$^3$
Bài 10. Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là $\sqrt 5 ;\sqrt {10} ;\sqrt {13} $. Tính thể tích khối hộp này.
Đs: V = 6
