Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC .
? Dựng tam giác đều ABC , từ tâm O dựng SO $ \bot $ (ABC) . Tại sao ?
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) So sánh SA,SB,SC suy ra OA,OB,OC bởi tích chất nào ?
*) Phân tích V= $\frac{1}{3}$B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ?
*) Tìm h = SO qua tam giác nào bởi định lí gì ?
Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.
Ta có tam giác ABC đều nên $\begin{array}{l}AO = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\\\Delta SAO \Rightarrow S{O^2} = S{A^2} - O{A^2} = \frac{{11{a^2}}}{3} \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt {11} }}{{\sqrt 3 }}\\V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SO = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}\end{array}$
Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a .
1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
3) Dựng hình thoi ABCD và từ câu hỏi 1, dựng SO $ \bot $ (ABCD) . Tại sao ?
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Hình thoi ABCD có nội tiếp trong đường tròn không? Suy ra gì từ giả thiết?
*) Phân tích V= $\frac{1}{3}$B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ?
*) Tìm h = SO qua tam giác nào bởi định lí gì ?
Ta có SA = SB = SC = SD nên
OA = OB = OC = OD→ABCD là hình thoi có đường tròn gnoại tiếp nên ABCD là hình vuông .
Ta có SA$^2$ + SB$^2$ = AB$^2$ +BC$^2$ = AC$^2$ nên ΔASC vuông tại S
$\begin{array}{l} \to {\rm{OS = }}\frac{{a\sqrt 2 }}{2} \to V = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SO = \frac{1}{3}.{a^2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\\V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\end{array}$
Ví dụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC.
? Dựng tam giác đều ABC ,từ tâm O dựng DO $ \bot $ (ABC) . Tại sao ?
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Phân tích V= $\frac{1}{3}$B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ?
*) Tìm h = DO qua tam giác nào bởi định lí gì ?
*) Mặt phẳng (DCO) $ \bot $ (ABC) ? Dựng MH$ \bot $ OC suy ra điều gì ?Tính MH ?
$\begin{array}{l}V = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.DO\\{S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4};\,OC = \frac{2}{3}CI = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\end{array}$
ΔDOC vuông có: $DO = \sqrt {D{C^2} - O{C^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \to V = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$
b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH:
$MH = \frac{{DO}}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6} \to {V_{MABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.MH = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}$
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60$^0$ . Tính thể tích hình chóp.
Đs: $V = \frac{{3{a^3}}}{{16}}$
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45$^o$.
1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC .
2) Tính thể tích hình chóp SABC.
Đs:
SH = a/√3
$V = \frac{{{a^3}}}{6}$
Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60$^0$. Tính thể tích hình chóp SABC.
Đs: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}$
Bài 4 : Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30$^0$ . Tính thể tích hình chóp.
Đs: $V = \frac{{{h^3}\sqrt 3 }}{3}$
Bài 5 : Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng 60$^0$.
Tính thể tích hình chóp.
Đs: $V = \frac{{{h^3}\sqrt 3 }}{8}$
Bài 6 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và $\widehat {ASB} = {60^o}$.
1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều.
2) Tính thể tích hình chóp.
Đs:
$S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}$
$V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$
Bài 7 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên bằng 60$^0$. Tính thể tích hình chóp.
Đs: $V = \frac{{2{h^3}}}{3}$
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45$^o$ và khoảng cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a.Tính thể tích hình chóp .
Đs: $V = \frac{{8{a^3}\sqrt 3 }}{3}$
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60$^0$. Tính thề tích hình chóp.
Đs: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của nó bằng $V = \frac{{9{a^3}\sqrt 2 }}{2}$.
Đs: AB = 3a
? Dựng tam giác đều ABC , từ tâm O dựng SO $ \bot $ (ABC) . Tại sao ?
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) So sánh SA,SB,SC suy ra OA,OB,OC bởi tích chất nào ?
*) Phân tích V= $\frac{1}{3}$B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ?
*) Tìm h = SO qua tam giác nào bởi định lí gì ?
Lời giải
Dựng SO$ \bot $ (ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OCVậy O là tâm của tam giác đều ABC.
Ta có tam giác ABC đều nên $\begin{array}{l}AO = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\\\Delta SAO \Rightarrow S{O^2} = S{A^2} - O{A^2} = \frac{{11{a^2}}}{3} \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt {11} }}{{\sqrt 3 }}\\V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SO = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}\end{array}$
Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a .
1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
3) Dựng hình thoi ABCD và từ câu hỏi 1, dựng SO $ \bot $ (ABCD) . Tại sao ?
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Hình thoi ABCD có nội tiếp trong đường tròn không? Suy ra gì từ giả thiết?
*) Phân tích V= $\frac{1}{3}$B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ?
*) Tìm h = SO qua tam giác nào bởi định lí gì ?
Lời giải
Dựng SO $ \bot $ (ABCD)Ta có SA = SB = SC = SD nên
OA = OB = OC = OD→ABCD là hình thoi có đường tròn gnoại tiếp nên ABCD là hình vuông .
Ta có SA$^2$ + SB$^2$ = AB$^2$ +BC$^2$ = AC$^2$ nên ΔASC vuông tại S
$\begin{array}{l} \to {\rm{OS = }}\frac{{a\sqrt 2 }}{2} \to V = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SO = \frac{1}{3}.{a^2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\\V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\end{array}$
Ví dụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC.
? Dựng tam giác đều ABC ,từ tâm O dựng DO $ \bot $ (ABC) . Tại sao ?
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Phân tích V= $\frac{1}{3}$B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ?
*) Tìm h = DO qua tam giác nào bởi định lí gì ?
*) Mặt phẳng (DCO) $ \bot $ (ABC) ? Dựng MH$ \bot $ OC suy ra điều gì ?Tính MH ?
Lời giải
a) Gọi O là tâm của ΔABC → DO $\bot$(ABC)$\begin{array}{l}V = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.DO\\{S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4};\,OC = \frac{2}{3}CI = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\end{array}$
ΔDOC vuông có: $DO = \sqrt {D{C^2} - O{C^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \to V = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$
b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH:
$MH = \frac{{DO}}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6} \to {V_{MABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.MH = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}$
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60$^0$ . Tính thể tích hình chóp.
Đs: $V = \frac{{3{a^3}}}{{16}}$
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45$^o$.
1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC .
2) Tính thể tích hình chóp SABC.
Đs:
SH = a/√3
$V = \frac{{{a^3}}}{6}$
Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60$^0$. Tính thể tích hình chóp SABC.
Đs: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}$
Bài 4 : Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30$^0$ . Tính thể tích hình chóp.
Đs: $V = \frac{{{h^3}\sqrt 3 }}{3}$
Bài 5 : Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng 60$^0$.
Tính thể tích hình chóp.
Đs: $V = \frac{{{h^3}\sqrt 3 }}{8}$
Bài 6 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và $\widehat {ASB} = {60^o}$.
1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều.
2) Tính thể tích hình chóp.
Đs:
$S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}$
$V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$
Bài 7 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên bằng 60$^0$. Tính thể tích hình chóp.
Đs: $V = \frac{{2{h^3}}}{3}$
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45$^o$ và khoảng cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a.Tính thể tích hình chóp .
Đs: $V = \frac{{8{a^3}\sqrt 3 }}{3}$
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60$^0$. Tính thề tích hình chóp.
Đs: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của nó bằng $V = \frac{{9{a^3}\sqrt 2 }}{2}$.
Đs: AB = 3a
