Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 60$^0$ .Tính thể tích lăng trụ.
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Nhận xét AB và A'B có vuông góc với BC không ? tại sao?
*) Suy ra góc[(A'BC),(ABC)] = ?
*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?
*) Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào?
Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt(A’BC) tạo với đáy một góc 30$^0$ và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Nhận xét ΔA’BC có hình tính gì ? Suy ra I là trung điểm của BC cho ta vị trí AI và A'I thế nào với
BC? Suy ra góc[(A'BC),(ABC)] = ?
*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Đặt BC = 2x . Suy ra A'I bởi tam giác nào ?
*) Từ diện tích tam giá A"BC suy ra x bởi công thức nào?
*) Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
Vậy góc[(A'BC)
ABC)] =$\widehat {A'IA}$ = 30$^0$
Giả sử BI = x →$AI = \frac{{2x\sqrt 3 }}{2} = x\sqrt 3 $
Ta có: $\Delta A'AI:\,\,A'I = \frac{{AI}}{{\cos {{30}^0}}} = \frac{{2AI}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2x\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 2x$
A’A = AI.tan 30$^0$ = $x\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{3} = x$
Vậy V$_{ABC.A’B’C’}$ = CI.AI.A’A = ${x^3}\sqrt 3 $
Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8→x = 2.Do đó V$_{ABC.A’B’C’}$ = $8\sqrt 3$
Ví dụ 3. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60$^0$. Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Xác định góc[BDC');(ABCD)] = ?
*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ?
*) Tìm h = CC' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
ABCD là hình vuông nên OC $ \bot $ BD
CC'$ \bot $ (ABCD) nên OC'$ \bot $ BD (đl 3$ \bot $).
Vậy góc[(BDC');(ABCD)] = $\widehat {COC'}$ = 60$^0$
Ta có V = B.h = S$_{ABCD}$.CC'
ABCD là hình vuông nên S$_{ABCD}$ = a$^2$
ΔOCC’ vuông nên CC' = OC.tan60$^0$ =$\frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Vậy V = $\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}$
Ví dụ 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60$^0$ và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30$^0$ .Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Nhận xét AB và A'B có vuông góc với BC không ? tại sao?
*) Suy ra góc[(A'BC);(ABCD)] = ?
*) Tìm hình chiếu của A'C trên (ABCD) ? Suy ra góc[A'C,(ABCD)] = ?
*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ?
*) Tìm AB và AC bởi tam giác vuông nào? Dùng hệ thức lượng giác nào ?
*) Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
Vậy góc[A'C,(ABCD)] = $\widehat {A'CA} = {30^o}$
BC $ \bot $ AB →BC $ \bot $ A'B (đl 3$ \bot $) → [(A'BC),(ABCD)] = $\widehat {A'BA} = {60^o}$
ΔA’AC→AC = AA'.cot30$^0$ = $2a\sqrt 3 $
ΔA’AB→AB = AA'.cot60$^0$ = $\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$
$\Delta ABC \Rightarrow BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = 4a\sqrt 6 /3$
Vậy V = AB.BC.AA' = $\frac{{16{a^3}\sqrt 2 }}{3}$
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1. Cho hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD một góc 30$^0$ và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 60$^0$ .Tính thể tích hộp chữ nhật.
Đs: $V = \frac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{3}$
Bài 2. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên bằng a biết rằng mặt (ABC'D') hợp với đáy một góc 30$^0$.Tính thể tích khối lăng trụ.
Đs: V = 3a$^3$
Bài 3. Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45$^0$. Tính thể tích lăng trụ.
Đs: $V = {a^3}\sqrt 2 $
Bài 4. Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a và $\widehat {BAC} = {120^o}$ biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45$^0$. Tính thể tích lăng trụ.
Đs: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}$
Bài 5. Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BB' = AB = h biết rằng (B'AC) hợp với đáy ABC một góc 60$^0$. Tính thể tích lăng trụ.
Đs: $V = \frac{{{h^3}\sqrt 2 }}{4}$
Bài 6. Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a.Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
a) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60$^0$ .
b) A'B hợp với đáy ABC một góc 45$^0$.
c) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.
ĐS:
a) $V = {a^3}\sqrt 3 $
b) $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$
c) $V = {a^3}\sqrt 3 $
Bài 7. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
a) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45$^0$ .
b) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60$^0$ .
c) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a .
ĐS :
a) V = 16a$^3$
b) $V = \frac{{16{a^3}}}{3}$
c) V = 12a$^3$
Bài 8. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
a)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60$^0$
b)Tam giác BDC' là tam giác đều.
c)AC' hợp với đáy ABCD một góc 45$^0$
ĐS :
a) $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}$.
b) V = ${a^3}$
c) V = ${a^3}\sqrt 2 $
Bài 9. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A = 60$^0$ .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
a) (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60$^0$ .
b)Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng a/2
c)AC' hợp với đáy ABCD một góc 45$^0$
ĐS:
a) $V = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}$
b) $V = \frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{8}$
c) $V = \frac{{3{a^3}}}{2}$
Bài 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a.Tính thể tích khối hộp trong các trường hợp sau đây:
a) AB = a
b) BD' hợp với AA'D'D một góc 30$^0$
c) (ABD') hợp với đáy ABCD một góc 30$^0$
ĐS:
a) $V = 8{a^3}\sqrt 2 $
b) $V = 5{a^3}\sqrt {11} $
c)$V = 16{a^3}$
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Nhận xét AB và A'B có vuông góc với BC không ? tại sao?
*) Suy ra góc[(A'BC),(ABC)] = ?
*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?
*) Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào?
Lời giải
$\begin{array}{l}A'A \bot (ABC)\,\& BC \bot AB \Rightarrow BC \bot A'B\,\\g{\rm{\'o }}c\,[(A'BC),(ABC)] = \widehat {ABA'} = {60^o}\\\Delta ABA' \Rightarrow AA' = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \\{S_{ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{{{a^2}}}{2}\\V = {S_{ABC}}{\rm{.AA}}' = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\end{array}$Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt(A’BC) tạo với đáy một góc 30$^0$ và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Nhận xét ΔA’BC có hình tính gì ? Suy ra I là trung điểm của BC cho ta vị trí AI và A'I thế nào với
BC? Suy ra góc[(A'BC),(ABC)] = ?
*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Đặt BC = 2x . Suy ra A'I bởi tam giác nào ?
*) Từ diện tích tam giá A"BC suy ra x bởi công thức nào?
*) Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
Giải
ΔABC đều $ \Rightarrow AI \bot BC$ mà AA'$\bot (ABC)$ nên A'I$ \bot BC$(đl 3$\bot $).Vậy góc[(A'BC)
ABC)] =$\widehat {A'IA}$ = 30$^0$Giả sử BI = x →$AI = \frac{{2x\sqrt 3 }}{2} = x\sqrt 3 $
Ta có: $\Delta A'AI:\,\,A'I = \frac{{AI}}{{\cos {{30}^0}}} = \frac{{2AI}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2x\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 2x$
A’A = AI.tan 30$^0$ = $x\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{3} = x$
Vậy V$_{ABC.A’B’C’}$ = CI.AI.A’A = ${x^3}\sqrt 3 $
Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8→x = 2.Do đó V$_{ABC.A’B’C’}$ = $8\sqrt 3$
Ví dụ 3. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60$^0$. Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Xác định góc[BDC');(ABCD)] = ?
*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ?
*) Tìm h = CC' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
Giải
Gọi O là tâm của ABCD . Ta cóABCD là hình vuông nên OC $ \bot $ BD
CC'$ \bot $ (ABCD) nên OC'$ \bot $ BD (đl 3$ \bot $).
Vậy góc[(BDC');(ABCD)] = $\widehat {COC'}$ = 60$^0$
Ta có V = B.h = S$_{ABCD}$.CC'
ABCD là hình vuông nên S$_{ABCD}$ = a$^2$
ΔOCC’ vuông nên CC' = OC.tan60$^0$ =$\frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Vậy V = $\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}$
Ví dụ 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60$^0$ và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30$^0$ .Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Nhận xét AB và A'B có vuông góc với BC không ? tại sao?
*) Suy ra góc[(A'BC);(ABCD)] = ?
*) Tìm hình chiếu của A'C trên (ABCD) ? Suy ra góc[A'C,(ABCD)] = ?
*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
*) Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ?
*) Tìm AB và AC bởi tam giác vuông nào? Dùng hệ thức lượng giác nào ?
*) Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
Giải
Ta có AA' $ \bot $ (ABCD) → AC là hình chiếu của A'C trên (ABCD) .Vậy góc[A'C,(ABCD)] = $\widehat {A'CA} = {30^o}$
BC $ \bot $ AB →BC $ \bot $ A'B (đl 3$ \bot $) → [(A'BC),(ABCD)] = $\widehat {A'BA} = {60^o}$
ΔA’AC→AC = AA'.cot30$^0$ = $2a\sqrt 3 $
ΔA’AB→AB = AA'.cot60$^0$ = $\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$
$\Delta ABC \Rightarrow BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = 4a\sqrt 6 /3$
Vậy V = AB.BC.AA' = $\frac{{16{a^3}\sqrt 2 }}{3}$
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1. Cho hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD một góc 30$^0$ và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 60$^0$ .Tính thể tích hộp chữ nhật.
Đs: $V = \frac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{3}$
Bài 2. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên bằng a biết rằng mặt (ABC'D') hợp với đáy một góc 30$^0$.Tính thể tích khối lăng trụ.
Đs: V = 3a$^3$
Bài 3. Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45$^0$. Tính thể tích lăng trụ.
Đs: $V = {a^3}\sqrt 2 $
Bài 4. Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a và $\widehat {BAC} = {120^o}$ biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45$^0$. Tính thể tích lăng trụ.
Đs: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}$
Bài 5. Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BB' = AB = h biết rằng (B'AC) hợp với đáy ABC một góc 60$^0$. Tính thể tích lăng trụ.
Đs: $V = \frac{{{h^3}\sqrt 2 }}{4}$
Bài 6. Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a.Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
a) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60$^0$ .
b) A'B hợp với đáy ABC một góc 45$^0$.
c) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.
ĐS:
a) $V = {a^3}\sqrt 3 $
b) $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$
c) $V = {a^3}\sqrt 3 $
Bài 7. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
a) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45$^0$ .
b) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60$^0$ .
c) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a .
ĐS :
a) V = 16a$^3$
b) $V = \frac{{16{a^3}}}{3}$
c) V = 12a$^3$
Bài 8. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
a)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60$^0$
b)Tam giác BDC' là tam giác đều.
c)AC' hợp với đáy ABCD một góc 45$^0$
ĐS :
a) $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}$.
b) V = ${a^3}$
c) V = ${a^3}\sqrt 2 $
Bài 9. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A = 60$^0$ .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
a) (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60$^0$ .
b)Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng a/2
c)AC' hợp với đáy ABCD một góc 45$^0$
ĐS:
a) $V = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}$
b) $V = \frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{8}$
c) $V = \frac{{3{a^3}}}{2}$
Bài 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a.Tính thể tích khối hộp trong các trường hợp sau đây:
a) AB = a
b) BD' hợp với AA'D'D một góc 30$^0$
c) (ABD') hợp với đáy ABCD một góc 30$^0$
ĐS:
a) $V = 8{a^3}\sqrt 2 $
b) $V = 5{a^3}\sqrt {11} $
c)$V = 16{a^3}$
